Appunti di analisi 1

ANALISI

TEORIA DEGLI INSIEMI

• INSIEME: una collezione di elementi aventi caratteristiche in comune.
• NOTAZIONE: Gli insiemi si indicano con la lettera maiuscola, gli elementi con la lettera minuscola.

a ∈ A

• ASSEGNARE UN INSIEME TRAMITE
  1. Elenco degli elementi: A = ℕ: {0, 1, 2, 3, …, n}
  2. Descrizione di proprietà: P = {n ∈ ℕ : n₂ ∈ ℕ₄}

OPERAZIONI INSIEMI

Fissato un insieme o un insieme X ≠ ∅, un suo sottoinsieme è un insieme i cui elementi sono anche elementi di X.

Quindi:

A ⊂ X e B ⊂ X e A, B ⊂ X

INCLUSIONE

A e B sono sottoinsiemi di X, cioè:

x ∈ X : x ∈ A ⋀ x ∈ B

1. Complementare di A in X: C_A : {x ∈ X : x ∉ A}

⇒ C× = ∅ ; C∅ = X ; C(C(A)) = A

2. Intersezione A ∩ B : {x ∈ X : x ∈ A ⋀ x ∈ B}

3. Unione A ∪ B : {x ∈ X : x ∈ A ⋁ x ∈ B}

4. Differenza: A ∖ B : {x ∈ X : x ∈ A ⋀ x ∉ B}

ELEMENTI DI LOGICA

P : n ∈ ℕ: n₂ ∈ ℕ oppure P(n) = n₂ ∈ ℕ

• PREDICATO LOGICO: frase che contiene una o più variabili e che esprime una proprietà di esse.

Se un predicato posso dire se è vero o falso, lo chiamo PROPOSIZIONE LOGICA:

P(2) VERA

P(B) FALSA

Ritendo da un predicato in modo per ottenere proposizioni è assegnare il valore delle variabili, oppure utilizzare i QUANTIFICATORI: ∀ (per ogni), ∃ (esiste)

Es.

1

(1) ∃ n ∈ ℕ : p(n) VERA

(2) ∀ n ∈ ℕ p(n) FALSA

È importante l'ordine delle proposizioni!!!

∃ x ∈ ℕ : ∀ y ∈ ℕ : y ≠ x+1

è diversa da

∀ y ∈ ℕ, ∃ x ∈ ℕ : y ≠ x+1

VERA

CONNETTIVI LOGICI

• ∨ disgiunzione "o"
• ∧ congiunzione "e"
• ¬ negazione "non"
• → implicazione "implica"
• ↔ equivalenza "se e solo se"

p → q

p ↔ q ≡ q ↔ p

ESEMPI :

(1) ∃ n ∈ ℕ : p(n) vera

(2) ∀ n (n, p) falsa

∘ (1) ∨ (2) vera. Basta sia vera una delle 2!

La disgiunzione logica è vera se almeno una delle due proposizioni è vera.

∘ (1) ∧ (2) falsa, è vera solo se entrambe sono vere.

∘ (1) ∃ n (n, p ⟩) = ∀ n, n ∈ 1 / 2 falsa

∘ (2) ∀ n (n, p) = 1 / 2 n vera

I CONNETTIVI si applicano anche ai predicati e si parla di Logica dei predicati.

Es. n è divisibile per 4 => n è pari

Si legge: "se ... allora ... oppure ... condizione sufficiente affinché n sia pari è che sia divisibile per 4... oppure "condizione necessaria affinché n sia divisibile per 4, è che sia pari"

DIM per ASSURDO p ⇒ q ⇔ ¬ q ⇒ ¬ p

INSIEMI NUMERICI

ℕ naturali { 0, 1, 2, 3, ... n }

operazioni ben definite : +, o

ℤ interi relativi { ..., -2, -1, 0, 1, 2 , ... }

ben definite : +, -, ∗

ℚ razionali q = m / n ∋ m ∈ ℕ / 0 ∧ n ∈ ℤ

ben definite : +, -, ∗, ÷

ℤ ⊂ ℚ dotati di ORDINAMENTO, posso stabilire il maggiore tra 2 numeri dati.

PROBLEMA: Disuguaglianza di un quadrato di lato 1, d²= 4 + 3 : 2 riad a p. di 5:_​ l teorema l / x ∈ ℚ: x = 2. l irrazionalità di 2.

DIM Per assurdo suppongo esista x = u / h ∈ ℚ \ x₂ = v₂ / 2 ⇒ u² / 2 ⇒ m²... n² 2

quindi m ∈ PARI, si è perchè m = (2h+1) 2 ⇒ u₂ = ((2hk2h+1)h) + 1 dispari (assurdo).

altrou se m = m + 2 "4h₂ = b" n2" m = n2 pari!

To su m † non non sono pituuito [Ho Lore】!

2

CONCETTI

INTERVALLO: un sottoinsieme _I ∈ _IR è detto intervallo di estremi _x1, _x2 ∈ _I, se

Com _x1, _x2, ∈ _IR, _{a ∈ IR} e _{b ∈ IR} e sono detti estremi dell'intervallo

Può essere:

• Chiuso _{[a; b]}:
• Aperto _IR:
• Semichiuso a destra _{[a; b)}:
• Semichiuso a sinistra _{(a; b]}:
• Aperto illimitato _{(-∞; +∞)}:
• Chiuso illimitato _IR:

Un punto _xo si dice interno se _xo ∈ _I e non è un suo estremo.

• Esempio: _IR,

RELATIONS E FUNZIONI

_X x _Y:

Chiamiamo _β sottoinsieme di _X x _Y relazione tra _X e _Y:

Se (_x, _y) ∈ _β, diciamo che _X è in relazione con _y.

• Esempio:

Tutti le copie _x,

• A:
• E:

Vogliamo evitare situazioni di questo tipo.

Introduciamo il concetto di FUNZIONE.

Siano _X e _X ∈ _IR, una funzione β associata ad ogni _xe se e solo se

Se _X ↓, definita nel dominio _β:

Il ’elemento _Y:

Esempio: _X :

• E:

Se una funzione _x, allora il suo immagine di _x attraverso _β è _β:

• Esempio:

Grafico: _IR

PROPRIETÀ

se g è iniettiva e g anche → g°f è iniettiva → invertibile!

se f e g sono monotone crescenti/decrescenti → g°f è monotona crescente

FUNZIONI GONIOMETRICHE

P=(cos x, sen x)

X² + Y² = 1

sen(x)

• dom f: ℝ
• img f: [-1,1]
• f è periodica, f dispari, sen(-x) = -sen x
• f non invertibile!

Scegliamo una restrizione per cui f invertibile (arbitraria).

riduco dom f a [-π/2, π/2], e f(x) iniettiva e invertibile → ∃ f⁻¹

arc_sen(x)

• dom f⁻¹: [-1,1]
• img f⁻¹: [-π/2, π/2]

x = arc_sen x

cos(x)

• dom f: ℝ, img f: [-1,1], pari

Per renderla invertibile riduco il dom a [0,π] ∃ f⁻¹

arc_cos(x)

• dom f⁻¹: [-1,1]
• img f⁻¹: [0, π]

funzione inversa di cos x|_{[0, π]}

tg(x) (cot(x))

• dom f: ℝ/{π/2 + k π | k ∊ ℤ}, img f: ℝ

funzione dispari, f periodica

Per iniettività considerare restrizione di dom f a (-π/2, π/2)

• invert, iniettiva e strettam. cresc. su tale intervallo
• f⁻¹: arc_tg(x)
• dom f⁻¹: (-∞, +∞) e img f⁻¹: (-π/2, π/2)

x = arc_tg x

COORDINATE POLARI

P (x, y) una posso individuato anche con r e θ

• con r = √(x² + y²)
• θ = arc_tg (y/x)

avrei (x, y) → (x, y) con

• (r,θ) ∈ [0, +∞) × [-π, π]
• (x, y) ∈ ℝ × ℝ

Proprietà

Se i coefficienti di p(z) sono reali, allora se z₀ è una radice, anche z̅₀ lo è.

Dimostrazione

Hp p(z₀) = 0 e coeff. p reali Th p(z̅₀) = 0 p(z) = a_nzⁿ + a_n-1z^n-1 + … + a₀ = 0 a_nz̅ⁿ₀ + a_n-1z̅^n-1₀ + … + a₀ = a_nzⁿ₀ + a_n-1z^n-1₀ + … + a₀ = a_n reali, quindi chiunque inverta to a₀ = 0 : p(z̅₀)!

Limiti di funzioni

(Def) Sia x₀ ∈ ℝ, r ∈ ℝ, definisco I_r(x₀) intorno di raggio r di x₀ (centro). I_r(x₀)={x ∈ ℝ: |x-x₀| < r} (∀) V ⊂ ℝ_+, si definisce intorno di +∞ di estremo in a, l'intervallo illimitato superiore I_⅂(+∞) = [o_a + ∞) per o⟶ vale I_⅂(-∞) = (-∞, o_a]

Punto di accumulazione. x₀ ∈ ℝ (retta reale estesa): |ℝ ∪ {+∞} ∪ {-∞}|. E p.d.ac. d.c. A ⊂ ℝ se ∀δ > 0 I_⟂(x₀)\X̨∩A ≠ 0

Esercizio

A = {0} ∪ {+∞} (x se scelgo qua x₀, ci scuo o punti di questo intorno che ∈ A. ∀tutti i punti interni di A sono di accumulazione - x₀ ≠ A x₀ ∉ A (non è di accumulazione per A - x₀ ∈ A un u.c.a e di accumulazione per A. Infatti se scelgo I di raggio 1/2 scelgo o, 0 con A e ottengo $. → Punto isolato

Tipi di limiti

(Data β: domβ ⊆ ℝ → ℝ)

1. Sia t_o punto di accumulazione per domβ. Si dice che lim_x→+∞β(x) = I se ∀Е > 0, ∃ B >o; ∀x ∈ domβ; x > B ⇒ |β(x) - I| < Е Sia dicendo che х ∈ I_β di centro t_oo,se β(x) ∈ Е (Е).

Esempio

∀ε > 0, ∃B > 0; x > B ⟶ 1/х⟶0|<Е⟶ -1/х⟨E⟶x < Є E x εν x > 0⟶ хо⟶Е⟶ EO, идин弟атпсл＝Е₄