Algebra Lineare e Geometria

TEOREMA DI ROUCHÉ-CAPELLI

Un sistema lineare di m equazioni in n incognite con matrice dei coefficienti e matrice completa

A

si dice:

b)

(A |

• rg(A) = rg(A|b);

COMPATIBILE, se

• rg(A) ≠ rg(A|b);

INCOMPATIBILE, se

• r = n;

AMMETTE UN’UNICA SOLUZIONE, se

n-r

• ∞ r < n;

AMMETTE SOLUZIONI, se

MATRICE m n

Una matrice è una tabella ordinata di elementi formata da righe ed colonne e si distingue in:

- MATRICE DEI COEFFICIENTI

- MATRICE DEI TERMINI NOTI

- MATRICE COMPLETA

MATRICE INVERTIBILE

Una matrice quadrata è detta invertibile, o regolare, se esiste un'altra matrice tale che il prodotto

matriciale tra le due restituisce la matrice identità.

MATRICE DEI COFATTORI O COMPLEMENTI ALGEBRICI

La matrice dei cofattori di una matrice quadrata, detta anche matrice dei complementi algebrici è

i, j

una matrice, anch’essa quadrata, il cui elemento generico è il cofattore della matrice relativo alla

i, j.

posizione Il determinante di questo tipo di matrice si calcola svolgendo il determinante della

i-esima j-esima.

stessa matrice da cui viene esclusa la riga e la colonna

MATRICE AGGIUNTA

La matrice aggiunta, detta anche matrice trasposta coniugata, non è altro che la trasposta della

matrice dei complementi algebrici.

Appunti di Algebra Lineare e Geometria

MATRICE TRASPOSTA

La trasposta di una matrice è la matrice ottenuta scambiandone le righe con le colonne.

MATRICE INVERSA

L’inversa di una matrice non è altro che il rapporto tra la sua matrice aggiunta e il suo determinante,

infatti: Agg(A)/det(A)

-1

A = -1 -1

DIMOSTRAZIONE: AA A A

= =

RANGO DI UNA MATRICE rg(A),

Si chiama rango di una matrice, e si scrive il numero dei pivots non nulli di una sua riduzione a

scala ottenuta tramite il metodo di eliminazione di Gauss.

ELIMINAZIONE DI GAUSS

Il metodo di eliminazione di Gauss è un algoritmo utilizzato per verificare se un sistema lineare è

risolvibile e contemporaneamente per trasformarlo in uno ad esso equivalente ma più facile da

risolvere. Le operazioni fondamentali utilizzate nel metodo di Gauss sono:

• Scambiare tra loro due equazioni;

• Moltiplicare un’equazione per una costante diversa da zero;

• Sommare un’equazione ad un’altra.

DETERMINANTE DI UNA MATRICE 2x2

a b

det = ad − bc

c d

DETERMINANTE DI UNA MATRICE 3x3 - REGOLA DI SARRUS

a b c

d e f

det = aei + bfg + c dh − gec − hfa − idb

g h i n n

DETERMINANTE DI UNA MATRICE x - SVILUPPO DI LAPLACE

n i+j

det(A) = a det A

(−1)

∑ ij

ij

j=1

METODO DI CRAMER

Il metodo di Cramer è un teorema che permette di risolvere un sistema lineare attraverso l’utilizzo

del determinante, nel caso in cui il sistema abbia esattamente un unica n-upla di soluzione. Avendo

un sistema lineare nella forma dove è una matrice e sono dei vettori, il metodo di

A x = b A x, b

Cramer fornisce la soluzione facendo il rapporto tra due determinanti:

, …, x

(x )

1 n

det(A )

i dove e la matrice che si ottiene sostituendo alla i-esima colonna il vettore .

A b

x = i

i det(A) (1/det(A)

-1 ・Agg(A) ・b

DIMOSTRAZIONE: x = A b = )

Agg(A)・b = det( A )

i

CAMPO

Un campo è una struttura algebrica composta da un insieme non vuoto e da due operazioni binarie.

Nel contesto degli spazi vettoriali gli elementi di un campo vettoriale sono detti scalari.

SPAZIO VETTORIALE Appunti di Algebra Lineare e Geometria

Uno spazio vettoriale, dato un qualsiasi campo, è l’insieme delle n-uple di ordinate di numeri reali ed

è dotato di due proprietà:

la somma, componente per componente x y

+ = [x 1,x 2,...,xn ]+[y 1,y 2,...,yn ] = [x +y 1,x +y 2,...,xn +yn ]

• 1 2

Il prodotto per uno scalare αv α[x

= 1,x 2,...,xn ] = [αx 1,αx 2,…,αxn ]

•

Queste operazioni godono di alcune proprietà:

v u v w) u Proprietà associativa della somma

I. + (w + ) = ( + + Proprietà commutativa della somma

II. v + w = w + v

v v Esistenza del vettore nullo della somma

III. 0 + = 0

v v Esistenza del vettore opposto

IV. + (− ) =

α(v w) αv αw Proprietà distributiva della somma

V. + = + Proprietà distributiva del prodotto

VI. (α + β)v = αv + βv

α(βv) Proprietà associativa del prodotto

VII. = (αβ)v

v v Esistenza dell’elemento neutro del prodotto

VIII. 1 · =

0 Esistenza del vettore nullo del prodotto

IX. 0·v =

VETTORI

Un vettore, in generale, può essere definito come l’elemento di uno spazio vettoriale e può essere

immaginato o interpretato come una particolare matrice colonna di dimensione n×1.

COMBINAZIONE LINEARE DI VETTORI

Una vettore si dice combinazione lineare di altri vettori se esistono tanti scalari tali che la somma di

tutti i vettori moltiplicati per uno scalare sia esattamente uguale al vettore nullo.

w α 1v1 + α 2v2 α kvk

= + … + = 0

VETTORI LINEARMENTE DIPENDENTI

I vettori si dicono linearmente dipendente se esiste una loro combinazione lineare che sia uguale al

vettore nullo senza che tutti i loro coefficienti scalari siano nulli. Ciò sta a significare che due vettori

sono linearmente dipendenti se possono essere scritti l’uno come combinazione lineare dell’altro

ovvero se e solo se essi sono proporzionali.

DIMOSTRAZIONE: v = w ovvero v/w =

VETTORI LINEARMENTE INDIPENDENTI

I vettori si dicono linearmente indipendenti se esiste una loro combinazione lineare che è uguale al

vettore nullo se e solo se tutti i loro coefficienti scalari sono nulli. Inoltre essi sono linearmente

dipendenti se e solo se almeno uno di essi si può scrivere come combinazione lineare degli altri.

SOTTOSPAZIO VETTORIALE

Un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale, avente proprietà tali da farne a

sua volta un altro spazio vettoriale.

Appunti di Algebra Lineare e Geometria

SPAN LINEARE

La copertura lineare o span lineare di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale è il sottospazio

vettoriale ottenuto dall’intersezione di tutti i sottospazi contenenti tale insieme.

Sia uno spazio vettoriale su un campo e siano vettori di . Una spam lineare di tali

V K v , …, v V

1 n

vettori si può scrivere come: ⋯

Span(v , …, v = v + + a v a , …, a K

) {a }

∈

|

1 n 1 n

1 n 1 n

SISTEMA DI GENERATORI

Un sistema di generatori di un sottospazio vettoriale è un insieme di vettori che, mediante opportune

combinazioni lineari, permette di ricostruire tutti i vettori dello spazio. Questo concetto è

strettamente legato col concetto di base di uno spazio vettoriale poiché una base è sempre un

sistema di generatori ma al contrario un sistema di generatori non è sempre una base.

BASE DI UNO SPAZIO VETTORIALE

Una base di uno spazio vettoriale è l’insieme dei generatori linearmente indipendenti che generano

l’intero spazio vettoriale. Ogni spazio vettoriale ammette l’esistenza di una base ma, con un un

numero infinito di coefficienti scalari uno spazio può ammettere anche infinite basi.

DIMENSIONE DI UNO SPAZIO VETTORIALE

La dimensione di uno spazio vettoriale è la cardinalità di una sua base, ovvero, il numero di vettori

che la compongono. Tutte le basi di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità e

dunque la dimensione di uno spazio vettoriale è univocamente definita.

SOTTOSPAZIO INTERSEZIONE

U W V, U W,

Siano e sottospazi di si chiama sottospazio intersezione, e si indica con l’insieme dei

∩

U W.

vettori che appartengono simultaneamente ad e

DIMOSTRAZIONE: siano x, y U W si ha che

∈ ∩

x + y U e x + y W quindi x + y U W

∈ ∈ ∈ ∩

x x x

U e W quindi U W con K

∈ ∈ ∈ ∈

∩

U W è un sottospazio in quanto chiuso rispetto alle operazioni di somma e prod. per uno scalare

∩

SOTTOSPAZIO SOMMA +

U W V, U W,

Siano e sottospazi di si chiama sottospazio somma, e si indica con l’insieme dei

u + w, u U w W.

vettori della forma al variare di e di

∈ ∈

DIMOSTRAZIONE: siano x, y U + W e x = u + w, y = u’ + w’ si ha che

∈

u + u’ U e w + w’ W quindi x + y U + W

∈ ∈ ∈

u w x

U e W quindi U + W con K

∈ ∈ ∈ ∈

U + W è un sottospazio in quanto chiuso rispetto alle operazioni di somma e prod. per uno scalare

SOMMA DIRETTA

U W V, V

Siano e sottospazi di si dice che i due sottostai decompongono in somma diretta

V = U⨁W V = U + W U W = {0}

se e solo se e ∩

Appunti di Algebra Lineare e Geometria

FORMULA DI GRASSMAN

Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo K, e siano U, W V due sottospazi.

⊂

Allora: dim(U + W) + dim(U W) = dim(U) + dim(W)

∩

APPLICAZIONI LINEARI

Un’applicazione lineare, detta anche trasformazione lineare o omomorfismo, è una funzione lineare

tra due spazi vettoriali sullo stesso campo, cioè una funzione che verifica le operazioni di somma e

di prodotto per uno scalare. Infatti, Siano e due spazi vettoriali sullo stesso campo , una

V W K

→

funzione è una trasformazione lineare se soddisfa le seguenti proprietà:

f : V W

- ;

f(x + y) = f(x) + f(y)

- ;

f(a x) = af(x)

NUCLEO

Il nucleo, in un’applicazione lineare, è l'insieme degli elementi del dominio aventi immagine nulla,

sottospazio del dominio della trasformazione. Esso viene indicato con il simbolo ed è

ker(f )

strettamente collegato con il concetto di funzione invettiva poiché se = {0} la funzione si dice

ker(f )

appunto iniettiva. Ker(f = x V : f(x) = 0

) { }

∈

IMMAGINE

L'immagine di un sottoinsieme del dominio di una funzione è l'insieme degli elementi ottenuti

applicando la funzione a tale sottoinsieme. Si tratta quindi di un sottospazio del codominio della

.

funzione ed se le loro dimensioni coincidono la funzione si dice suriettiva dim Im(f = dim(W

) )

L’immagine viene indicata con il simbolo e viene definita come:

Im(f )

Im(f = f(x) W : x V

) { }

∈ ∈

TEOREMA DELLE DIMENSIONI

dim(Ker(f + dim(Im(f = dim(V

)) )) )

ENDOMORFISMO

Un endomorfismo è un particolare tipo di trasformazione lineare di uno spazio vettoriale in