Appunti di algebra e geometria (14)

Osservazioni di riepilogo

• se f(λ) ha m autovalori distinti, implica la diagonabilizzabilità;
• se K = C
• f(λ) ...

(è sempre adattato per il teorema fondamentale dell'algebra che assicura che un polinomio a coefficienti complessi di grado m ha esattamente m radici (ognuna contata con la propria molteplicità))

f diagonabilizzabile implica:

{base di V_n1} ∪ {base di V_n2} ∪ {base di V_n3} ↓ base di V

ovvero: V_n1 ⊕ V_n2 ⊕ ... ⊕ V_nm = V ⇒ altro modo di scrivere

• quando f non è diagonabilizzabile:

V_n2 ⊕ ... ⊕ V_nr ⊈ V (mi mancano delle cose)

prendendo l'unione delle basi degli autospazi, non ottieni e fare una base di V

Esempio 1

ie V = {i, j, k} con v_o = i + j dove:

k ∉ V ⇒ V è i, j

V ort = {o} ⇒ V_o ⊇ V ort.

Quanti sono gli autovalori e vettori?

• V_o(f) = ker f = {i + j - k}
• 2I - A è diagonalizzabile infatti l'unione delle basi degli autospaz ha 3 vettori, quindi è una base di V

B = {i + j, k, i - j}

(W₁, W₂, W₃) I (i, i) =

A = A^t

Esempio 2

→ matrice triangolare →

λ₁ = 1; λ₂ = 2; λ₃ = 5

quindi:

base di autovettori (per det. autovalore e nuova Im di un autovec

quindi:

C^TC = I   implica   C^-1 = C^T

C è una matrice ortogonale

matrici dei cambi di base tra due basi ortonormali

Può bene: A = C D C^T

quindi:

g(x, y) = x^TAy = x^TC D C^Ty = (C^-1x)^TD(C^-1y)

= g(x,y) = (x)^TO( y)^T = λ₁x₁² + λ₂x₂² + λ₃x₃³

dove X = C^Tx_y = C^Ty

coordinate di x e y rispetto alle basi di autovettori di A simmetriche

=> g(x,x) = λ₁x₁² + λ₂x₂² + λ₃x₃²

quindi A definisce un prodotto scalare sse una forma bilineare simmetrica definita positiva (se e sse se ogni autovalore di A è > 0)

A = _{1, 1, 0}

¹ _{1, 0}

⁰ _{0, 0}

C è simmetrica, quindi diagonalizzabile e ammette una base ortonormale di autovettori

base di autovettori :

¹ ₁ ⁰ ₀

=> ^1/√2 _1/√2 ⁰

  ^1/√2 _-1/√2 ⁰

Esercizio sulla diagonalizzabilità

1. Decidere se la matrice A è diagonalizzabile:

A = ^{3 4 0 3 4 2 3 3 2}

P_A(λ) = λ³ - 12λ + 32 =

λ_1,2 = 4 ^{("n" 1) ("n" 2)}

Per elevazione le m.g.in di 2, calcoliamo il rango della matrice:

A - 2I = ^{1 1 1 2 2 3 3 3 3}

rank(A - 2I) = 2 _{Λ (Kin)(A - 2I)} ^{rang(-) = 2}

Perciò: A è diagonalizzabile, come esiste una base B di R³ tale che, rispetto a questa base, la matrice si scrive:

P_CAC^-1 = ^{2 0 0 0 4 0 0 0 0}

v è autovettore di A relativo all'autovalore "n"

(A - λI)v = 0

=> v ∈ Ker(A - λI)

-5x + y + z = 0

2x = (Λ - 3)z

3x + 3y + 5z = 0

=> _{x = 2 y = 1 z = 3}