Appunti di analisi 1

INSIEMI

• La teoria degli insiemi fornisce il linguaggio di base di tutta la matematica
• Un insieme è un concetto primitivo, definito solamente dalla nostra intuizione

Relazione di equivalenza

Su A un insieme non vuoto, una relazione di equivalenza "~" è una relazione binaria in A che ha le seguenti proprietà:

1. Riflessività: x ~ x ∀ x ∈ A
2. Simmetria: se x ~ y, allora y ~ x ∀ x, y ∈ A
3. Transitività: se x ~ y e y ~ z, allora x ~ z ∀ x, y, z ∈ A

Relazioni d'ordine

Su A un insieme non vuoto e "≤" una relazione binaria in A, allora "≤" è relazione d'ordine se ha le seguenti proprietà:

1. Riflessività: x ≤ x ∀ x ∈ A
2. Antisimmetria: se x ≤ y e y ≤ x, allora x = y ∀ x, y ∈ A
3. Transitività: se x ≤ y e y ≤ z, allora x ≤ z ∀ x, y, z ∈ A

• Tali proprietà sono soddisfatte dalla relazione ≤ dei numeri interi.
• ≤ è detta relazione d'ordine totale poiché soddisfa tale ulteriore condizione: ∀ x, y ∈ A -> o x ≤ y oppure y ≤ x

* Una relazione binaria in A è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A x A. In generale una relazione tra A e B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A x B.

INSIEMI NUMERICI

NUMERI NATURALI ℕ :

L'insieme ℕ dei numeri naturali gode dei seguenti proprietà detti assiomi di Peano :

1. 0 ∈ ℕ
2. ∀ n ∈ ℕ esiste un successivo s(n) ∈ ℕ
3. 0 non è successivo di alcun numero naturale
4. se s(n) = s(m) allora n = m (s è iniettivo)
5. se S ⊂ ℕ ha le seguenti proprietà:
• 0 ∈ S
• s ∈ S ⇒ anche s(n) ∈ S

allora S = ℕ ⇒ assioma di induzione

NUMERI INTERI ℤ

ℤ è l'insieme dei numeri interi relativi:

ℤ := ℕ ∪ {0} ∪ (-ℕ⁺)

NUMERI RAZIONALI ℚ :

I numeri razionali sono l’insieme dei numeri che possono essere espressi come rapporto tra due numeri interi :

ℚ := {m, n ∈ ℤ ⇒ m/n, n ≠ 0}

ℚ è totalmente ordinato e soddisfa le proprietà di campo rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione :

1. x, y, z ∈ ℚ, x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z ∀ z ∈ ℚ
2. x, y ∈ ℚ, x ≤ y ⇒ x z ≤ y z ∀ z ∈ ℕ⁺ ∪ {0}

Funzioni Reali

Una funzione reale è una funzione definito su sottoinsiomi di ℝ.

Una funzione in ℝ in simboli si indica come: f : A → ℝ : x → f(x)

Limitatezza

• f : A → ℝ è limit superiormente o inferiormente se f è limitato da f.
• se f è limitato si chiama anche estremo superiore o inferiore, e/o massimo e minimo le cui definizioni sono analoghe a quelle per un qualsiasi sottoinsieme di ℝ.

Parità

• f : A → ℝ è:
• pari se f(x) = f(-x)
• dispari se f(x) = -f(-x)

Periodicità

f : ℝ → ℝ è periodico se:

• ∃ T ∈ ℝ : f(x) = f(x + T) ∀ x ∈ ℝ

(Il minimo di tali T è detto periodo)

Monotonia

f : A → ℝ è:

• crescente se x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂) ∀ x ∈ A
• decrescente se x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂) ∀ x ∈ A
• strettamente crescente se x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) ∀ x ∈ A
• strettamente decrescente se x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂) ∀ x ∈ A

f crescente o decrescente è detta monotona, se invece è strettamente crescente/decrescente è strettamente monotona.

Funzioni Continue

Definizione generale di continuità di una funzione:

Sia \( f: A \to \mathbb{R} \) una funzione e \( x_0 \in A \), si dice che f è continua in \( x_0 \) se:

\[\forall \varepsilon > 0\ \exists I_{(x_0, \delta)} | x \in I \cap A \Rightarrow f(x) \in I_{(f(x_0), \varepsilon)}\]

Teorema: Sia \( f: A \to \mathbb{R} \) e \( x_0 \in A \) un punto di accumulazione di A, allora f è continua in \( x_0 \) se e solo se:

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]

*Una funzione è continua in \( A \subset \mathbb{R} \) se è continua in ogni \( x \in A\).

Funzioni Combinante:

Una funzione ottenuta come somma, prodotto o quoziente di funzioni continue in \( x_0 \), è continua in \( x_0 \).

Funzioni Composte:

Siano f e g funzioni continue in \( x_0 \) e \( g(f(x)) \), allora la funzione composta \( g \circ f \) è continua in \( x_0 \).

Discontinuità

Una funzione non continua in \( x_0 \) è discontinuà in \( x_0 \) in 3 modi possibili:

1. Discontinuità eliminabile: \(\exists \lim_{x \to x_0} f(x) \in \mathbb{R} \wedge \lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)\), f(x) può essere resa continua in \( x_0 \) modificando il valore di f(x).
2. Salto: \(\exists\ \lim_{x \to x_{0}^+} f(x)\) e \(\lim_{x \to x_{0}^-} f(x)\) ma almeno uno dei limiti è diverso da \( f(x) \).
3. Discontinuità di 2^a specie: almeno uno tra i limiti destro e sinistro di f(x) in \( x_0 \) non esiste o è infinito.

*Una funzione non può essere discontinua in un punto in cui non è definita!

CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI LAGRANGE

Sia f : I → ℝ derivabile in I aperto:

1. Se f'(x) = 0 ∀x ∈ I ⇒ f è costante in I
2. Se f'(x) > 0 ∀x ∈ I ⇒ f è crescente in I
3. Se f'(x) < 0 ∀x ∈ I ⇒ f è decrescente in I

TEOREMA DEGLI ESTREMI RELATIVI

Sia f continua in un intervallo aperto I e derivabile tranne al più in un numero finito di punti. Se f' cambia segno in un intorno di tali punti allora essi sono estremi relativi.

TEOREMA DEL DERIVATO LATERALI

Sia f continuata in I e derivabile in I-(x) se esiste lim_x→x^- f'(x) = l ∈ ℝ, allora f'(x^-) = l,

analogamente per il limite in x⁺ se tali limiti coincidono allora f è derivabile in x.

TEOREMA DI L'HÔPITAL

Sia I un intervallo aperto di estremi a, b ∈ ℝ, a < x < b, siano f e g derivabili in I e su g(x) ≠ 0 ∀x ∈ I,

si supponga inoltre che:

1. f e g siano entrambi +∞/∞ o -∞/∞ per x → c⁺
2. esista in ℝ il lim_x→c f'(x)/g'(x) = l

Allora esiste:

lim_x→c f(x)/g(x) = lim_x→c f'(x)/g'(x) = l

Integrale di Riemann

Partizione: Su I un intervallo limitato di R di estremi a, b con a ≤ b, si dice che l'insieme di punti x₀, x₁, ..., x_n è una partizione di I se a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b.

Funzione a gradini: μ : I → R si dice a gradini se esiste una partizione P di I tale che μ è costante in ciascuno degli intervalli aperti ]x_i-1, x_i[ in cui P divide I, ossia se esistono c_i ∈ R tali che: μ(x) = c_i, ∀ x ∈ ]x_i-1, x_i[, i = 1, 2, ..., n.

Integrale di una funzione a gradini: su μ : I → R una funzione a gradini, il numero reale:

I_a^b[μ] = ∑_i=1ⁿ c_i (x_i - x_i-1)

è detto integrale di μ in I, ed è indipendente dalla particolare partizione di I che verifichi le ottimalità attuali di μ.

Proprietà:

1. Linearità: I_a^b[μ + λυ] = I_a^b[μ] + λ I_a^b[υ]
2. Isotonia: Se μ ≤ υ ∀ x ∈ I allora: I_a^b[μ] ≤ I_a^b[υ]
3. Decomposizione del cammino: Su a, b, c ∈ I risulta: I_a^c[u] = I_a^b[u] + I_b^c[u]