Appunti di algebra lineare

Name: Appunti di algebra lineare
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Author: LorenzoRz

Revisionato il 31/05/2026

di LorenzoRz

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Gli appunti spiegano approfonditamente gli argomenti base dell'algebra lineare, partendo dai vettori, passando per matrici, determinante, trasformazioni lineari, teorema di Rouchè-Capelli e non solo fino ad arrivare alla diagonalizzazione.
Alla fine c'è una raccolta di teoria e dimostrazioni utile anche nel caso di un esame orale."> Appunti dell'insegnamento "algebra lineare" del primo anno di Internet of Things, Big Data and Web della prof.ssa Giovanna D'Agostino presso l'università di Udine.Gli appunti spiegano …

Esame Algebra lineare

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. D'Agostino Giovanna

Università Università degli Studi di Udine

A.A. 2019-2020

65 pagine

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Appunto

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Estratto del documento

I NUMERI COMPLESSI

Formula

z = a + ib; (a, b ∈ R)

Coniugato

z = a - ib;

z = 1 / z = 1 / z (a + ib) (a - ib)

Operazioni

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
(a + ib) - (c + id) = (a - c) + i(b - d)
(a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc)
1 / z = (a - ib) / (a^2 + b^2)
z · z = [(a + b)(a - b) = a^2 - b^2]
(a · ib) (c · id) = ac (b · d)

Funzioni

Se ha il sotto, moltiplica x i
Se ha n/-n - i (il sotto inverte e scomodi)

Coordinate cartesiane

(a, b) dove a = Re(z), b = Im(z)

Coordinate polari

(ρ, θ) dove ρ = |z| (lunghezza vettore); θ = Arg(z) : angolo ρ

Angoli in radianti

0° = 0; 45° = 1/4π

Seno e coseno

sin (b) = b / |z|
cos (b) = a / |z|

Potenza

z^3 = (|z|^3) (cos(3θ) + i sin (3θ))
2 = i (cos (π/2)) + i sin (π/2))

Trova radicamento

100 · i → (0, i)

Da polari a cartesiane

a = |z| · cos (θ)
b = |z| · sin (θ)

Forma trigonometrica

z = ρ (cos(θ) + i sin(θ))

Prodotto

z1z2 = ρ1ρ2[cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)]

I NUMERI COMPLESSI

Formula

z = a + ib, (a,b) ∈ ℝ

Opposto

zˉ = a - ib

Inverso

^a/_aˉ = ^a/_z

Congiugato

aˉ = a - ib

z zˉ = a² + b² = |z|²

Operazioni

(a₁ + ib₁) + (a₂ + ib₂) = (a₁ + a₂) + i(b₁ + b₂)
(a₁ + ib₁) - (a₂ + ib₂) = (a₁ - a₂) + i(b₁ - b₂)
(a + ib) - (a - ib) :
z + zˉ = 2a; (a - ib) = z - zˉ
a³ - z - zˉ = (a²) + (ia + ib)
r = a²; (a + ib)(a - ib); r = ir - ib

Funzioni

Se ho i cat., moltiplica x i :

1 + i : 1 - i
√(4 + i) is: 4 - i
Se ho a/n - i, il sotto inverte e segno di i:

ⁱ/_i ; i^t : (a + ib) ; i = _z/a

Argom. in Radianti

: 1(i 360°); x : 2π

Seno e Coseno

Sen(m) = b = |z|
Cos(b) = |a| = ℂ D

Potenza

3 |(iⁿ)(cos(kε)) con n(eib)

cos 4 ε_4^ei

2πe

0^{e^-⌊}(0-|), 180°|(eⁱ), 45° : π
20ⁱ - i (s γ i(^V/₃))

Trovare Argomento

_{3ές(2 - i)} 10ɛ

Coordiante Cartesiane

(a, b) dove a = Re(z) ; b = Im(z)

Coordinate Polari

(p, Θ) dove p : i |x| ; Θ misura lunghezza vettore; Θ : Arg(z) : poligono i
0 < Θ < 360°

Da Polari a Cartesiane

a : (p): cos(b) - i a³
b : t) i : sen(b)

Da Cartesiane a Polari

|z| = √a² + b²
Sen(z) : b/a
Cos(Θ) = ^a/_b

Formula Trigonometrica

z = ρ (cos(ε) + isin(ε))

Prodotto

z₁9z₂/p = cos(β + ε) + isin(ε + β⁾
z : z
^{a₃ et z}/3-i

GRAFICO

P = (a; b)

GRAFICO CONIUGATO

(a, b)(a, -b)

TROVARE FORMA TRIGONOMETRICA

2 + i

Coordinate cartesiane = (2, 1)
Grafico

COMPROPRIETA' SENO E COSENO

cos(β+ε) = cos(β) × cos(ε) – sin(β) × sin(ε)
sin(β+ε) = sin(β) × cos(ε) + cos(β) × sin(ε)

cos(30°+45°), cos(30°) × cos(45°)

Coordinate polari (√3, π/6π) = (√3, π/4)
r = √2
θ = π/4
Riscrivere la forma = √2(cos(π/4) + i sen (π/4)) = √2(cos(π k) + isen (π k)) = √2(√2/2 + √2/2i) = pi

EQUAZIONI COMPLESSI z² + 1 = 0

Due le soluzioni

Forma trigonometrica = z = ρ(cos(θ) + i sin(εθ)) = -4cos(π) + i sin (π)
Riscrivere z² = (cos(αk) + i sin(αk)) = cos(2θ) + i sin(2θ)
Modulo e argomento ⇒ ρ = 1
θ = π/4
kπ/2

Soluzioni:
- k = 0, z = (cos(π/4) + i sin(π/4)) = √1/√2 + i√1/√2
- k = 1, z = cos((π k)/2) + i sin((π k)/2), z = cos(3iπ/4 + i sin(3iπ/4)) = -1/√2 + i√1/√2
- k = 2, z = 3/2 = -1/√2 * 1/√2
- k = 3, z = 2/4 * 1/√2 = -1/√2

Vettori

Somma di vettori (Piano)

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