Appunti di Analisi 1

Funzione pari

f(x) è pari se f(x) = f(-x) ⇒ simmetrica rispetto asse Y

Funzione dispari

f(x) è dispari se -f(x) = f(-x) ⇒ simmetrica rispetto asse X

Funzione periodica

f(x) è periodica se ∃ T > 0 / f(x+T) = f(x)

Funzione parte intera di x

Y = ⌊x⌋ (più grande numero intero più piccolo di x)

Intorno di un punto

Preso un punto X₀ ∈ E, chiamasi intorno di X₀ cm qualunque intervallo aperto che contenga X₀.

Punto di accumulazione

X₀ è un punto di accumulazione per l’insieme E se ∀ I_x0 ∃ almeno un punto X ∈ E/E ∖ I_x0

Teorema di accumulazione

Se X₀ ∈ ∂E , allora ∀ I_x0 vi cadono infiniti punti di E, ⁄= 0

Teorema di B.-Weierstrass

Sia E ⊂ ℝ, limitato e contenente infiniti punti, allora contiene almeno un p.to di accumulazione.

Massimo assoluto

M è p.to di max. assoluto s.c:

1. f(x) ≤ M , ∀X ∈ D
2. ∃ almeno un X₀/f(X₀) = M

Minimo assoluto

m è p.to di minimo assoluto s.c:

1. f(x) ≥ m , ∀X ∈ D
2. ∃ almeno un X₀/f(X₀) = m

Funzione pari

f(x) è pari se f(x) = f(-x)⇒ simmetrica rispetto asse Y

Funzione dispari

f(x) è dispari se -f(x) = f(-x)⇒ simmetrica rispetto asse X

Funzione periodica

f(x) è periodica se ∃ T > 0 / f(x+T) = f(x)

Funzione parte intera di x

y = [x] (Più grande numero intero più piccolo di x)

Intorno di un punto

Preso un punto Xo ∈ E, chiamasi intorno di Xo con qualunque intervallo aperto che contenga Xo.

Punto di accumulazione

Xo è un punto di accumulazione per l'insieme E se ∀I

Serie diverge

Se q =1 => serie indeterminata

S(x) = ¹⁄_1-q

Serie armonica

Σ_n=1^{∞ 1}⁄_n = +∞

Serie armonica generalizzata

Σ_n=1^{∞ 1}⁄_n^d diverge per d ≤ 1, converge per d > 1

Punti singolari di una funzione

1. Punti x_o ∈ É ⊂ Δ dove f non è continua.
2. Punti x_o ∈ Δ ma non a É.

Punti di discontinuità

• Se lim_x→xo^- f(x) = l^- ≠ / lim_x→xo⁺ f(x) = l⁺ => discontinuità 1^a specie (discontinuità di salto)
• Se lim_x→xo f(x) = ∞ => discontinuità 2^a specie (punto di infinito)

Asintoto verticale

Retta x = x_o è asintoto verticale - a destra se lim_x→xo⁺ |f(x)| = +∞ - a sinistra se lim_x→xo^- |f(x)| = -∞

Asintoto obliquo

Retta y = mx+q è asintoto obliquo se lim_x→+∞ ^f(x)⁄_x = m (num. finito) e lim_x→+∞ f(x)-mx = q (num. finito)

1. lim_n→+∞ ⁿ√n = 1
2. lim_n→+∞ n^1/n = 1

Teorema criterio di invertibilità

Una funzione continua e strettamente monotona in un intervallo [a,b], è invertibile in tale intervallo e la sua inversa è continua in C.

La somma di due funzioni crescenti è una funzione crescente.

La composizione di funzioni crescenti è una funzione crescente.

Derivata funzione inversa

g'^-1(y₀) = ¹⁄_f'(x0) |_{x0 = g(y0)} (x₀ si ricava uguagliando f(x) a y₀)

Funzioni in una variabile

Continuità

lim_x→x0^- f(x) = lim_x→x0⁺ f(x) = f(x₀)

Derivabilità

lim_x→x0 f(x) - f(x₀) / (x - x₀) = l se lim_x→x0^- f(x) − f(x₀) / (x − x₀) = l⁺ ≠ l^- => X₀ è punto angoloso se lim_x→x0 f'(x) − f(x₀) / (x − x₀) = +∞ _{(con x→x0⁺)} -∞ _{(con x→x0^-)} => X₀ è punto di cuspide

Teorema di Fermat

f: [a,b]→ℝ X₀ ∈ (a,b) f è derivabile in X₀ X₀ è punto di max/min relativo                            => f'(X₀) = 0

Teorema sulla continuità

Se una funzione è derivabile, è continua.

Teorema di unicità del limite

Hp: ∃ lim_n→+∞ a_n = l

Th: Il limite è unico

Dimostrazione (per assurdo)

Nego la tesi: il limite non è unico

1. lim_n→+∞ a_n = l₁
2. lim_n→+∞ a_n = l₂

1^o Caso: ε₁ o Caso: ε₁ > ε₂

Le 2 definizioni di limite sono soddisfatte per ε_e = max {ε₁, ε₂}

1. |l₁ - l₂| poiché l₁ ≠ l₂ (per Hp)
2. |l₁ - l₂| = |l₁ + a_n - a_n - l₂| perché aggiungo e sottraggo stessa quantità

|l₁ + a_n - a_n - l₂| ≤ |l_n - a_n| + |a_n - l_e| per diseguaglianza triangolo

|l₂ - a_n| + |a_n - l₂| n + a_n - l₂| e può assumere qualunque valore positivo quindi anche |l₁ - l₂| / 2⇒ |l_n - a_n| + |a_n - l₂| 1 - l₂| / ₂quindi anche |l₁ - a_n + a_n - l₂| 1 - l₂|⇒ |l₁ - l₂| 1 - l₂| ⇒ è un Assurdo

Determinare ordine di infinitesimo

L'ordine di infinitesimo equivale al valore che α deve assumere per far si che

\(\lim_{x \to ?} \frac{f(x)}{[\varphi(x)]^\alpha} \) = λ > 0

• φ(x) = x   se x → ∞
• φ(x) = \(\frac{1}{x}\)   se x → 0
• φ(x) = x - c   se x → c

Determinare ordine di infinito

L'ordine di infinito equivale al valore che α deve assumere per far si che

\(\lim_{x \to ?} \frac{f(x)}{[\varphi(x)]^\alpha} \) = λ ≠ 0

• φ(x) = x   se x → ∞
• φ(x) = \(\frac{1}{x}\)   se x → 0
• φ(x) = \(\frac{1}{x-c}\)   se x → c

Teorema di Weierstrass

f: E → ℝ , con E⊆ℝf continua in EE chiuso e limitato⇒ f è dotato di max e min assoluti

Passaggi per trovare tutti i max/min relativi e assoluti

• Studio dove si annulla derivata prima
• Studio punti di non derivabilità
• Studio gli estremi dell'intervallo

Teorema di Rolle

f ∈ C⁰[a,b] , ∃ f'(x) in (a,b) , f(a)=f(b)∃ ξ ∈ (a,b) / f'(ξ)=0

Dimostrazione

Se f ∈ C⁰[a,b] allora ∃ x₀ / f(x₀) = m , x₀ / f(x₀) = M (Per Teorema di Weierstrass)

Teorema di Lagrange

f ∈ C⁰[a,b] , ∃ f'(x) in (a,b)

⇒ ∃ ξ ∈ (a,b) | f(b) - f(a) = f'(ξ)(b-a)

Dimostrazione

Si introduce g(x) = f(x) - { ^f(b)-f(a)/_b-a } . (x-a) + f(a)

Soddisfa Rolle perché:

• g(x) ∈ C⁰[a,b]
• ∃ g'(x) in (a,b)
• g(a) = g(b) poiché g(a) = f(a) - f(a) = 0 e g(b) = f(b) - f(b) = 0
• ⇒ ∃ ξ ∈ (a,b) | g'(ξ) = 0 per Teo. di Rolle
• g'(x) = f'(x) - ^f(b)-f(a)/_b-a
• f'(ξ) - ^f(b)-f(a)/_b-a = 0 ⇒ f'(ξ) = ^f(b)-f(a)/_b-a

Teorema di invertibilità

Se una funzione è continua e strettamente monotona in E, allora ammette inversa definita e continua nell'insieme immagine.

Derivata funzione inversa

g'₀= 1/f'(x₀) y₀ = g(x₀) => f'(x₀) y₀ = y₀

Derivata del log_af(x)

D_logaf(x)= f'(x)/f(x) log_ae

Fattore integrante

e^-∫a(x)dx

Integrale per parti

∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx

Elevamento a potenza di i

Dividere l'esponente per 4. Il resto della divisione rappresenta l'esponente a cui è equivalente elevare i.

Forma trigonometrica num. complessi

x+iy = ρcosθ + iρsenθ

Formula di De Moivre

zⁿ = ρⁿ(cos(nθ) + i sen(nθ))

Derivata di a^x

D^ax = a^xln a

Derivata di a^f(x)

= a^f(x) f'(x) ln a

Integrale indefinito

∫f(x) dx = F(x) + C ⇒ L'integrale indefinito di una funzione indica la totalità delle primitive di quella funzione

Definizione di primitiva

Una funzione F(x) è una primitiva di f(x) se F(x) è derivabile in [a,b] e se F'(x)=f(x) ∀ x ∈ [a,b] .

Integrale definito

Sia [a,b] un intervallo chiuso e limitato

Sia f:[a,b]→ℝ una funzione continua (quindi ammette primitive)

Chiamiamo integrale definito di f su [a,b]

∫_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)

dove F(x) è una qualsiasi primitiva di f.

L'integrale definito di una funzione indica l'area (con segno!) della regione di piano compresa tra tra il grafico di f risolto nell'intervallo [a,b] e l'asse X.

Teorema della media per il calcolo integrale

Se f ∈ C^°[a,b]∃ x_o ∈ [a,b] / ∫_a^b f(x)dx = f(x_o)·(b-a)

Se f(x) è continua esiste un punto x_o tale che l'area sottesa dalla funzione sia equivalente all'area del rettangolo di lato f(x) e (b-a).

Teorema di Torricelli-Barrow

f(x) ∈ C°[A]

f è dotata di primitiva in A (FCA)

Ne risulta che:

• 1 F è derivabile in A
• 2 F'(x) = f(x) ∀x ∈ A

Dimostrazione

Se F è derivabile in A → lim_Δx→0 (F(x+Δx) - F(x))/Δx deve esistere ed essere determinato e finito.

In particolare, per verificare la 2^a condizione, il limite del rapporto incrementale deve essere uguale a f(x).

(F(x+Δx) - F(x))/Δx = ((∫_a^x+Δx f(t) dt) + f ) - ∫_a^x f(t) dt - f )/Δx

Applico la proprietà additiva = ∫_x^x+Δx f(t) dt + ∫_a^x+Δx f(t) dt - ∫_a^x f(t) dt= ∫_x^x+Δx f(t) dt/Δx = Applico il teorema della media su un intervallo (x, x+Δx) di ampiezza Δx.

Ottengo f(x₀)·Δx/Δx , con x 0

Riassumendo, (F(x+Δx) - F(x))/Δx = f(x₀) ⇒ lim_Δx→0 (F(x+Δx) - F(x))/Δx = lim_Δx→0 f(x₀) = lim_x0→x f(x₀) = f(x)

Continuità

lim_{(x,y)→(x̅,y̅)} f(x,y) = f(x̅,y̅)

Derivabilità parziale

Rispetto allo x: lim_x→x̅ ^{f(x,y̅) - f(x̅,y̅)}/_{x - x̅} = l

Rispetto allo y: lim_y→y̅ ^{f(x̅,y) - f(x̅,y̅)}/_{y - y̅} = l

Continuità non implica derivabilità e viceversa.

Differenziabilità

lim_{(x,y)→(x̅,y̅)} ^{f(x,y) - f(x̅,y̅) - [f_x(x̅,y̅)·(x-x̅) + f_y(x̅,y̅)(y-y̅)]}/_{√((x-x̅)²+(y-y̅)²)} = 0

Derivabilità direzionale

lim_t→0 ^{f(x̅+αt, y̅+βt) - f(x̅,y̅)}/_t = l

ove p(x̅,y̅) e r(α,β) (coseni direzioni)

Forma trigonometrica

• X = ρ cos θ
• Y = ρ sen θ
• X² + Y² = ρ²
• tg θ = ^Y/_X

Differenziale primo

Si chiama differenziale primo di una funzione a due variabili f(x,y) la somma dei prodotti della derivata parziale rispetto a x e la derivata parziale rispetto a y per, rispettivamente, l'incremento di X e l'incremento di Y.

Incremento di X = ΔX = (X - X̄)

Incremento di Y = ΔY = (Y - Ȳ)

Criterio di differenziabilità

Se f ∈ C¹(I_P) ⇒ f è differenziabile in P̅

Criterio per la derivabilità direzionale

Se f ∈ C¹(I_P) ⇒ f è derivabile direzionalmente in P̅

Infatti _∂f(x̅,y̅₎/∂P̅ = f_x(x̅,y̅)·α + f_y(x̅,y̅)·β

Equazioni differenziali 1^o ordine

• Metodo del fattore integrante
• Separazione delle variabili

Equazioni differenziali 2^o ordine

Y(x) = Y_o(x) + Ȳ(x)

• Metodo di Lagrange
• Metodo di somiglianza

Equazione caratteristica - formula integrale generale eq. omogeneo associata

Teorema sulla struttura dell'integrale generale

Sia Ȳ cm integrale particolare dell'equazione completa allora l'integrale generale dell'equazione completa è uguale a Y(x) = Y_o(x) + Ȳ(x) ovè Y_o(x) ò è l'integrale generale dell'equazione omogenea associata.

Dimostrazione

Dimostro che y-Ȳ è soluiónè di y″ + ay‘ + by = 0

L(y-Ȳ) ? = 0

L(L(y-Ȳ) = L(y) - L(Ȳ)f(x) f(x) = 0

Limiti notevoli

• lim_x→0 ^sinx⁄_x = 1
• lim_x→0 ^1-cosx⁄_x = 0
• lim_x→0 ^1-cosx⁄_x² = ¹⁄₂
• lim_x→0 ^{ln (1+x)}⁄_x = 1
• lim_x→∞ (1+¹⁄_x)^x = e
• lim_x→0 ^ex-1⁄_x = 1