Appunti di algebra e geometria (14)

Osservazioni di riepilogo

Se f(t; A) ha n autovalori distinti, implica la diagonalizzabilità; se K = C: pg(A) ≥ ² È sempre verificato per il teorema fondamentale dell'algebra. (Se è un polinomio a coefficienti complessi di grado n, ha esattamente n radici, ognuna contata con la propria molteplicità.)

Diagonalizzabilità

f diagonalizzabile implica: {base di V₁} ∪ {base di V₂} ∪ {base di V₃} ⇓ base di V ovvero: V₁ ⊕ V₂ ⊕ ... ⊕ V_m = V ⇒ allora modo di scrivere.

Quando f non è diagonalizzabile: V₂ ⊕ ... ⊕ V_m ⊊ V (mi mancano delle cose) prendendo l'unione delle basi degli autospazi, non ottieni e fare una base di V.

Sezione di riepilogo

Se ƒ: (A) ha m autovalori distinti, implica la diagonalizzabilità; se K = ℂ: ρ(ƒ(A)) ≥ _m/² ... è sempre vero per teorema fondamentale dell'algebra che esistono le un polinomio a coefficienti complessi di grado m che esattamente m radici (ognuna contata con la propria molteplicità); ƒ diagonalizzabile implica: {base di V_λ1} ∪ {base di V_λ2} ∪ {base di V_λ3} base di V ovvero: V_λ1 ⊕ V_λ2 ⊕ ... ⊕ V_λm = V ⟹ altro modo di scrivere.

Quando ƒ non è diagonalizzabile: V_λ1 ⊕ ... ⊕ V_n ⊄ V (mi mancano delle cose) prendendo l'unione delle basi degli autospazi, non ottengo e fare una base di V.

Esempio 1

Sia \( V = \{ i, j, k \} \) con \( v_0 = i + j \) dato \(\hat{v} : V \rightarrow V\) \(v \rightarrow \{ s, v_0 > v_0 \}\) Quali sono gli autovalori i vettori? \(V_0(t) = k_n \{i - j\}, \delta_{gen}\{i + j, - k\}\) \(V_2(t) = k_n\{i + 2 l(t)\} = \delta_{gen}\{i - j\}\) Poiché diagonizzabile importa l'unione della dim degli quindi è una base di \( V \) \(A_z = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\) \(B = \{x + y - k, i - j\}\(W_1, W_2, W_3\) \( (i, j, k) \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \)\(A' = A . C \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} C^{-1}\)

Esempio 2

Az = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \( \to \text{matrice triangolare} \) \((\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 5)\) quindi: \(A . C \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} C \)

V₁(A) = ℰ{()} (A + λI)x = 0 :[0 1 2] [x] [0 3 3] [y] = 0 [0 0 6] [z]{y + 2z = 03y + 3z = 0 => {y = 0 }=> [x] 6z = 0 z =0 [0][0]} V₁(A) = ℰ{ [1][0][0]}

Esempio

Determinare per quali valori di a la matrice A = [2 -1 a][0 1 2][0 3 -2] è diagonalizzabile. Calcoliamo: P_A(λ) = det (A - λI) = -(2 - λ)²(2 + λ) Il primo punto del criterio è verificato λ₂ = -2 :1 ≤ dim V_-2(A) ≤ 1 => vale per tutti gli autovalori con m_j = 1 λ₂ = 2 :1 ≤ dim V₂(A) ≤ 2 dim V₂(A) = dim Ker (A - 2I) = 3 - rang(A - 2I) A è diagonalizzabile se rang(A - 2I) = 1 => per i calcoli => per a = -1 la matrice A è diag. Prodotto scalare standard Troviamo: _R^m x = x₁...x_m y = y₁...y_m x₁y₁ + x₂y₂ ... con le proprietà: bilineare definiti positivi: = x₁² + ... + x_m² ≥ 0 ||X|| ≥ ||x,x|| distanza ||x-y|| = ||x-y|| si può scrivere: x₁y₁ + ... + x_ny_n = x^Ty

Definizione

Una matrice A ∈ M_m,m^R è detta simmetrica se: α_ij = α_ji

Esempio

4317323217321 ⇒ matrice simmetrica ⇒ A = A^T

Osservazione

con L_A : ^Rn → ^Rm x → A → x avviene che: L_A(x, y) = <Ax, y> = (Ax)^Ty = x^TA^Ty = x^TAy = <x, Ay> = <x, L_A(y)> quindi Λ è simmetrica rispetto al prodotto scalare.

Osservazione

Data A immersa, posso definire una ψ: ℝⁿ×ℝⁿ→ℝ ψ(x, y) = x^tAy ψ ha le seguenti proprietà: è bilineare, è simmetrica (FORMA BILINEARE SIMMETRICA). Se ogni matrice simmetrica definisce una forma bilineare simmetrica.

Definizione

Una forma bilineare simmetrica è un prodotto scalare se è definita positiva, cioè se: ψ(x,x)>0 e =0 è solo se x=0.

Nota che similare ψ(x,y)=x^tAy è un prodotto scalare?

Teorema spettrale

Sia A ∈ M_n×_n(ℝ) la matrice A è simmetrica se e solo se ammette una base di autovettori.

Conseguenze

1. A simmetrica → diagonalizzabile la base di autovettori è ortonormale rispetto al prodotto scalare standard.

Conseguenze A=[_{V1, V2, V3}] [^{m₁ 0 00 m₂ 00 0 m₃}] base ortonormale: <V₁, V₂> =0 <V₂, V₃> =0 <V₃> =0 A= C D C^-1 ma: C^tC=I quindi: C^TC = I implica C^-1 = C^T C è una matrice ortogonale matrici di cambio di base tra due basi ortonormali NB che: A = C D C^T quindi: g(x, y) = x^TAy = x^TCDC^Ty = (C^Tx)^TD(C^Ty) => g(x, y) = (x')^T D y' = ₁x₁'y₁' + ₂x₂'y₂' + ₃x₃'y₃' dove x' = C^Tx y' = C^Ty -> y(x, x) = ₁x₁'² + ₂x₂'² + ₃x₃'² quindi A definisce un prodotto scalare sse una forma bilineare simmetrica definita positiva (sse en.b. se ogni autovalore di A è > 0).

Esempio

A = | 1 1 0 || 1 1 0 || 0 0 0 | è simmetrica, quindi diagonalizzabile e ammette una base ortonormale di autovettori base di autovettori: | 1 1 0 | | 1/√2 || 1 0 0 |  => | 1/√2 | , | 1 | , | 1/√2 || 0 0 1 |          | 0 |                  | 0 |       | -1/√2 |

Esempi

1. A = ^{1 -1 1 -1 1 1 1 1 -1} → simmetrica. Vedi che le 1, 2, -2 sono autovalori e trovare una base ortogonale di autovettori.

5. A = ^{2 1 1 1 2 1 1 1 2} → simmetrica. Determiniamo la base ortonormale di autovettori: p_A(λ) = (1-λ)²(4-λ)