Lezione 24 - 07/12/18 - 10:15 a 11:00
Definizione
Due matrici quadrate A e B si dicono simili se esiste una matrice C ∈ Mn,n(ℝ) invertibile (detC ≠ 0) tale che:
A = CBC-1
Problema
Data A ∈ Mn,n(ℝ), riusciamo a trovare B ∈ Mn,n(ℝ) simile ad A, ma di tipo "semplice"?
Motivazione del problema
Prendiamo:
A = [ 3 3 ] [ -2 -4 ]
B = [ -2 0 ] [ 0 -3 ]
(queste due matrici sono simili) dove: ∃ C: A = CBC-1
Domanda
- Cosa hanno in comune due matrici simili?
Definizione
Sia A ∈ Mn,n(ℝ), la traccia di A è il numero che si ottiene sommando i numeri sulla diagonale
Verificare che tr(A + A') = tr(A) + tr(A') e che tr(A) = λ tr(A)
tr [ 3 3 ] [ -2 -4 ] = -1
Teoria
Matrici simili: hanno stessa traccia, stesso determinante, stesso rango, riduzione e polare. Vogliamo capire se A è simile ad una matrice diagonale (coefficienti ≠ 0 solo lungo la diagonale).
Spettro di una matrice
Sia \(A \in \mathbb{K}_{m,m} (\mathbb{K})\). Un numero \(\lambda \in \mathbb{K}\) si dice autovalore di \(A\) se esiste \(x \in \mathbb{K}^m \neq 0\) tale che:
\(AX = \lambda X\)
\(\begin{pmatrix}-2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\)
Questi sono gli autovettori:
\( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} = -2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)
In una matrice diagonale, i numeri sulla diagonale sono autovalori.
Osservazione
Se \(D\) è una matrice diagonale, i coefficienti sulla diagonale sono autovalori di \(D\), infatti: \( D_{ei} = \lambda i \)
Proposizione
Un numero \(\lambda \in \mathbb{K}\) è autovalore di \(A \in K_{n,n} (\mathbb{K})\) se e solo se il determinante: det \((A - \lambda I) = 0\)
Dimostrazione
\(\lambda \in \mathbb{K} \) è autovalore di \(A\) se: \(\exists x \in \mathbb{K}^m \setminus 0 \ni AX = \lambda X \)
\(\exists x \in \mathbb{K}^m \neq 0 \forall c. AX - \lambda x = 0\)
\(\iff \exists x \in x^{orto} \ni (A- \lambda I) x = 0\) \((Ix = x)\)
questo è vero ⟺ la soluzione del sistema lineare omogeneo (A - λI)x = 0, non è unica
questo è vero ⟺ rango (A - λI) < m
questo è vero ⟺ det (A - λI) = 0
Esempio
Determinare gli autovalori di A:
A = [ 3 3 ][-2 -4 ]
det (A - λI ) = det [ 3-λ 3 ][ 2 -4-λ ]= λ2 - (3 + 4) λ + (2x-2) + 6
se A ∈ H2,ε (IK) det (A - λI) = λ2 - tr(A) λ + det (A)= λ2 + λ - 6 = 0
con λ = - λ + √λ + 2 / 2
autovalori: λ1 = -3 , λ2 = 2
quindi: det [A ∈ Mm,m (IK)] : det (A - λI), è un polinomio di grado m in termine di grado m det con (-1)m (POLINOMIO CARATTERISTICO)
Proposizione
Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico
Dimostrazione
Siano A, B simili, allora pA (λ) = det (A - λI) = [ ... ] = pB (λ)
Calcolare gli autovalori di:
A = │ -1 5 2y │ │ 0 7 5 │ │ 0 0 -3 │
pA(λ) = det│ -1-λ 5 2y ││ 0 7-λ 5 ││ 0 0 -3-λ│ = la Place = (-1-λ)(7-λ)(-3-λ)
Le radici di pA(λ) sono gli autovalori di A, sono: λ1 = -1 , λ2 = 7, λ3 = -3
In generale gli autovalori di una matrice triangolare sono gli elementi nella diagonale.
Nozione
Supponiamo di avere:
V → W in B = {v1,... , vn} / finito C = {w1,... , wn}
La matrice di f associata alle basi B e C è la matrice A fatta con coordinate di questi vettori nelle base C
Scriviamo infine: (f(v1), ... , f(vn)) = (wa, ... , wm) A
Caso particolare
V 3 VB = {v2, ..., vm} defiamo:
(f(v2), ..., f(vm)) = (v2, ..., vm) AV f VB = {i - j, k}
v - < v, v0, vn > => v0 = i - j defiamo la matrice associata
A =[ f(i) f(j) f(k) ][ 2 -1 0 ][ -1 2 0 ][ 0 0 0 ]
con :f(i) = i (i - j) = (2 - 0)(i - j) = [2, i]t + (-2, j) + 0k f(j) = j (i - j) = (-2 + 0)(i - j) = -2i + j + 0k f(k) = 0
relazioni: f(3i - j + 2k) = [3, i-j + 2k, i - j] (i - j) = = (3+1)(i - j) = Ai - 2j relazioni:
A[3-10] = [2-10] [22] [-120] [2c-4] [000] [-2-c0]
Proposizione del caso particolare
Se x ∈ Ikm è la colonna delle coordinate di v |c Ved y ∈ Ikl è la colonna delle coordinate di f(u)|c V“nelle base”
allora y = AX = LA(x) vale quindi : possiamo dire quindi :errore si è reso esplicito
Se ed A è la matrice di rispetto a B basi, come cambia la matrice se cambio le basi?
ho che : Due matrici che rappresentano la stessa applicazione lineare rispetto a basi diverse sono simili
Definizione
Se f: V → V lineare, un vettore v ∈ V è un autovettore di f se: v ≠ 0 f(v) = λv per un λ ∈ K e si dice che v è un autovettore di f relativo all’autovalore λ.
Se λ ∈ K è un autovalore per f: V → V esistere v ≠ 0 t.c. f(v) = λv
Esercizio
Sia f: ℝ2 → ℝ2
- Determinare la matrice A di f rispetto alla base canonica {(1, 0), (0, 1)}T
- Determinare le matrice A′ di f rispetto alla base canonica {(1, 2), (-1, 4)}T
- Determine le C t.c. A = C A′ C-1
- Determine le Pf(λ) = det(A - λI2) = det(A′ - λI)
- Determine gli autovalori di f
- Determine gli autovettori di f
Lezione 22 - 12/12/18 - 08:15 - 09:00
Supponiamo di avere, data f: V → V, una base di autovettori {u1, ..., un}
quindi: f(ui) = λi ⋅ ui
dove:
[ λ1 0 ... 0 ]
[ 0 λ2 ... 0 ]
D = [ ... ... ... ... ]
[ 0 0 ... λn ]
f(u1) = λ1u1 = λ1u1 + 0u2 + 0u3 + ... + 0un
f(u2) = λ2u2 = 0u1 + λ2u2 + 0u3 + ...
f(un) = λnun = 0u1 + ... + λnun
Ottengo una matrice diagonale, quindi se c'è una base di autovettori per f, allora f è diagonazzabile.
Prendiamo A ∈ Mm,m(IK)
LA: IKm → IKm x → Ax
La matrice di LA rispetto alla base canonica è data da: { (1) , (0) , ... , (0) } (0) (1) (0)
Esempio
A = [ 3 7 -12 ] [ 4.5 1 2 ] [ 0 -15 18 ]
Qual è LA: R3 → R3?
LA(e1) LA(e2) LA(e3)
[ ] 3 7 -1 1 4 45 0
[ ] LA(e1) A = [ ] 3 1 LA(e2) A = [ ] 4x trova una base di autovettori per la, cioè:
A = L L-1 quindi: un esiste base di la lo stesso autovettore di A A è diagonalizzabile ne esamptre una base di autovettori A è diagonalizzabile se e ast se e simile a una matrice diagonale
Osservazione
[ ] A[ cos a -.e2 LA(10)( )e1( -cos a 2 0[LA(e2)con d = 0 :
I = [1 0]/[0 1] = AIX = X ∀X ∈ ℝ2 ⇒ λ = 1 ⇒ tutti gli X ∈ ℝ2 sono autovettori di autovalore 1
con d = π :
A = [−1 0]/[0 −1] = −I(−I)(X) = −X ∀X ∈ ℝ2 ⇒ ogni X ≠ 0 in ℝ2 è autovettore di autovalore −1
se d ≠ 0, d ≠ 2π, la matrice non ha autovettori.
Teorema
Sia f : V → V , allora λ ∈ K è un autovalore di f se e solo se :
det (f − λId) = 0 ⇒ Pf(λ) ⇒ polinomio caratteristico
Dimostrazione
Scrivere le matrici di f e Id associate ad una base le autovalori di f sono le radici del polinomio caratteristico Pf(λ)
Esempio
Pa(λ) = det [cosd−λ −sind]/[sind cosd−λ]
Pa(λ) = λ2−tr(A)λ + det A = λ2 − 2cosdλ + 1 ⇒ λ = cos ± √(cos2d−1) con d ≠ 0, d ≠ 2π , non ha radici reali, quindi non ci sono autovalori reali di A
Lezione 22 - 12/12/19 - 09:15 e 10:00
Determinare autovalori ed autovettori di:
A = [2 3 -1 -2]
p(A) = 2 - 2(A) + det(A) = 2 - 1
quindi 1 = -1 e 2 = +1 sono autovalori di A
allora esiste x ≠ 0 t.c. Ax = -x
(A + I)x = 0 per 1 ↓ (A - 2 I)x = 0
(A - I)x = 0 per 2 ↓ (A - 2 I)x = 0
quindi:
1 = -1[3 3][-1 -1] [x] = [0] [y] [0]
{ 3x + 3y = 0 -x - y = 0 [x] [-x] = x [1] ⇒ 2 = -1 ⇒ [1] &
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