Appunti di algebra lineare

I NUMERI COMPLESSI

FORMULA z = a + ib, (a;b) _c; a,b ∈ ℝ

OPERAZIONI

• (a - ib) + (c + id) = (a + c) + (b + d)i
• (a + ib) - (c + id) = (a - c) + (b - d)i
• (a + ib) * (a - ib) = a² + b²
• t_a+b = (b-a+ib)
• r_a+b = (a² + b²)
• p = |z_{{a; b}}| = r/a+b
• r*z = op

COORDINATE CARTESIANE

• (a, b) dove a = Re(z)
• b = Im(z)

COORDINATE POLARI(r, θ) dove r : Altezza vettore θ : Angolo)

ESERCIZI IN GRADIANTI

• α = 360° x1:2π

SENO e COSENO

• sin(θ) = [DG] : [GH]
• cos(θ) = [EH] : [EG]

POTENZA zⁿ|aⁿ|(cos(nθ)+ i sin(nθ))

FORMA TRIGONOMETRICA z = a (p(cos(θ) + i sin(θ)))

PRODOTTO z₁z₂ = (a+ib)•(c+id) = ((ac-bd) + i(ad+bc))

Grafico

2z = 4 + i

1. Coordinate cartesiane = (1,1)
2. Grafico

Coordinate polari

(√2, 45°) = (√2, π/4)

|z| = √(1² + 1²) = √2θ = 45° = π/4

Scrivere 2z in forma trigonometrica

1. Forma trigonometrica = 2√2 [cos(θ = π/4) + i sin(θ)]
2. Forma trigon...

1. Risolvere z³ + 2√2
2. Modulo e argomento = 3z = 1

   θ = π/4 - Kπ/2

1. Soluzioni
2. Se k = 0 ⟹ 3z = (√i️/4) + i sin(π/4)
3. Se k = 1 ⟹ z = cos(π/4) + i sin(π)
4. Se k = 2 ⟹ (3,3 = √1/2 - i√1/2)

Da equazione parametrica a cartesiana

r : ₁{ x = x₀ + t(x₁-x₀) y = y₀ + t(y₁- y₀) }r : { x = x₀ + t(x - x₀) y = y₀ + t(y₀ - y₀) }r : { x + x₀ = 0 y = y₀ }

Equazione cartesiana piano V origine

{ ax + by + cz = 0 p(x₀; y₀; z₀) }

:

• r(p)₁ : ax + by + c === 0

Equazione cartesiana piano V punto

pi : { etc ( abcdef ) p : { ( ....; ....; ....) } }

v <u>

• Trova i lettori v = (1, 2, 3)

Equazione parametro al punto

1. Trovare lettore v = {(2, 3), .... , -1}
2. Costruire
3. Componi

v(4; 1; -2) ortogonale al piano x + 4 y - 2 z = 7

Devo considerare il sistema omogeneo.

MOLTIPLICAZIONE TRA MATRICI

A ha dimensioni n x mB ha dimensioni m x kC: AxB ha dimensioni n x k

Si possono moltiplicare 2 matricise solo se esse, quindi se ilnumero di colonne della primaè uguale al numero di righe della seconda.

C(i,j) = a(i,:) b(:,j)

A = (0 1 2 31 2 0 0)

B = (1 -1 00 -2 10 -4 01 0 0)

C = AxB = (2 -3 12 -8 2)

c = a(1,:) b(:,1)

2a(1,:) b(:,j)= (0, 1, 2, 3)0 1 0P 0 1 2 0 2 = 2

MATRICI IDENTITÀ

Dato un numero n, I(n) è la matrice quadrata con coefficienti 0 tranne diagonale principale...

I(3) = (1 0 00 1 00 0 1)

I(n) x A = AB x I(m) = B

ATTENZIONE!

Nelle matrici

(A B)^2 = A^2 + AB + AB + B^2

MOLTIPLICAZIONE FRA MATRICI CON RIGHE E COLONNE

Riga(a(1,:),a(2,:)) (Colonna (a

R ₂₃))

Matrice di righe A =

A(1) ... A(n)

Matrice di colonne A =

A(*) ... A(m)

Vettori linearmente dipendenti

1. Se uno dei vettori è combinazione lineare degli altri.

1. V₁ = (1, 4, 1)
2. V₂ = (0, 2, 0)
3. V₃ = (0, 0, 2)

1. V₁ = (1, 0, 1)
2. V₂ = (1, 2, 0)
3. V₃ = (0, 0, 1)

λ₁v₁ + λ₂v₂ + λ₃v₃ = 0

(0, 0, 0, 0, 1)

non bando

Vettori linearmente indipendenti

Vettori sono indipendenti se nessuno è combinato

se la somma della combinazione ortogonale di tutte le λ avrebbe 0 perché un vettore non è un multiplo dell'altro

1. V₁ = (1, 1, 1)
2. V₂ = (0, 1, 0)
3. V₃ = (0, 0, 2)

indipendenti

λ₁v₁ + λ₂v₂ + λ₃v₃ = (0, 0, 0)

λ₁ = λ₂

λ₂ = λ₃

λ₃ = bando

Somma di Sottospazi

Somma

• Definizione: Dati due o più sottospazi (U e W, ad esempio), la loro somma è definita come il sottospazio costituito dalle somme di elementi rispettivi

Esempio:V=R³ , U={(x,y,z)∈R³ | x-y=0}W={(x,y,z)∈R³ | y+2z=0}

• Unione:U∪W = { (x,y,z) | x-y=0} ∪ {x,y,z | y+2z=0}

• Intersezione:dom( U ∪ W )=dom(U)+dom(W)−dom(U ∩ W)
• U={(x,y,0) | x=y} , W={(x,y,z) | y=0, z-x=0} nelle coordinate (xyz)

Somma diretta

Esercizio:Dato U e W soddisfano:dom(U∪W)=dom(U)+dom(W)−dom(U∩W) (3)

Proiezione Scalare:

V=R³; (x₁y₁z₁), (x₂y₂z₂)

TROVARE LA MATRICE INVERSA

A_d = A   B_d = I_n

A | B_d

operazioni elementari

A' | B'_d

In | B_x

PROCEDIMENTO

• Mettere matrice a destra
• Se la riga nulla non si fa più niente; non è invertibile. Stessa cosa se ho pivot nulli.
• Se non ho righe nell'insieme X di I_n, pivot scende, righe siano {-}.
• Lo scopo: pivot + annullare gli altri coefficienti.

ESEMPIO

1. Riduco a scalinata A_d

2. Riordino righe nell'ordine che i pivot scendono, pivot sono {-}.
3. Portiamo la identità: annulliamo gli altri coefficienti.
4. Ecco la nostra identità: B_x = A^-1

ACB serve per risolvente un sistema meccanica per A^-1

es. A = ^{( x y )}_{( 1 2 )} A^-1 • A = A • I

DA Ricordarsi

• Se una matrice è composta da righe .
• Distinguere righe e colonne.
• Per vedere se i vettori sono indipendenti:

v₁=(1,0,0)

v₂=(0,1,0)

v₃=(0,0,1)

| a( v₁|v₂|v₃) = 0 | b( v₁|v₂|v₃)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Indice che fare

Area: a( v₁, v₂, v₃ )=(0,0,0)

Calcolato determinante esiste se e solo se i vettori sono indipendenti e ho trovato una base

Teorema

Det A=0 ⇔ T non è inv

Una trasformazione T: R^m → R^m (con dominio codominio) è iniettiva se e solo se è suriettiva

Da ricordarsi:

• Se T: R^m → R^m T non può essere iniettiva
• dim (Em (tra)) ≤ dim (Im (T A⁰))
• Se la prima colonna della matrice A è nulla allora TA non è iniettiva
• Non esiste matrice A per cui TA non è suriettiva
• Non esiste trasformazione lineare biunivoca da R³ in R⁴

Dato

Calcolare TA:

• Se TA (x,y,0,o) = (1, -1) ...
• Se A è invertibile, TA è biunivoca
• Se v, w ∈ Ker(T), allora →v - w ∈ Ker(T), ma ∋ v, w ∈ Im(T) → v - w ∉ Im(T)
• Se v e v' sono indipendenti anche Tv e Tv' lo sono . . .
• Se T: R ^m a Rⁿ (Xr(o, o,o) A allora Im(T)=⟨ (o,o,o). Ker1⟩
• Se v è autovalore, Il(v) non ha stesso modello di v, ma se è autovalore di -1 c.y.sf.