Appunti di analisi 1

INSIEMI

• La teoria degli insiemi fornisce il linguaggio di base di tutta la matematica.
• Un insieme è un concetto primitivo, definito solamente dalla nostra intuizione.

Relazioni di equivalenza

Su A un insieme non vuoto, una relazione di equivalenza "~" è una relazione binaria in A che ha le seguenti proprietà:

1. Riflessività : x ~ x     ∀ x ∈ A
2. Simmetria : se x ~ y, allora y ~ x     ∀ x, y ∈ A
3. Transitività : se x ~ y e y ~ z, allora x ~ z     ∀ x, y, z ∈ A

Relazioni d'ordine

Su A un insieme non vuoto e "⋖" una relazione binaria in A, allora "⋖" è relazione d'ordine se ha le seguenti proprietà:

1. Riflessività : x ⋖ x     ∀ x ∈ A
2. Antisimmetria : se x ⋖ y e y ⋖ x, allora x = y     ∀ x, y ∈ A
3. Transitività : se x ⋖ y e y ⋖ z, allora x ⋖ z     ∀ x, y, z ∈ A

• Tali proprietà sono soddisfatte dalla relazione ≤ dei numeri interi, ≤ è detto relazione d'ordine totale poiché soddifa talo ulteriore condizione:
• ∀ x, y ∈ A   ->   x ⋖ y   oppure   y ⋖ x

* Una relazione binaria in A e è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × A. In generale una relazione tra A e B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B

INSIEMI

• La teoria degli insiemi fornisce il linguaggio di base di tutta la matematica
• Un insieme è un concetto primitivo, definito solamente dalla nostra intuizione

Relazione di Equivalenza

Su A un insieme non vuoto, una relazione di equivalenza "~" è una relazione binaria* in A che ha le seguenti proprietà:

1. Riflessività: x~x ∀x∈A
2. Simmetria: se x~y allora y~x ∀x,y∈A
3. Transitività: se x~y e y~z allora x~z ∀x,y,z∈A

Relazioni d'Ordine

Su A un insieme non vuoto e "≤" una relazione binaria in A, allora "≤" è relazione d'ordine se ha le seguenti proprietà:

1. Riflessività: x≤x ∀x∈A
2. Antisimmetria: se x≤y e y≤x allora x=y ∀x,y∈A
3. Transitività: se x≤y e y≤z allora x≤z ∀x,y,z∈A

• Tali proprietà sono soddisfatte dalla relazione ≤ dei numeri interi. ≤ è detta relazione d'ordine totale poiché soddisfa tale ulteriore condizione:

∀x,y∈A → x ≤ y oppure y ≤ x

* Una relazione binaria in A è un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxA. In generale una relazione tra A e B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB.

INSIEMI NUMERICI

NUMERI NATURALI N

L'insieme N dei numeri naturali gode dei seguenti proprietà, detti assiomi di Peano:

1. 0 ∈ N
2. Ogni n ∈ N ha un successivo ^G(n) ∈ N
3. 0 non è il successivo di alcun numero naturale
4. Se n, m ∈ N e ^G(n) = ^G(m) allora n = m
5. Se S ⊂ N ha le seguenti proprietà:
   • a) 0 ∈ S
   • b) Se n ∈ S anche ^G(n) ∈ S
   allora S = N   → Assioma di induzione

NUMERI INTERI Z

Z è l'insieme dei numeri interi relativi:

Z :=   N⁺ ∪ {0} ∪ (−N⁺)

NUMERI RAZIONALI Q

I numeri razionali sono l'unione dei numeri che possono essere espressi come rapporto tra due numeri interi:

Q :=   m, n ∈ Z   =>   m/n,   n ≠ 0

Q è totalmente ordinato e soddisfa le proprietà di campo rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione:

1. x, y ∈ Q,   x ≤ y →   x + z ≤ y + z   ∀z ∈ Q
2. x, y ∈ Q⁺,   x ≤ y →   x ⋅ z ≤ y ⋅ z   ∀z ∈ Q⁺\{0}

NUMERI REALI

• Si assume per semplicità che esistano i numeri reali ℝ come un insieme non definito, dotato di due operazioni binarie interne +, · e soddisfacente alcuni assiomi:

ASSIOMI DI CAMPO

• Sono gli assiomi che fanno di ℝ un campo.

• 1) Commutatività: x + y = y + x / x · y = y · x / ∀ x, y ∈ ℝ

• 2) Associatività: x + (y + z) = (x + y) + z / (x · y)z = (x · y)z / ∀ x, y, z ∈ ℝ

• 3) Distributività: x(y + z) = xy + xz / ∀ x, y, z ∈ ℝ

• 4) Elemento neutro: ∃ 0 | x + 0 = x, ∃ 1 | x · 1 = x / ∀ x ∈ ℝ