Appunti di algebra e geometria (12)

Esercizi di risoluzione e rango di una matrice

1)

¹A =

• [ 1 -1 0 3 | 1 ]
• [ 2 0 3 0 | 3 ]
• [ 3 -1 2 -2 | 0 ]
• [ 0 4 -1 1 | 1 ]

⇒

• [ 1 -1 0 3 | 1 ]
• [ 0 0 0 9 | -5 ] ← A₂ - 2_A1
• [ 0 2 2 7 | -3 ] ← A₃ - 3/2_A1
• [ 0 6 5 -1 | 0 ] ← A₄ - 2/2_A1

⇒

• [ 1 -1 0 3 | 1 ]
• [ 0 2 2 7 | -3 ]
• [ 0 0 0 9 | -5 ]
• [ 0 4 4 5 | -1 ]

⇒

• [ 1 -1 0 3 | 1 ]
• [ 0 2 2 7 | -3 ]
• [ 0 0 0 9 | -5 ] ← A₃ - 0/2_A2
• [ 0 0 0 5 | -5 ] ← A₄ - 4/2_A2

⇒

• [ 1 -1 0 3 | 1 ]
• [ 0 2 2 7 | -3 ]
• [ 0 0 0 0 | 0 ]
• [ 0 0 0 0 | 0 ]

quindi:

rang(U₁) = 3

base span colonne di U₁ = {

• (1 0 0 0)
• (-1 2 0 0)
• (3/7 7/6 0 0)

}

2) Calcolare le matrici e scal.

A = 3 2 1 17 3 4 1 4 10 5 1 1 1 1 4 2 2 4 4 3

B = 1 2 -1 2 2 -1 1 5 1 10 6 1

A1) Scambiare la prima riga con la terza perché il pivot è 1 (conveniente): 1 2 1 17 3 4 1 4 10 5 3 1 1 4 2 2 4 3

=> 1 2 17 -3 0 -7 -2 -1 → A₂ - A₁ 0 -13 -5 -5 → A₃ - 3A₂ 0 2 -27 -30 -3 → A₄ - 2A₁

=> se λ ≠ ±2 usa 6 - 9/2 come pivot; se λ = 2 o λ = -2, guarda cosa succede separatamente. se λ = 2

=> 1 2 27 3 0 0 -24 -5 0 0 -5 -50 -5 0 0 -2 -30 -3

=> 1 2 1 17 3 0 0 -5 -50 -5 0 0 -24 -5 0 0 -2 -30 -3

trovare le variabili:

x_m+1, ..., x_n --> variabili dipendenti

in funzione delle altre n-m variabili --> variabili libere

Esempio

1. Trovare le soluzioni del seguente sistema:

2x - 3y + 4z + 6t = 6 -2x + 3y + 5t - 3 = 0 6x - y + 7z + 4t = 10 -1x + 8y - 6z + 13t = 5

Applico Gauss alla matrice completa

⎡ 2 -3 4 6 ⎤ ⎢-2 3 - 5 ⎥ ⎢ 6 -7 4 10 ⎥ ⎣-8 6 -13 5 ⎦

⇒

⎡ 2 -3 4 6 ⎤ ⎢ 0 4 2 3 ⎥ ⎢ 0 -1 -2 -8 ⎥ ⎣ 0 12 6 29 ⎦

⇒

⎡ 2 1 3 6 ⎤ ⎢ 0 4 2 3 ⎥ ⎢ 0 0 1 1 ⎥ ⎣ 0 0 0 2 ⎦

⇒

⎡ 2 1 3 6 ⎤ ⎢ 0 4 2 3 ⎥ ⎢ 0 0 1 1 ⎥ ⎣ 0 0 0 0 ⎦

⇒ rango (A) = rango (U) = 3 = rango (U|V) = rango (A|B)

quindi:

Rang(A) = 3

dim Im f_a = dim Span{ colonne di A } = 3

Base di Im f_a = { (0,1,2), (4,2,5), (3,0,4) }

3.1) Determinare una base di Span{ righe di A } Prendiamo le A dell'esercizio precedente.

Span_K{ righe di A } = Span_K{ righe di \overline{U} }

base Span{ righe di A } = { (1,2,0,1), (0,1,0,3), (0,0,1,-1) }

4) Data la f_a : A ∈ M_m,n(IK), dire B ∈ IK^m opzione a Im f_a Im f_a = { B ∈ IK^m | ∃ x ∈ IK^m t.c. L_A(x) = B} B ∈ Im f_a se e solo se il sistema AX=B ammette soluzioni se e solo se Rang(A) = Rang(A|B)

ESERCIZIO APPLICATIVO Determinare i valori di K tali che:

App.

A =

• 1 2 0
• 0 0 1
• 1 0 0

c₂₂ = (-1)³ det

• 0 1
• 1 0

APPLICAZIONI COMPOSTE

Consideriamo adem:

• f : U → V con U, V spazi vettoriali ed f applicazione lineare
• g : V → W

g composta f : U → W è lineare

Diciamo che:

• dim U = m
• dim V = n
• dim W = p

Scelgo una base B_u in U, B_v in V e B_w in W.

• B_u m vettori LI di U
• B_v m " " di V
• B_w p " " di W

Prendiamo adem:

u ∈ U:

• u = [u₁, u₂, ..., u_m]_Bu

ENURUA → coordinate di u rispetto ad B_u quindi:

u = u₁B_u + ... + u_mB_mu