Algebra Lineare e Geometria

Appunti di algebra lineare e geometria

Avvertenze: All'interno del documento il lettore potrebbe riscontrare errori di battitura o definizioni non ben precise poiché questa dispensa di appunti è scritta sulla base di studi sperimentali e vuole essere di supporto all'utente che ne fa uso.

2018

Sistema lineare

Un sistema lineare è un sistema di equazioni in incognite accompagnati da dei coefficienti (a_mn) e dei termini noti (b_n). La soluzione di un sistema lineare è detta n-upla, ovvero l'insieme dei numeri che sostituiti al posto delle incognite verifica simultaneamente tutte le equazioni del sistema. Un sistema lineare può essere:

• Omogeneo, se tutti i suoi termini noti sono nulli;
• A scala, se la sua matrice dei coefficienti è a scala;
• Triangolare superiore, se nella matrice dei coefficienti la parte sottostante la diagonale principale risulta riempita di zeri.

Scrittura generale di un sistema lineare

[a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁]
[a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂]
[a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m]

Scrittura compatta di un sistema lineare

Una scrittura compatta del sistema lineare, che viene detta scrittura matriciale del sistema lineare è del tipo: Ax = b

Teorema di Rouché-Capelli

Un sistema lineare di m equazioni in n incognite con matrice dei coefficienti e matrice completa si dice:

• Compatibile, se rg(A) = rg(A|b);
• Incompatibile, se rg(A) ≠ rg(A|b);
• Ammette un’unica soluzione, se r = n;
• Ammette soluzioni, se n-r ∞, r < n;

Matrice

Una matrice è una tabella ordinata di elementi formata da righe e colonne e si distingue in:

• Matrice dei coefficienti
• Matrice dei termini noti
• Matrice completa

Matrice invertibile

Una matrice quadrata è detta invertibile, o regolare, se esiste un'altra matrice tale che il prodotto matriciale tra le due restituisce la matrice identità.

Matrice dei cofattori o complementi algebrici

La matrice dei cofattori di una matrice quadrata, detta anche matrice dei complementi algebrici, è una matrice, anch'essa quadrata, il cui elemento generico è il cofattore della matrice relativo alla posizione i, j. Il determinante di questo tipo di matrice si calcola svolgendo il determinante della stessa matrice da cui viene esclusa la riga e la colonna i-esima j-esima.

Matrice aggiunta

La matrice aggiunta, detta anche matrice trasposta coniugata, non è altro che la trasposta della matrice dei complementi algebrici.

Matrice trasposta

La trasposta di una matrice è la matrice ottenuta scambiandone le righe con le colonne.

Matrice inversa

L'inversa di una matrice non è altro che il rapporto tra la sua matrice aggiunta e il suo determinante, infatti: Agg(A)/det(A)^-1 = A^-1

Rango di una matrice

Si chiama rango di una matrice, e si scrive rg(A), il numero dei pivots non nulli di una sua riduzione a scala ottenuta tramite il metodo di eliminazione di Gauss.

Eliminazione di Gauss

Il metodo di eliminazione di Gauss è un algoritmo utilizzato per verificare se un sistema lineare è risolvibile e contemporaneamente per trasformarlo in uno ad esso equivalente ma più facile da risolvere. Le operazioni fondamentali utilizzate nel metodo di Gauss sono:

• Scambiare tra loro due equazioni;
• Moltiplicare un’equazione per una costante diversa da zero;
• Sommare un’equazione ad un’altra.

Determinante di una matrice 2x2

a b
c d

det = ad - bc

Determinante di una matrice 3x3 - Regola di Sarrus

a b c
d e f
g h i

det = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb

Determinante di una matrice n x n - Sviluppo di Laplace

det(A) = ∑_j=1ⁿ (-1)^i+j a_ij det A_ij

Metodo di Cramer

Il metodo di Cramer è un teorema che permette di risolvere un sistema lineare attraverso l'utilizzo del determinante, nel caso in cui il sistema abbia esattamente un'unica n-upla di soluzione. Avendo un sistema lineare nella forma Ax = b, dove A è una matrice e b sono dei vettori, il metodo di Cramer fornisce la soluzione facendo il rapporto tra due determinanti: x₁, …, x_n = det(A_i)/det(A), dove A_i è la matrice che si ottiene sostituendo alla i-esima colonna il vettore b.

(1/det(A)) Agg(A) b

Dimostrazione: x = A^-1b = Agg(A) b = det(A_i)

Campo

Un campo è una struttura algebrica composta da un insieme non vuoto.