Appunti di analisi 1

Teoria degli insiemi

Il modo nel quale si indica l'insieme vuoto è il seguente: ∅

Se A e B sono insiemi: A = B vuol dire che A e B hanno gli stessi elementi, cioè A ⊆ B (ogni elemento di A è un elemento di B) e B ⊆ A (ogni elemento di B è contenuto in A). Cioè: A = B ⟺ A ⊆ B e B ⊆ A

Si definisce P(A) l'insieme delle parti di A, cioè l'insieme dei sottoinsiemi di A Esempio: {1, 2, 3} = A    P(A) = {∅, A, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}

Differenza insiemistica:

Siano A, B ∊ X insiemi, con A, B ⊆ X. Si pone: A \ B = {x ∈ X : x ∈ A, x ∉ B}

Insieme complementare:

Sia X un insieme e sia A ⊆ X, il complementare di A in X è: A^c = {x ∈ X : x ∉ A}

Leggi di De Morgan – Proposizione:

Sia X un insieme e siano A, B ⊆ X si ha: 1) (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c → il complementare dell’unione 2) (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

Dimostrazioni:

Dimostra che (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c x ∈ (A ∪ B)^c significa che x ∈ X e x ∉ A ∪ B, cioè x ∉ A e x ∉ B, cioè x ∈ A^c ∩ B^c

Dimostra che (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c x ∈ (A ∩ B)^c significa che x ∈ X e x ∉ A ∩ B, cioè x non appartiene né ad A né ad B, ma x ∈ A^c ∨ x ∈ B^c cioè x ∈ A^c ∪ B^c

INSIEMI NUMERICI

N = {0, 1, 2, ...} NUMERI NATURALI

Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} NUMERI INTERI

Q = {^p/_q , p ∈ Z , q ∈ N , q ≠ 0 } NUMERI RAZIONALI

R = (allineamenti decimali infiniti) NUMERI REALI

Teorema: √2 non è un numero razionale → √2 ∉ Q, cioè non esiste alcun numero razionale q tale che q² = 2

Dimostrazione per assurdo: Supponiamo per assurdo che esista un numero razionale x tale che x² = 2. Rappresentiamo x = ^p/_q , p ∈ Z , q ∈ N , q ≠ 0 con p e q primi tra loro.

Supponiamo (anche se è assurdo), che (^p/_q)² = 2, cioè p² = 2q². Ne deduciamo che p² è pari, cioè 2 è un fattore di p².

Ma allora 2 è un fattore primo anche di p, perchè l’elemento quadrato 2 non aggiunge fattori primi → quindi p è pari, cioè: p = 2m , ovvero è un numero intero pari.

Quindi p² = 4m² = 2q² → q² = 2m²

Perciò q² è pari e dunque q è pari, ciò è assurdo perchè ciò fosse vero p e q non sarebbero primi tra loro, perchè hanno un fattore 2 in comune. Ciò conclude la dimostrazione.

Esercizio: Dimostra che se t è primo allora √t è irrazionale

(Si può imitare da 3)

Supponiamo per assurdo che esista un numero razionale x tale che x² = 3. Rappresentiamo x = ^p/_q , p ∈ Z , q ∈ N - {0} con p e q primi tra loro.

(^p/_q)² = 3 p² = 3q²

Quindi p è un multiplo di 3 perchè il quadrato non aggiunge fattori primi → quindi p = 3d (con d un qualsiasi numero intero). Quindi:

p² = 9d² = 3q²

e dunque 3q² = 3d² q² = 3d², perciò q² è un multiplo di 3 e quindi non sono più primi tra loro (hanno il fattore 3 in comune).

Consideriamo un numero primo t e assumiamo per assurdo che √t sia un numero razionale. Poniamo √t = ^p/_q , con p ∈ Z , q ∈ Z , q ≠ 0 , p e q primi tra loro.

= ^{1-q^{n+1} + q^{n+1} - q^{n+2}}/_{1 - 9} = ^{1 - q^{n+2}}/_{1 - 9} VEROS

QUALCHE PROPRIETA' DEI NUMERI P E Rℚ

1. Per ogni p,q ∈ ℚ, con p < q esistono infiniti r ∈ ℚ tali che p < r < q

2. Proprietà di Archimede: per ogni a,b ∈ ℚ, con a > 0 esiste n ∈ ℕ tale che na > b
3. ℚ ha buchi cioè √2 irrazionale

   Siano A = {a ∈ ℚ: a ≥ 0 e a² ≤ 2}

   B = {b ∈ ℚ: b > 0 e b² > 2}

   Allora: A ∩ B = Ø

I numeri reali si costruiscono "per riempire i buchi di ℚ sulla retta".Su ℝ si definiscono le operazioni e una relazione d'ordine con le regole di calcolo già conosciute ("ℝ è un campo ordinato con la proprietà di Archimede, no dimostrazione").

• Teorema: Densità di ℚ in ℝ

Siano a,b ∈ ℝ, a < b. Allora esiste q ∈ ℚ tale che a < q < b ("cioè non ci sono intervalli nella retta reale senza numeri razionali").

 a   q ∈ ℝ   b ^ℝ

Dim: per ipotesi b-a > 0, applichiamo la proprietà di Archimede (di ℝ), con 1 al posto di e b-a al posto di a; esiste n ∈ ℕ tale che n(b-a) > 1. In altre parole il segmento [na,nb] ha lunghezza >1 quindi contiene un numero intero m, ...

Sup inf massimo e minimo

Def.: Sia A ⊆ R e x ∈ R, si dice che x è un maggiorante di A se x ≥ a ∀ a ∈ A.Sia A ⊆ R e x ∈ R, si dice che x è un minorante di A se x ≤ a ∀ a ∈ A.

Se A ammette maggiorante si dice che A è superiormente limitato.Se A ammette minorante si dice che A è inferiormente limitato.Ees. N è inferiormente limitato, ma non è superiormente limitato.Se A ammette sia un maggiorante che un minorante, si dice che A è limitato.

Definizione di massimo e minimo:

Sia A ⊆ R e sia x ∈ R. Si dice che:① x è il massimo di A (x = max A) se x ∈ A e x ≥ a ∀ a ∈ A. (cioè x = max A ⇔ e solo se x è un maggiorante di A che appartiene ad A)② x è il minimo di A (x = min A) se x ∈ A e x ≤ a ∀ a ∈ A. (cioè x = min A ⇔ e solo se x è un minorante di A che appartiene ad A)

Proposizione:

Il massimo di A se esiste è unico.Il minimo di A se esiste è unico.

Dim: siano x₁ = max A, x₂ = max A. Per definizione x₁, x₂ ∈ A e x₁ ≥ x₂ e x₂ ≥ x₂.Perciò x₁ = x₂.

Siano x₁ = min A, x₂ = min A. Per definizione x₁, x₂ ∈ A e x₂ ≤ x₁. Quindi x₁ = x₂.

Esempio:

Il massimo e/o il minimo possono non esistere.A = { 1/n : n ∈ N, n > 0 }

A è limitato, 1 è un maggiorante di A visto che 1 ∈ A e 1 = max A, 0 è minorante di A e 0 ∉ A.Dimostrazione che il minimo di A non esiste → dimostrazione per assurdo utilizzando la definizione.Supponendo per assurdo che esista, allora è un elemento di A, cioè esiste n ∈ N⁺ > 0, tale che 1/n = min A.Ma 1/n non può essere il minimo di A perché 1/(n + 1) < 1/n e 1/(n + 1) ∈ A → assurdo.

Teorema esistenza radice n-esima

Sia y ∈ R, y ≥ 0 e sia n ∈ N, n ≥ 2. Allora esiste uno ed un solo r ∈ R, r ≥ 0, tale che rⁿ = y. Tale che r si indica con _n√_y e si ha:

_n√_y = sup { x ∈ R : x ≥ 0 , xⁿ ≤ y }

NB: _n√_y si definisce solo per y ≥ 0

NB: ²√₄ indica l’unico numero ≥ 0 che elevato alla n dà y

In particolare: ²√₄ = 2 e non ( -2)

Potente con esponente razionale

Sia a > 0 e siano p, q ∈ Z, q > 0. Si pone:

a^1/q = ^q√_a e a^p/q = ( ^q√_a^p) = (a^p)^1/q = (a^1/q)^p

Perché definiamo le potenze con esponente razionale solo per base > 0? Perché se lo definissi anche per base ≤ 0 non varrebbero le proprietà delle potenze.

-2 = -3 √8 = (-8)^1/3 = (-8)^1/6 [( -8 )²]^1/6 = √64 = 2

Invece si dimostra che le proprietà delle potenze valgono per basi > 0 ed esponenti razionali.

Inoltre si dimostra (NB) che se a ≤ 1, q₁, q₂ ∈ Q con q₁ < q₂ allora: a^q₁ < a^q₂ mentre se 0 < a < 1, q₁, q₂ ∈ Q con q₁ < q₂ allora: a^q₁ > a^q₂

Caso particolare: se a ≤ 1 e q > 0 allora a^q > a⁰ = 1

Def: potenze con esponente reale: siano a ≥ 1, r ∈ R, r > 0. Si pone:

a^r = sup { a^q , q ∈ Q , q ≤ r }

Si dimostra che la definizione ha senso, cioè è coerente con quella data per gli esponenti razionali. Si dimostra anche che:

se a ≤ 1 e r₁ > r₂

allora: a^r₁ < a^r₂

ed inoltre valgono le proprietà delle potenze.

In particolare: a⁰ = 1 e r⁰ = 1 ∀r . Sia 0 < a ≤ 1 e sia r ∈ R - Si pone: