Appunti di algebra e geometria (13)

Lezione 24 - 07/12/18 - 10:15 a 11:00

Definizione

Due matrici quadrate A e B si dicono simili seesiste una matrice C ∈ M_n,n(ℝ) invertibile (detC ≠0)tale che:

A = CBC^-1

Problema

Data A ∈ M_n,n(ℝ), riusciamo a trovare B ∈ M_n,n(ℝ)simile ad A, ma di tipo "semplice"?

Motivazione del problema

Prendiamo:

A = [ 3   3 -2   -4 ]

B = [ -2   0 0   -3 ] (queste due matrici sono simili)

dove:

∃C: A = CBC^-1

Domanda

1. Cosa hanno in comune due matrici simili?

Definizione

Sia A ∈ M_n,n(ℝ), la traccia di A è il numeroche si ottiene sommando i numeri sulla diagonale

Verificare che tr(A + A') = tr(A) + tr(A') e che tr(A) = λtr(A)

tr ( 3   3 -2   -4 ) = -1

Teoria

Matrici simili: hanno stessa traccia, stesso determinante,stesso rango, riduzione e polare.

Vogliamo capire se A è simile ad una matricedisea onale (coefficienti ≠ 0 solo lungo la diagonale)

Spettro di una matrice

Lezione 24 - 07/12/18 - 10:15 ~ 11:00

Definizione

Due matrici quadrare A e B si dicono simili se esiste una matrice C ∈ M_m,m(K) invertibile (det C ≠ 0) tale che:

A = C B C^-1

Problema

Data A ∈ M_m,m(K) riusciamo a trovare B ∈ M_m,m(K) simile ad A, ma di tipo "semplice"?

Motivazione del Problema

Prendiamo:

A = [ 3   3 ][ -2   -4 ]      B = [ -2   0 ][ 0   -3 ]      (queste due matrici sono simili)

dove:

∃ C : A = C B C^-1

Domande:

1. Cosa hanno in comune due matrici simili?

Definizione

Sia A ∈ M_m,m(K), la traccia di A è il numero che si ottiene sommando i numeri sulla diagonale

Verifico che tr(A + A') = tr(A) + tr(A') e che tr(A) = λ tr(A)

tr [ 3   3 ][ -2   -4 ]    = 1

Teorema

Matrici simili hanno stessa traccia, stesso determinante, stessi autovalori e pol.e caratteristica

Vogliamo capire se A è simile ad una matrice diagonale (coeff. ≠ 0 solo lungo la diagonale)

Spettro di una matrice

Definizione

Sia \(A \in \mathbb{K}_{m,m} (\mathbb{K})\). Un numero \(\lambda \in \mathbb{K} \) si dice autovalore di \(A\) se esiste \(x \in \mathbb{K}^m \neq 0\) tale che:

\( AX = \lambda X \)

\(\begin{pmatrix}-2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\)

Questi sono gli autovettori:

\( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} = -2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)

In una matrice diagonale, i numeri sulla diagonale sono autovalori.

Osservazione

Se \(D\) è una matrice diagonale, i coefficienti sulla diagonale sono autovalori di \(D\), infatti:

\( D_{ei} = \lambda i \)

Proposizione

Un numero \(\lambda \in \mathbb{K}\) è autovalore di \(A \in K_{n,n} (\mathbb{K})\) se e solo se il determinante:

det \((A - \lambda I) = 0\)

Dimostrazione

\(\lambda \in \mathbb{K} \) è autovalore di \(A\) se:

\(\exists x \in \mathbb{K}^m \setminus 0 \ni AX = \lambda X \)

\(\exists x \in \mathbb{K}^m \neq 0 \forall c. AX - \lambda x = 0\)

\(\iff \exists x \in x^{orto} \ni (A- \lambda I) x = 0\)

\((Ix = x)\)

questo è vero ⟺ la soluzione del sistema lineare omogeneo (A - λI)x = 0, non è unica

questo è vero ⟺ rango (A - λI) < m

questo è vero ⟺ det (A - λI) = 0

lezione 21 - 07/12/18 - 11:15 - 12:00

Esempio

Determinare gli autovalori di A:

A = [ 3 3 ][-2 -4 ]

det (A - λI ) = det [ 3-λ 3 ][ 2 -4-λ ]

= λ² - (3 + 4) λ + (2x-2) + 6

se A ∈ H_2,ε (IK) det (A - λI) = λ² - tr(A) λ + det (A)

= λ² + λ - 6 = 0

con λ = - λ + √λ + 2 / 2

autovalori: λ₁ = -3 , λ₂ = 2

quindi:

det [A ∈ M_m,m (IK)] :

det (A - λI),è un polinomio di grado m in termine di grado m detcon (-1)^m (POLINOMIO CARATTERISTICO)

PROPOSIZIONE

Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico

DIMOSTRAZIONE

Siano A, B simili , allorap_A (λ) = det (A - λI) = [ ... ] = p_B (λ)

Calcolare gli autovalori di:

A = │ -1 5 2y │ │ 0 7 5 │ │ 0 0 -3 │

p_A(λ) = det│ -1-λ 5 2y ││ 0 7-λ 5 ││ 0 0 -3-λ│= la Place = (-1-λ)(7-λ)(-3-λ)

Le radici di p_A(λ) sono gli autovalori di A, sono:

λ₁ = -1 , λ₂ = 7, λ₃ = -3

In generale gli autovalori di una matrice triangolare sono gli elementi nella diagonale.

NOZIONE

Supponiamo di avere:

V → W in B = {v₁,... , v_n} / finito

C = {w₁,... , w_n}

La matrice di f associata alle basi B e C è la matrice A fatta con / f(v₁) │ ... │ f(v_n) \ A = │ │

coordinate di questi vettori nelle base C

Scriviamo infine:

(f(v₁), ... , f(v_n)) = (w_a, ... , w_m) A

CASO PARTICOLARE

V ³ V

B = {v₂, ..., v_m}

defiamo:

(f(v₂), ..., f(v_m)) = (v₂, ..., v_m)A

V ^f V

B = {i - j, k}

v ^- < v, v₀, v_n > => v₀ = i - j

defiamo la matrice associata

A =

[ ^{f(i) f(j) f(k)} ]

[ ^{2 -1 0} ]

[ ^{-1 2 0} ]

[ ^{0 0 0} ]

con :

f(i) = i (i - j) = (2 - 0)(i - j) = [2, i]t + (-2, j) + 0k

f(j) = j (i - j) = (-2 + 0)(i - j) = -2i + j + 0k

f(k) = 0

relazioni:

f(3i - j + 2k) = [3, i-j + 2k, i - j] (i - j) =

= (3+1)(i - j) = Ai - 2j

relazioni:

A[^3-10] = [^2-10] [²²]

[^-120] [^2c-4]

[⁰⁰⁰] [^-2-c0]

PROPOSIZIONE DEL CASO PARTICOLARE

Se x ∈ I^k_m è la colonna delle coordinate di v |c V

ed y ∈ I^k_l è la colonna delle coordinate di f(u)|^{c V}

“nelle base”

allora

y = AX = L_A(x)

vale quindi :

possiamo dire quindi :

_errore

si è reso esplicito

Se ed A è la matrice di rispetto a B basi, come cambia la matrice se cambio le basi?

ho che :

Due matrici che rappresentano la stessa applicazione lineare rispetto a basi diverse sono simili

Definizione

Se f: V → V lineare, un vettore v ∈ V è un autovettore di f se:

• v ≠ 0
• f(v) = λv per un λ ∈ K

e si dice che v è un autovettore di f relativo all’autovalore λ.

Definizione

Se λ ∈ K è un autovalore per f: V → V esistere v ≠ 0 t.c. f(v) = λv

Esercizio

Sia f: ℝ² → ℝ²

f(_x/_y) = _{x + y}/_{2x - y}

1. Determinare la matrice A di f rispetto alla base canonica _{{(1, 0), (0, 1)}^T}
2. Determinare le matrice A′ di f rispetto alla base canonica _{{(1, 2), (-1, 4)}^T}
3. Determinate le C t.c. A = C A′ C^-1
4. Determinate le P_f(λ) = det(A - λI₂) = det(A′ - λI)
5. Determinate gli autovalori di f
6. Determinate gli autovettori di f

Lezione 22 - 12/12/18 - 08:15 - 09:00

Supponiamo di avere, data f: V → V, una base di autovettori {u₁, ..., u_n}, quindi:

f(u_i) = λ_i ⋅ u_i

dove:

f(u₁) = λ₁u₁ = λ₁u₁ + 0u₂ + 0u₃ + ... + 0u_n

f(u₂) = λ₂u₂ = 0u₁ + λ₂u₂ + 0u₃ + ...

f(u_n) = λ_nu_n = 0u₁ + ... + λ_nu_n

Ottengo una matrice diagonale, quindi se c'è una base di autovettori per f, allora f è diagonazzabile.

Prendiamo A ∈ M_m,m(IK)

La matrice di L_A rispetto alla base canonica è data da:

Qual è L_A: R³ → R³?

L_A(e₁)   L_A(e₂)   L_A(e₃)

[     ]

    3   7   -1   1

• 4
• 45
• 0

    [     ]

• L_A(e₁)
• A =
• [     ]

      3  

    1

• L_A(e₂)
• A =
• [     ]

  4

x trova una base di autovettori per la, cioè:

A = L L^-1

quindi:

• un esiste base di la lo stesso autovettore di A
• A è diagonalizzabile ne esamptre una base di autovettori
• A è diagonalizzabile se e ast se e simile a una matrice diagonale

Osservazione

[     ]

  A

[ cos a -.

e

2

  L_A(1₀)

(     )

e₁

( -cos a

  2   0

[

L_A(e₂)

con d = 0 :

I = ^{[1 0]}/_{[0 1]} = A

IX = X ∀X ∈ ℝ² ⇒ λ = 1 ⇒ tutti gli X ∈ ℝ² sono autovettori di autovalore 1

con d = π :

A = ^{[−1 0]}/_{[0 −1]} = −I

(−I)(X) = −X ∀X ∈ ℝ² ⇒ ogni X ≠ 0 in ℝ² è autovettore di autovalore −1

se d ≠ 0, d ≠ 2π, la matrice non ha autovettori.

Teorema

Sia f : V → V , allora λ ∈ K è un autovalore di f se e solo se :

det (f − λId) = 0 ⇒ Pf(λ) ⇒ polinomio caratteristico

Dimostrazione

Scrivere le matrici di f e Id associate ad una base le autovalori di f sono le radici del polinomio caratteristico Pf(λ)

Esempio

Pa(λ) = det ^{[cosd−λ −sind]}/_{[sind cosd−λ]}

Pa(λ) = λ²−tr(A)λ + det A = λ² − 2cosdλ + 1

⇒ λ = cos ± √(cos²d−1)

con d ≠ 0, d ≠ 2π , non ha radici reali, quindi non ci sono autovalori reali di A

lezione 22 - 12/12/19 - 09:15 e 10:00

Determinare autovalori ed autovettori di:

A = [2 3 -1 -2]

p(A) = ² - ₂(A) + det(A) = ² - 1

quindi

₁ = -1 e ₂ = +1 sono autovalori di A

allora esiste x ≠ 0 t.c. Ax = -x

(A + I)x = 0 per ₁      ↓(A - ₂ I)x = 0

(A - I)x = 0 per ₂      ↓(A - ₂ I)x = 0

quindi:

• ₁ = -1

[3 3][-1 -1] [x] = [0]        [y]   [0]

{ 3x + 3y = 0-x - y = 0

[x][-x] = x [1]              [-1]

⇒ ₂ = -1 ⇒ [1]                  [-2]

• ₂ = 1

[1 3] [x] = [0]

[-2 -3] [y] [0]

{ x + 3y = 0

{ x - 3y = 0

⇒ [-3]

[1]

quindi:

[2 3] [ ] [-1 0] [ ]

[-1 -2] = [ "C ] [0 1] [ "C^-1 ]

La

con B = { [ 1;-1], [-3;1] }

vediamo:

(W_r1, W_r2) = (c_1, c_2) [1 -3]

[-1 1]

coordinate dei W_r

rispetto alle base c_1, c_2

NOTA

λ_2 è autovalore di f se det(A - λI) = 0, quindi Pf(a) =

(-λ - λ_2)^* . . .

molteplicità algebrica di λ

N.B λV_o è autovalore di f relativo a λ_2 se Pf(V_o) = λ_2 V_o

  ∃  (  f - η₂Id) v = 0

  ∃   v ∃ Ker( f - η₁Id)

   V_η2(f)  = Ker (f - η₂Id) ⊆ V

  _

L’AUTOSPAZIO DI  f  REALINO ALL’AUTOVALORE  η₁

Prem.

Sia  f :  V →  V   non iniettiva

V₀(f)  =  ?

f(v)  =  0 b v = 0

quindi:

V₀(f) = Ker (f)

DEFINIZIONE

Sia η₁  autovalore  di  f : V → V

la  dim  V_η2(f)  si  chiama  _____

______

________ di  η₁

PROPOSIZIONE

Sia  η₁  autovalore  di  f,  allora  le  dim  dell’

autospazi:

1 ≤ dim  V_η1(f) ≤ η₂

Esempio

A= |  0  1  |

   |  0  0  |

   P_A(x)  =  x²

η₂ = 0

V_η2 = 2

dim  V₀(A)

=  dim  KerlA = 1