Analisi Matematica 1 - tutti i teoremi e le dimostrazioni per l'esame orale!

Appunti di Analisi Matematica 1 per la preparazione dell'esame orale della professoressa Cristina Marcelli.
Questa raccolta, che include definizioni e dimostrazioni è di 87 pagine, ottenute grazie all'aver seguito tutte le lezioni ed aver integrato ciascun argomento con i libri consigliati dalla Professoressa.

Indice:
Insiemi numerici
Funzioni
Successioni
Limiti di funzioni
Continuità
Derivazione e differenziazione
Applicazioni del calcolo differenziale
Integrazione
Serie
Formula e serie di Taylor
Serie di potenze
Numeri complessi
Serie di Fourier

Indice dettagliato: (gli argomenti tra parentesi sono completati da dimostrazione)

Insiemi numerici:
numeri naturali, interi, razionali, reali. Principio di induzione. Assiomi dei numeri reali e conseguenze. Incompletezza dell’insieme dei numeri razionali. Ampliamento di R. Insiemi limitati e non limitati. Maggioranti e minoranti. Massimo e minimo. Estremi superiore e inferiore e (loro proprietà)

Funzioni:
Dominio, grafico, composizione, funzioni iniettive e suriettive, funzioni biunivoche, invertibilità, funzione inversa. Immagine dirette e inverse, codominio. Funzioni limitate; massimo e minimo, estremo superiore e inferiore di funzioni. Funzioni monotone. Funzioni elementari: potenze, logaritmi, esponenziali, funzioni goniometriche e iperboliche e loro inverse.

Successioni:
Successioni limitate, massimo e minimo, estremo superiore e inferiore. Limiti di successioni, successioni convergenti, divergenti e indeterminate. (Relazione tra convergenza e limitatezza). Successioni monotone, (regolarità delle successioni monotone). (Teoremi di confronto) per i limiti, teoremi sulle operazioni con i limiti, (prodotto di una successione infinitesima per una limitata), forme di indecisione. Il numero e. Infinitesimi ed infiniti, (principio di sostituzione degli infinitesimi e degli infiniti). (Criterio del rapporto), (gerarchia degli infiniti di alcune successioni elementari).

Limiti di funzioni:
Punti di accumulazione, intorni. Definizione di limite. (Teorema di collegamento tra limiti di funzioni e di successioni). Limite destro e sinistro. Teoremi di confronto, operazioni con i limiti, forme indeterminate. Infinitesimi ed infiniti. (Principio di sostituzione degli infinitesimi ed infiniti). (Prodotto di una funzione infinitesima per una limitata). (Limiti notevoli). Funzioni asintotiche e il simbolo “o piccolo”. Gerarchia degli infiniti di alcune funzioni elementari. (Limiti di funzioni monotone).

Continuità:
Funzioni continue, (continuità per successioni). Classificazione dei punti di discontinuità. (Continuità delle funzioni elementari). (Continuità della somma, prodotto rapporto, composizione di funzioni continue). (Teorema degli zeri). (Teorema dei valori intermedi). (Teorema di Weierstrass) e sue generalizzazioni su intervalli non limitati. (Test di continuità per le funzioni monotone), (continuità della funzione inversa).

Derivazione:
Definizione di derivata; significato geometrico e significati fisici. Differenziabilità e (relazione tra derivabilità e differenziabilità). (Continuità delle funzioni derivabili). (Derivate di funzioni elementari). (Derivata delle funzioni somma, prodotto, quoziente). (Derivata della funzione inversa). (Derivata della composizione di funzioni).

Applicazioni del calcolo differenziale:
Massimi e minimi locali, (Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange). (Criteri di monotonia). (Limiti delle derivate.) Funzioni convesse, (criteri di convessità), punti di flesso. (Teorema di de l’Hopital). Generalità sullo studio di funzioni, asintoti. Problemi di ottimizzazione. Problemi con variazioni collegate.

Integrazione:
Integrabilità, esempio di funzione non integrabile. (Criterio di integrabilità e suo significato geometrico), integrabilità delle funzioni continue. Proprietà dell’integrale. Valor medio di una funzione. Funzione integrale, (continuità della funzione integrale), (Teorema fondamentale del calcolo integrale). Primitive, (caratterizzazione della famiglia delle primitive di una funzione). Integrale indefinito. (Formula fondamentale del calcolo integrale). (Integrazione per parti e per sostituzione). Integrali immediati. Integrazione delle funzioni razionali, formula di decomposizione di Hermite. Integrazione di alcune funzioni irrazionali e trascendenti. Integrali impropri su intervalli limitati: (criteri del confronto, del confronto asintotico e degli infiniti). Integrali impropri su intervalli illimitati: (condizione necessaria per la convergenza di un integrale). (Criteri del confronto, del confronto asintotico e degli infinitesimi). (Relazione tra convergenza semplice e assoluta per gli integrali impropri).

Serie:
Serie numeriche convergenti, divergenti e indeterminate. (Comportamento della serie geometrica). Serie telescopiche. (Condizione necessaria per la convergenza). (Principio di invarianza). (Regolarità delle serie a segno costante). (Criterio del confronto con l’integrale). (Comportamento della serie armonica). (Criteri del confronto, del confronto asintotico e degli infinitesimi). (Criteri della radice) e del rapporto. Serie a segno alternato, (Criterio di Leibnitz). (Relazione tra convergenza e convergenza assoluta.)

Formula e serie di Taylor:
(Formula di Taylor col resto di Peano) e di Lagrange. (Espansione di Mc Laurin di funzioni elementari). (Condizione sufficiente per massimi e minimi locali con le derivate successive). Funzioni analitiche, (condizione sufficiente per l'analiticità). Esempi di funzioni infinitamente derivabili ma non analitiche. Sviluppi in serie di Mc Laurin di funzioni elementari.

Serie di potenze:
(Struttura dell'insieme di convergenza di una serie di potenze.) Raggio di convergenza. (Criteri per il calcolo del raggio di convergenza). Serie derivata. Derivabilità della somma di una serie di potenze e relazione con la somma della serie derivata. (Regolarità e analiticità della somma di serie di potenze). (Inversione tra i simboli di serie e derivata e tra serie e integrale). Determinazione della somma di una serie di potenze.

Numeri complessi:
Il campo complesso. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Potenze e radici. Esponenziale e Logaritmo nel campo complesso, forma esponenziale di un numero complesso. (Formule di Eulero). Seno e coseno nel campo complesso.

Serie di Fourier:
Serie di Fourier. Determinazione dei coefficienti delle serie di Fourier. Convergenza puntuale della serie di Fourier.