Appunti di analisi 1

Teoria degli insiemi

Il modo nel quale si indica l'insieme vuoto è il seguente: Ø

Se A e B sono insiemi A = B vuol dire che A e B hanno gli stessi elementi, cioè A ⊆ B (⇔ ogni elemento di A è un elemento di B) e B ⊆ A (⇔ ogni elemento di B è contenuto in A). Cioè:

A = B ⟺ A ⊆ B e B ⊆ A

Si definisce P(A) l'insieme delle parti di A

Esempio: {1,2,3} = A

P(A) = {∅, A, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}}

Differenza insiematica

Siano A, B ∈ X insiemi, con A, B ⊆ X. Si pone:

Simbolo della differenza insiematica

Insieme complementare

Sia X un insieme e sia A ⊆ X, il complementare di A in X è:

Modo nel quale viene indicato il complementare

Leggi di De Morgan - Proposizione

Sia X un insieme e siano A, B ⊆ X si ha:

1) (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c → il complementare dell'unione

2) (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

Dimostrazioni

Dimostra che (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c - tutti i punti che stanno nel complementare di A e B -

x ∈ (A ∪ B)^c significa che x ∈ X e x ∉ A ∪ B, cioè x ∉ A e x ∉ B, cioè x ∈ A^c e x ∈ B^c cioè x ∈ A^c ∩ B^c

Dimostra che (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

x ∈ (A ∩ B)^c significa che x ∈ X e x ∉ A ∩ B, cioè x non appartiene né ad A né a B, ma x ∈ A^c ∨ x ∈ B^c cioè x ∈ A^c ∪ B^c

Teoria degli insiemi

Il modo nel quale si indica l'insieme vuoto è il seguente: ∅

Se A e B sono insiemi, A = B vuol dire che A e B hanno gli stessi elementi, cioè A ⊆ B (ogni elemento di A è un elemento di B) e B ⊆ A (ogni elemento di B è contenuto in A). Cioè:

A = B <=> A ⊆ B e B ⊆ A

se e solo se

Si definisce P(A) l'insieme delle parti di A

l'insieme dei sottoinsiemi di A

Esempio: {1, 2, 3} = A

P(A) = {∅, A, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}

Differenza insiemistica

Siano A, B ∈ X insiemi, con A, B ⊆ X. Si pone:

A \ B = { x ∈ X : x ∈ A, x ∉ B }

Simbolo della differenza insiemistica

Insieme complementare

Sia X un insieme e sia A ⊆ X, il complementare di A in X è:

A^c = { x ∈ X : x ∉ A }

Modo nel quale viene indicato il complementare

Leggi di De Morgan – Proposizione

Sia X un insieme e siano A, B ⊆ X si ha:

1) (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c - il complementare dell'unione

2) (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

Dimostrazioni

Dimostra che (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c - tutti i punti che stanno nel complementare di A e B

x ∈ (A ∪ B)^c significa che x ∈ X e x ∉ A ∪ B, cioè x ∉ A e x ∉ B, cioè x ∈ A^c e x ∈ B^c cioè x ∈ A^c ∩ B^c

Dimostra che (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

x ∈ (A ∩ B)^c significa che x ∈ X e x ∉ A ∩ B, cioè x non appartiene né ad A né a B, ma x ∈ A^c ∨ x ∈ B^c cioè x ∈ A^c ∪ B^c

Insiemi numerici

• N = { 0, 1, 2, ... } Numeri naturali
• Z = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Numeri interi
• Q = { ^p/_q : p ∈ Z, q ∈ N, q ≠ 0 } Numeri razionali
• R = (allineamenti decimali infiniti) Numeri reali

Teorema

Teorema: √2 non è un numero razionale → √2 ∉ Q, cioè non esiste alcun numero razionale q tale che q² = 2

Dimostrazione per assurdo

Dimostrazione per assurdo: Supponiamo per assurdo che esista un numero razionale x tale che x² = 2. Rappresentiamo x = ^p/_q, p ∈ Z, q ∈ N, q ≠ 0 con p e q primi tra loro.

Supponiamo (anche se è assurdo), che (^p/_q)² = 2, cioè p² = 2q². Ne deduciamo che p² è pari, cioè 2 è un fattore di p².

Ma allora 2 è un fattore primo anche di p, perché l'elemento quadrato 2 non aggiunge fattori primi → quindi p è pari, cioè p = 2m, dove m è un numero intero pari.

Quindi p² = 4m² = 2q² → q² = 2m²

Perciò q² è pari e dunque q è pari, ciò è assurdo perché ciò fosse vero p e q non sarebbero primi tra loro, perché hanno un fattore 2 in comune. Ciò conclude la dimostrazione.

Esercizio

Esercizio: Dimostra che se t è primo allora √t è irrazionale (si può iniziare da 3)

Supponiamo per assurdo che esista un numero razionale x tale che x² = 3. Rappresentiamo x = ^p/_q, p ∈ Z, q ∈ N \ {0} con p e q primi tra loro.

( ^p/_q