Analisi 2 Esercizi

13/06/2017

λx - y + λz = 1

λx + 2y - λz = λ

3x + y + 2λz = 2λ

A = ^{2λ -1 -1 λ 3 1} _{λ 2λ}

Ax = ^{λ 2 -1 λ 2λ -1} _{3 1 2λ}

equals ^{(-λ) (2λ² - λ)} -2λ(λ + λ)

= (2λ - 3) 3λ

A₁ = ^{-1 -1 3 1 3 2}

= 3(-λ - λ) + 2(2 - λ)

= -2λ² - 5 - 3λ

A₂ = ^{λ 2 -λ 1 2λ} equals 3(-λ - 6) - λ(2λ)

x = \frac{5}{13λ₁ - 3}

= \frac{5λ + 5}{13λ - 3x}

y = -\frac{(2λ) x²}{λ} 5λ - 3

• C.E. 13λ² - 3λ ≠ 0

λ ≠ \frac{3}{13}

x = 1

y = 0

x = ^{3x - y + z} _{x + y + z = 4}

A = ^{3 3} ₁

x = ^-3 ₂

Troviamo il vettore proporzionali

(a) - c = 0

P_λ - Q_μ = α_(-1,-2)

(^1+λ⁡₃)⁡(³⁡₂)⁡μ⁡(1) = α_(-1,-2)

(1) + λ⁡(1)⁡(3)⁡(2) + 3μ⁡(1)⁡ = α_(-1,-2)

-1 + λ - 3μ = α

1x + 3μ - 2 = α

...

* se λ e μ non proporzionali,le rette sono parallele

d(Q₅) = α_(-1,-2) = 0⁡(¹⁡_-2) = 0⁡ = 0→ le rette si intersecano

3)

U = span(^1⁡0_0⁡1)

Trova base l di U, V, U ∪ V, U + V e rispettive 1

U ∩ U = span{(

U ∩ U =

2⁡2

→ dim U = 2 * poiché loro vettorinon sono dipendenti

Troviamo gli autovettori:

CV = 1 V

(2 1)(x) = 3(x) → 2x + 2y = 3x | x = 2y V₁ =(i)_{(2 )}

(2 -1)(y) 2x - 4y = 3y | x = 3y

CV = 1 V

(2 1)(x) = -2(x) → 2x + 2y = -2x | x = -2y | 2x = y

(2 -1)(y) 2x - 4y = -2y | 2x = -y

V₂ = (1 | -2)

Troviamo gli asintoti: pongo a 0 i termini in secondo grado

2u² - v² + 6u v u = 0

2 - u ² + 4 = 0

2 - u ² + 4 = 0

μ =v/u

μ = -v²

1/2 √6

V= μ V => coeff amplare

77,3°

Troviamo angolo ammati rispetto a x

arctg (μ) = α12 = -24,2°

Troviamo P P|

x = u+m o = u+m v = z V = 7

|y = v+m i = v+m |S = 1-4/3 1 = 4/3 | V^-6

P^-5 (

1/3

x co vedo ion kae quadrante sta

P_(0,1)

parola finale autovalori + termine noto cioé λ₁ M+ λ² Σ

3 M-1^Σ +=o ^{impable con asintoti in x e y}

Controllo. Faccia a un matrixo M:

(2 -1 | -2)con gli autovetti ni

La Nommalizo M= 1( 2 1)

|√3 ( 1-2)

π_-1 c M_T

=(3/0 | 0/0)

‖ 0/-2 | 1‖ |

Diagonal - termini dell iperbole‖

1)

y'' + 5y' + 6y = 2x + cosh(3x)

y(0) = y'(0) = 0

Troviamo le omogenea

ξ² + 5ξ + 6 = 0

ξ₁₂ = ^-1/_-2

ξ₂ = -3

ξ₂ = -2

Scriviamo le soluzioni dell'omogenea: λe^-3x + μe^-2x

Scriviamo la soluzione particolare:

1. y_p = Ax + B

y'_p = A

0 + 5A + 6Ax + 6B = 2x

y''_p = 0

[ ]

[ ]

[5A + 6B = 0

controllo:

λ = [ ]

soluzione:

cosh(3x) = ^{e3x + e-3x}/₂

1. ¹/₂(y'' + 5y' + 6y)

1) y_p = λe^3x

y'_p = 3λe^3x

9λe^3x + 15λe^3x + 6A e^3x = ^e3x/₂

y''_p = 9λe^3x

[ ]

[ ]

2) y_p = λ1 e^-3x

-6λ1 e^-3x + [ ] e^-3x + 6x e^-3x = ^e-3x/₂

-12λ1 e^-3x + [ ] e^3x - 3λe

y_p = -^λ1/₂ e^-3x

C)

y'' + 2y' - 3y = 2sen(x) + e^x

y(0) = y'(0) = 0

Sol. equazione omogenea:

ξ_1,2 = 1, -3

e^ξ₁x + μe^ξ₂x

1. y'' + 2y' - 3y = 2sen(x)
2. y'' + 2y' - 3y = e^x

y_p = A sen(x) + Bcos(x)

y''_p = A cos(x) - B sen(x)

y' _p = A sen(x) - B cos(x)

-A sen(x) - B cos(x) + 2A cos(x) - 2B sen(x) + 3A sen(x) + 3B cos(x) = 2sen(x)

2cos(x) - 6A - 2B] + cos(x) [-2A - 3B] = 2sen(x)

A = 2B

B = 1/10

λe^x x

y_p = λe^x x + λe^x

y''_p = λe^xx + λe^x + λe^x

λ = 1/4

y_p = e^x/4 . x

Soluzione generale:

y = λe^x + μe^-3x + sen(x)/5 - cos(x)/10 + e^x/4 + ex

y = 17/16e^x + 3/80e^-3x + sen(x)/5 - cos(x)/10 + e^x/4 x

compito 5/06/2017

1) (A - λ * I) x = 2λ * I

2x - y + 2λz = 1

2A + λ = A_T =

21 3λ2

det(A) = λ (1 + 2λ) (2 + 3λ) - 2λ (4 - 3λ)

= λ² + λ2 + 2 + 3λ2 - 8λ - 6λ ²

= - λ² + 9λ + 2

Ax = ( )

det(Ax) = λ (1 + 2λ) + (λ+1=2λ) = 2λ (2λ-2) =

= λ² - λ + 2λ + λ² + 2 + λ² - 2λ + 4 - 2λ ³ + 2λ ³ - 2λ

Ay = ( )

det(Ay) = λ (1 + 2λ) - (1+λ) (2 + 3λ) + 2λ (4 - 3λ (λ-1))

- 2 - 3λ 3λ = 3λ 5λ 3λ - 2

- 19 λ³ + 6λ² + 5λ - 2

A_z = ( )

det(A_z) = λ (2 - 2λ + 2) (4 - 3λ² + 3λ) + (1+λ) (4 - 3λ) =

= 4λ ² + -2 + 4⁵ λλ + 1 + 4 - λ²

x =

y =

z =

λ = 0

x = 0

y = 0

z = 4

λ = 1

x = 2/5

y = 0

z = 4/5

λ=-1

x=-1

y=-1

z=1

1=1 = V

6=

-1=-1 V

-2=4 x = 2 V

- λ²+9λ+2=0

λ _1,2 =

note: imp.

2)

3x-y-2z =

x+4y+2z=2

x =

x = 2-4 y - z

λ =

z =

3x-y-2 -1

-13 y - 5 z + 5 = 0

x = 2- 4 y - z

A=

0 =

z =

v =

b = 0

u =

α = -13 c

v ₂ =

λ =

v ^- =

=

1 + 2 + λ² +

=

μ = μ = α

3)

U = Sp]

V = ]

W = ]

1(UN) = ]

] = ]

Base UN = ]

1(U) = ]

Base 1U = Sp]

1(1(U)) = ]

Base 1(1(U)) = Sp]

W

1 x 1(U)

Base 1(U) = Sp]

1(U

W

Base 1(UN)f = Sp]

P(y) - x'y - xy' = e^x + e^ax

y(0) = Y'(0) = 1

x + x'y = λ e^x

y' = xy = λe^ax

• x + x'y = λx e^x
• y' = λ e^ax

→ x + xy = e^x

λ e^x + μ e^ax

y(x) = λ e^x + μ e^ax

λ = 1

x = x e^ax

P(y) - x'y - xy = e^x + AC e^-ax

Y_p = x e^ux

x + x'y = e^x + A e^-5x + B e^-3x

[Ae^-5x (x) = x e^x - e^x]

x + x'y = e^x + 3A e^-5x + 2B e^-3x