Appunti di analisi 1

Analisi

Giovanni Cupini

Via: giovanni.cupini@unibo.it (uguale per tutti i prof.)

Dipartimento di Matematica

Piazza di Porta S. Donato 5

Studio D7, 2° piano e mezzo

Esame

Analisi A+ Geom. e Algebra (corso integrato)

Bisogna superare tutte le 3 spezzettature! Esame composto da 3 moduli, 2 ridotti

• Gennaio - Febbraio → 3 appelli
• Giugno - Luglio → 2 appelli

Dove superare solo 1 di analisi e geom. E il 1° appello scritto non vale se senza scritto e orale su analisi e geom. superato lo scritto di preso anno.

Le note online!

• Dimostrazioni fatte in aula vengono scartate per l'esame.
• Sperimentato sistema analisi: 1/3
• Per superare tutti esame: media di analisi + geom ≥ 18!
• Superato scritto: orale via Portaemo steso ripetere.
• Non passi orale perdere lo scritto.

Pagina Web Cupini

• Insegnamenti A.A. 14/15 con corsi (controllo anno e trovi materiale anni vecchi)

Ci sono esercizi, cerco su Barduin e Aranzini

A dx avvisi su studenti

Risultati esami nel materiale didattico (nei link insegnamenti) per scorrere es + "soluzioni". Studente unibo

• Uso: "Marcellini, Sbordone elementi di analisi matematica 1"
• Esercizi: Esercitazioni di matematica (Maccacini, Socciari)

Brignanti Esercitazioni di Analisi Matematica 1 soluzione

Reperti: Ep Diagramma di tutti i IPA (2°-grafici, log, esponenziale, razionali, ...)

Orari:

• Lun: 9.10-12 (10 min pausa ogni ora)
• Mar: 16.15-19.12 (aula 13)

∃ = esist. / esistono

∀ = per ogni / per tutti

→ = implica / implicano / allora

↔ = se e solo se, è equivalente a...

¬ = negazione (di una proposizione)

es: ¬p

P → Q (P implica Q)

P & egrave; derivabile, ↔ P è continua

continuità di P è condizione necessaria alla sua derivabilità;

derivabilità di P è sufficiente alla sua continuità

¬ P è equivalente a ... P è discontinuo → non deriv.

è come dire: P → Q ovvero ¬Q → ¬P

implica

P ↔ Q P è condizione Suff + Nec per Q (+ viceversa)

se e solo se

(leggi in entrambi i sensi)

∈ = appartiene / appartengono

∉ = non appartiene

∅ = insieme vuoto

Nozione primitiva non si definisce

Sinonimi: famiglia, collezione

es. A = {Fiorema, iure, ...} = elencazione insiemi

A = {x | x squadra serie A} = Implicazione

t.c.: tale che

⊆ = inclusi, contenuti

(ogni elemento di A è anche di B) = A ⊆ B

A ¬⊆ B A incluso in B ma A ¬⊆ B

∩ = intersezione / intersecato

es. A ∩ B insieme

A ∩ B insieme con elementi 'comuni' che sono sia in A che in B.

{x | x ∈ A, x ∈ B}

{x | x ∈ A ∩ x ∈ B}

CONSEGUENZA degli ASSIOMI:

1) REGOLA di SEMPLIFICAZIONE (o CANCELLAZIONE) ∀0, a, b, c ∈ ℝ, a · b = a · c ⇒ b = c, a ≠ 0

es. xy = 2x y = 2 no. Solo se x ≠ 0

2) Siano a, b ∈ ℝ. Si ha

a · b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0

Dim. Si a, b ≠ 0 ⇐ a, b ∈ ℝ

Dimostro a · 0 = 0 a · 0 = a(1 + 0) (prop distributiva) = a · 1 + a · 0 = a + a · 0

Dunque per la prop di semplificazione a · 0 = 0

⇒ Supponiamo che a · b = 0. Dim che a = 0 ∨ b = 0

Se a = 0 abbiamo concluso Se a ≠ 0 allora a è INVERGENTE su ℝ, a⁻¹ tale che

a · a⁻¹ = 1

Dobbiamo allora che b = 0. Dunque:

b · b⁻¹ = b(a · a⁻¹)

→ a · 1 · 0 = 0 (real ⟹)

Allora b = 0

questo assioma spiega perché non possa aversi una divisione per zero, sia in ℝ,

es: A = (-∞, b] è sup limitato ma non inferior.

M₁ = [b, ∞)

M₂ = ∅

A = ℕ

M₁ = ∅

M₂ = (-∞, 1]

A = {1/n | n ∈ ℕ}

M₁ = (1/j, ∞)

M₂ = (-∞, j]

0 ∈ M₂ se solo se 0 < 1/n ∀n ∈ ℕ

0 è un minore: 0 ≤ 1/n ∀m ∈ M quindi (-∞, j]

posso ampliare intervallo? No! Mi avvicino a zero ma non lo tocco mai!

2)

Assumiamo P_n vero e dimostriamo che P_n+1 è vera, cioè che:

cioè che:

(n+2)n(n+1)/2 = n(n+1)(2n+3)/2

(n+2)n(n+1)/2 = [(n(n+1))+(2n+3)]/2

stando ho che P_n è vera

h(n+1) = h(n+1)(n+2)/2

= [ (n+1) + (n+2) ] / 2

P_n+1 è vera (c.v.d)

Dim: Supponiamo che s e un n ∈ N t.c. P_n è FALSA - Allora l'insieme

x = {n ∈ N | P_i è FALSA} è NON VUOTO e x < N

Quindi per nota proprietà dei numeri naturali ∃ max che indichiamo con m. Dato che P₁ è vera per I.P deve essere m > 1. Dato che m = min X, si avrà che m - 1 ∉ X

Per HP 2 dovrà essere P_m vera cioè P_m ∉ x

Ciò è ASSURDO!

Perchè m ∈ x, essendo m = min x

Conclusione: x deve essere RI Ilias non VUOTO. (c.v.c.)

Def.

f: A → B è SURRIETTIVA se l'immagine di f coincide con tutto codominio,

im(f) = B (ogni y ∈ B ∈ ha il suo x ∈ A con f(x) y)

Se f: A → B non è suriettiva, posso modificarla rendendola suriettiva,

cambiando B con f(A)

Così facendo f: A → f(A), è suriettiva per definizione.

Def.

f: A → B dico INIEITTIVA se ad ogni elemento distintivo del Dom Sì fa corrisp.

spendere elementi distinti del Codominio

∀ x₁, x₂ ∈ A x₁ ≠ x₂ → f(x₁) ≠ f(x₂)

Equivalente: ∀ x₁, x₂ ∈ A f(x₁), f(x₂) → x₁ = x₂

Def.

f: A → B si dice biunivoca e BIETTIVA o invertibile se f è sia

iniettiva che suriettiva.

Def.

Sia f: A → B una funzione, si chiama GRAFICO di f l'insieme

Gr(f),

Gr(f) = {(x,f(x)) ∈ A × B | x ∈ A}

coppia ordinata

dal prodotto cartesiano

Dunque Gr(f) ⊆ A × B.

Def.

COMPOSIZIONE di FUNZIONE

Siano f: A → B e g: C → D funzioni:

Se f(A) ⊆ C, posso definire la funzione composta di g con f, in questo modo:

g ◦ f: A → D

(g ◦ f)(x) = g(f(x))

Def.

Sia A un insieme, la fune IDENTITA su A è la funzione

id_A: A → A id_A(x) = x

Def.

Sia f: A → B una fune invertibile.

Si chiama FUNZIONE INVERSA di f e si indica f^-1: B → A la fun. che

opera in questo modo: ad ogni y ∈ B, f^-1(y) è solo questo unico elemento

x ∈ A, tale che f(x) = y

Gr(f)

f(x) = 1/x

D = R \ {0} cioè f: R\{0} → R \ {0}

1. f inietta
2. (-∞; 0) f strett. decresc.
3. (0; +∞) f strett. crescente

x>c_c se c_c decresc.f(x₁) < f(x)

Def.

f: A ⊆ R → R è costante se:

∃c ∈ R t.c. f(x) = c ∀x ∈ A

Con x ∈ f(A), f(x) = c²

Nota: Sia f: A ⊆ R → R, f non è costanteSia f sia crescente che decrescente.

(es. y = x)

A = [a; b] ⊆ (c; d)

f(x) ≥ 2 ∀ x ∈ A

^x2 asse di simme