Appunti di algebra e geometria (12)

1)

A =

⇒

⇒ A₂ - 2A₁

⇒ A₃ - 3/2A₁

⇒ A₄ - 2/1A₁

⇒ A₃ - 0/2A₂

⇒ A₄ - 4/2A₂

⇒ A scala

quindi:

rang(U₁) = 3

Leve sono colonne di U₃ =

1)

\( A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 3 & 1 \\ 2 & -2 & 3 & -3 \\ 3 & -1 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & 4 & -1 \end{bmatrix} \)\(\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & y & -5 \\ 0 & 2 & 7 & -3 \\ 0 & 6 & 5 & -1 \end{bmatrix}\)

• \( A_2 - 2 \cdot A_1 \)
• \( A_3 - \frac{3}{2} \cdot A_1 \)
• \( A_4 - \frac{2}{2} \cdot A_1 \)

\(\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 7 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -5 \\ 0 & 4 & 4 & 5 & -1 \end{bmatrix}\)

• \( A_3 - \frac{0}{2} \cdot A_2 \)
• \( A_4 - \frac{4}{2} \cdot A_2 \)

\(\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 7 & -3 \\ 0 & 0 & y & -5 \\ 0 & 0 & 0 & -5 \end{bmatrix}\)

\(\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 7 & -3 \\ 0 & 0 & y & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

• \(\Rightarrow A \text{ sca\(?\)}\)

quindi: \(\text{nom}(U_1) = 3\)\(\text{base span colonna di } U_1 = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ -3 \\ 7 \\ 4 \end{bmatrix} \right\}\)

le righe di U = { le 3 righe ≠ 0 }

2) Calcolare le matrici e scalare

A = ^[ _{3 1 9 4 4 2 1 17 3 2 4 3} ^]

B = ^[ _{4 2 -1 2 -1 5 1 10 6} ^]

A) sommare le prime righe con le terze finché il pivot è 1 (canonica):

^[ _{1 2 17 3 4 10 1 1 1 4 2 4 3} ^]

^[ _{1 7 17 3 0 -2 -7 -3 0 -3 -0 -5 0 2 -7 -3} ^] → A₂ - 2 A₁ → A₃ - 3 A₂ → A₄ - 2 A₁

⇒ se γ ≠ ±2, usa Q - γ² come pivot; se γ = 2 o γ = -2, guarda cosa succede separatamente

se γ = 2

^[ _{1 2 17 3 0 0 -24 -5 0 -5 -50 -5 0 -2 -30 -3} ^]

^[ _{1 2 17 3 0 -5 -50 -5 0 -24 -5 0 -2 -30 -3} ^]

➡                  0   -5   -5a   -5     0   0   -2a   -5     0   0   0   2a - 1 ➡                  0   -5   -5a   -5     0   0   -2a   -5     0   0   0   ¹³/₁₂rank(U) = 3   con   a = 2 se a = 2 facci il determinante per procedimento quindi adesso consideriamo a = z ➡     1   a   17   3     0   a - 2   ^{20 + 17a}/_{a - 2}   1 - ^3a/_{a - 2}    0   0   ^{a2 + 64 - 2a}/_{a - 2}   -5 - ^{(z - 3a)2}/_{a - 2}    0   0   0   ^{(a2 + 54) x = -260}/_{a - 2}    ^{(z - 2a) - 3a}/_{a - 2}per   a = ^{67 + 37}/₂ per a ≠ ^{67 + 37}/₂ si continua la riduzione ➡     1   a   17   3     0   a - 2   10 + 17a   1 - 3a     0   0   . . .   . . . relazione tra A e U proposizione Span {righe di A} = Span {righe di U} L'insieme delle soluzioni di AX=0 è uguale all'insieme delle soluzioni Bx=0

cioè

Ker Lₐ = Ker Lᵤ

• Span { colonne di A³ } ≠ Span { colonne di U }

_counter

A = _{(1 0)}^{(0 0)}

U = _{(1 0)}^{(0 0)}

Span { colonne di A³ } = Span _{{ 0 }}^{{ 1 }} one y

Span { colonne di U } = Span _{{ 1 }}^{{ 0 }} one x

_{LO SPAN CAMBIA}

quindi:

dim Span { colonne di A³ } = dim Span { colonne di U } = 1

quindi

dim Im Lₐ = dim Im Lᵤ

_{DIMOSTRAZIONE}

I primi due punti osservano del fatto che le operazioni colonne sulle righe lasciano invariati span e soluzioni.

Per il terzo punto: