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Appunti di Algebra Lineare e Geometria

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2018

Appunti di Algebra Lineare e Geometria

SISTEMA LINEARE m n

Un sistema lineare è un sistema di equazioni in incognite accompagnati da dei coefficienti (a )

mn

e dei termini noti (b ). La soluzione di un sistema lineare è detta n-upla, ovvero l’insieme dei numeri

m

che sostituiti al posto delle incognite verifica simultaneamente tutte le equazioni del sistema.

Un sistema lineare può essere:

- OMOGENEO, se tutti i suoi termini noti sono nulli;

- A SCALA, se la sua matrice dei coefficienti è a scala;

- TRIANGOLARE SUPERIORE, se nella matrice dei coefficienti la parte sottostante la dianonale

principale risulta riempita di zeri.

SCRITTURA GENERALE DI UN SISTEMA LINEARE

⎧ a x + a x + … + a x = b

11 1 12 2 1n n 1

⎨ a x + a x + … + a x = b

21 1 22 2 2n n 2

⎩ a x + a x + … + a x = b

m1 1 m2 2 mn n m

SCRITTURA COMPATTA DI UN SISTEMA LINEARE

Una scrittura compatta del sistema lineare, che viene detta scrittura matriciale del sistema lineare è

del tipo: Ax = b

TEOREMA DI ROUCHÉ-CAPELLI

Un sistema lineare di m equazioni in n incognite con matrice dei coefficienti e matrice completa

A

si dice:

b)

(A |

• rg(A) = rg(A|b);

COMPATIBILE, se

• rg(A) ≠ rg(A|b);

INCOMPATIBILE, se

• r = n;

AMMETTE UN’UNICA SOLUZIONE, se

n-r

• ∞ r < n;

AMMETTE SOLUZIONI, se

MATRICE m n

Una matrice è una tabella ordinata di elementi formata da righe ed colonne e si distingue in:

- MATRICE DEI COEFFICIENTI

- MATRICE DEI TERMINI NOTI

- MATRICE COMPLETA

MATRICE INVERTIBILE

Una matrice quadrata è detta invertibile, o regolare, se esiste un'altra matrice tale che il prodotto

matriciale tra le due restituisce la matrice identità.

MATRICE DEI COFATTORI O COMPLEMENTI ALGEBRICI

La matrice dei cofattori di una matrice quadrata, detta anche matrice dei complementi algebrici è

i, j

una matrice, anch’essa quadrata, il cui elemento generico è il cofattore della matrice relativo alla

i, j.

posizione Il determinante di questo tipo di matrice si calcola svolgendo il determinante della

i-esima j-esima.

stessa matrice da cui viene esclusa la riga e la colonna

MATRICE AGGIUNTA

La matrice aggiunta, detta anche matrice trasposta coniugata, non è altro che la trasposta della

matrice dei complementi algebrici.

Appunti di Algebra Lineare e Geometria

MATRICE TRASPOSTA

La trasposta di una matrice è la matrice ottenuta scambiandone le righe con le colonne.

MATRICE INVERSA

L’inversa di una matrice non è altro che il rapporto tra la sua matrice aggiunta e il suo determinante,

infatti: Agg(A)/det(A)

-1

A = -1 -1

DIMOSTRAZIONE: AA A A

= =

RANGO DI UNA MATRICE rg(A),

Si chiama rango di una matrice, e si scrive il numero dei pivots non nulli di una sua riduzione a

scala ottenuta tramite il metodo di eliminazione di Gauss.

ELIMINAZIONE DI GAUSS

Il metodo di eliminazione di Gauss è un algoritmo utilizzato per verificare se un sistema lineare è

risolvibile e contemporaneamente per trasformarlo in uno ad esso equivalente ma più facile da

risolvere. Le operazioni fondamentali utilizzate nel metodo di Gauss sono:

• Scambiare tra loro due equazioni;

• Moltiplicare un’equazione per una costante diversa da zero;

• Sommare un’equazione ad un’altra.

DETERMINANTE DI UNA MATRICE 2x2

a b

det = ad − bc

c d

DETERMINANTE DI UNA MATRICE 3x3 - REGOLA DI SARRUS

a b c

d e f

det = aei + bfg + c dh − gec − hfa − idb

g h i n n

DETERMINANTE DI UNA MATRICE x - SVILUPPO DI LAPLACE

n i+j

det(A) = a det A

(−1)

∑ ij

ij

j=1

METODO DI CRAMER

Il metodo di Cramer è un teorema che permette di risolvere un sistema lineare attraverso l’utilizzo

del determinante, nel caso in cui il sistema abbia esattamente un unica n-upla di soluzione. Avendo

un sistema lineare nella forma dove è una matrice e sono dei vettori, il metodo di

A x = b A x, b

Cramer fornisce la soluzione facendo il rapporto tra due determinanti:

, …, x

(x )

1 n

det(A )

i dove e la matrice che si ottiene sostituendo alla i-esima colonna il vettore .

A b

x = i

i det(A) (1/det(A)

-1 ・Agg(A) ・b

DIMOSTRAZIONE: x = A b = )

Agg(A)・b = det( A )

i

CAMPO

Un campo è una struttura algebrica composta da un insieme non vuoto e da due operazioni binarie.

Nel contesto degli spazi vettoriali gli elementi di un campo vettoriale sono detti scalari.

SPAZIO VETTORIALE Appunti di Algebra Lineare e Geometria

Uno spazio vettoriale, dato un qualsiasi campo, è l’insieme delle n-uple di ordinate di numeri reali ed

è dotato di due proprietà:

la somma, componente per componente x y

+ = [x 1,x 2,...,xn ]+[y 1,y 2,...,yn ] = [x +y 1,x +y 2,...,xn +yn ]

• 1 2

Il prodotto per uno scalare αv α[x

= 1,x 2,...,xn ] = [αx 1,αx 2,…,αxn ]

Queste operazioni godono di alcune proprietà:

v u v w) u Proprietà associativa della somma

I. + (w + ) = ( + + Proprietà commutativa della somma

II. v + w = w + v

v v Esistenza del vettore nullo della somma

III. 0 + = 0

v v Esistenza del vettore opposto

IV. + (− ) =

α(v w) αv αw Proprietà distributiva della somma

V. + = + Proprietà distributiva del prodotto

VI. (α + β)v = αv + βv

α(βv) Proprietà associativa del prodotto

VII. = (αβ)v

v v Esistenza dell’elemento neutro del prodotto

VIII. 1 · =

0 Esistenza del vettore nullo del prodotto

IX. 0·v =

VETTORI

Un vettore, in generale, può essere definito come l’elemento di uno spazio vettoriale e può essere

immaginato o interpretato come una particolare matrice colonna di dimensione n×1.

COMBINAZIONE LINEARE DI VETTORI

Una vettore si dice combinazione lineare di altri vettori se esistono tanti scalari tali che la somma di

tutti i vettori moltiplicati per uno scalare sia esattamente uguale al vettore nullo.

w α 1v1 + α 2v2 α kvk

= + … + = 0

VETTORI LINEARMENTE DIPENDENTI

I vettori si dicono linearmente dipendente se esiste una loro combinazione lineare che sia uguale al

vettore nullo senza che tutti i loro coefficienti scalari siano nulli. Ciò sta a significare che due vettori

sono linearmente dipendenti se possono essere scritti l’uno come combinazione lineare dell’altro

ovvero se e solo se essi sono proporzionali.

DIMOSTRAZIONE: v = w ovvero v/w =

VETTORI LINEARMENTE INDIPENDENTI

I vettori si dicono linearmente indipendenti se esiste una loro combinazione lineare che è uguale al

vettore nullo se e solo se tutti i loro coefficienti scalari sono nulli. Inoltre essi sono linearmente

dipendenti se e solo se almeno uno di essi si può scrivere come combinazione lineare degli altri.

SOTTOSPAZIO VETTORIALE

Un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale, avente proprietà tali da farne a

sua volta un altro spazio vettoriale.


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria civile
SSD:
Università: Calabria - Unical
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher ingegneremedio di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra lineare e geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Calabria - Unical o del prof Scienze matematiche Prof.

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