Appunti di algebra e geometria (13)

LEZIONE 24 - 07/12/18 - 10:15 A 11:00

DEFINIZIONE

Due matrici quadrate A e B si dicono simili se esiste una matrice C ∈ M_m,m(IK) invertibile (detC ≠ 0) tale che:

PROBLEMA

Data A ∈ M_m,m(IK) riusciamo a trovare B ∈ M_n,n(IK) simile ad A, ma di tipo "semplice"?

MOTIVAZIONE DEL PROBLEMA

Esempio:

Prendiamo:

(queste due matrici sono simili)

dove:

DOMANDA:

1. Cosa hanno in comune due matrici simili?

DEFINIZIONE

Sia A ∈ M_m,m(IK), la traccia di A è il numero che si ottiene sommando i numeri sulla diagonale

Esercizio:

Verificare che tr(A + A') = tr(A) + tr(A') e che tr(A) = 2tr(A')

Esempio:

TEOREMA

Matrici simili: hanno stessa traccia, stesso determinante, stesso rango, insieme è falso.

Scopo:

Vogliamo capire se A è simile ad una matrice diagonale (coefficienti ≠ 0 solo lungo la diagonale)

SPETTRO DI UNA MATROCE

Definizione

Sia A ∈ M_m,m(IK). Un numero λ ∈ IK si dice autovalore di A se esiste X ∈ IK^m con X ≠ 0 tale che:

AX = λX

Esempio

D = [ 0 -2 ] [ 0 3 ]

quali sono gli autovettori:

D ( 1 ) = (-2) (1) = -2 (1) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )

D ( 1 ) = (0) (1) = 3 (1) ( 1 ) (3) (1)

In una matrice diagonale, i numeri sulla diagonale sono autovalori.

Osservazione

Se D è una matrice diagonale, i coefficienti della diagonale sono autovalori di D, infatti:

De_i = λ_ie_i

Proposizione

Un numero λ ∈ IK è autovalore di A ∈ M_m,m(IK) se e solo se il determinante:

det(A - λI) = 0

Dimostrazione

λ ∈ IK è autovalore di A se:

∃X ≠ 0 t.c. AX = λX

quindi è vero ∃X ≠ 0 t.c. AX - λX = 0

quindi è vero (A - λI)X = 0 ( IX = X )

vale quindi :

DISPOSIZIONE :

pensiamo stimo quindi :

v = (v₁, ...., v_m)

f(x) = (v_A, ...., v_m)

= (x₂, ...., x_m) A

d + st implica d y = Ax

Se f₁, V → V ed A è la matrice di f rispetto o B basi, come cambia la matrice se cambio le basi?

ho che :

A = C A' C^-1

Due matrici che rappresentano la stessa operazione lineare rispetto o lori besone sono simili.

Determinare autoval e autovett di:

A =

• 2 3
• -1 2

P_A(l) = l² - tr(A) + det(A) = l² - 1

quindi

l₁ = -1 e l₂ = +2 sont autoval di A

ador conv x ≠ 0 t ABx = -x

(A + I)x = 0 per l₁

(A - l₂I)x = 0

quindi:

l₁ = -1

• 3 3
• -1 -1

• x
• y

• 0
• 0

3x + 3y = 0

-x - y = 0

• x
• -x

=

• 1
• -1

⇒ l₂ = -2 ⇒

• 1
• -2

l₂ = 1