Appunti di algebra e geometria (12)

Analisi delle matrici e delle operazioni

Descrizione della trasformazione della matrice A

1) A ⇒ A₂ - 2A₁ ⇒ A₃ - 3/2A₁ ⇒ A₄ - 2/1A₁ ⇒ A₃ - 0/2A₂ ⇒ A₄ - 4/2A₂ ⇒ A scala quindi: rang(U₁) = 3. Leve sono colonne di U₃ = 1.

\( A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 3 & 1 \\ 2 & -2 & 3 & -3 \\ 3 & -1 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & 4 & -1 \end{bmatrix} \) ⇒ \(\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & y & -5 \\ 0 & 2 & 7 & -3 \\ 0 & 6 & 5 & -1 \end{bmatrix}\)

\( A_2 - 2 \cdot A_1 \)\ \( A_3 - \frac{3}{2} \cdot A_1 \)\ \( A_4 - \frac{2}{2} \cdot A_1 \)

\(\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 7 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -5 \\ 0 & 4 & 4 & 5 & -1 \end{bmatrix}\)

\( A_3 - \frac{0}{2} \cdot A_2 \)\ \( A_4 - \frac{4}{2} \cdot A_2 \)

\(\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 7 & -3 \\ 0 & 0 & y & -5 \\ 0 & 0 & 0 & -5 \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 7 & -3 \\ 0 & 0 & y & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

\(\Rightarrow A \text{ scala}\) quindi: \(\text{rang}(U_1) = 3\) \(\text{base span colonna di } U_1 = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ -3 \\ 7 \\ 4 \end{bmatrix} \right\}\) le righe di U = { le 3 righe ≠ 0 }

Operazioni sulle matrici A e B

2) Calcolare le matrici e scalare:

A = ^[ _{3 1 9 4 4 2 1 17 3 2 4 3} ^]

B = ^[ _{4 2 -1 2 -1 5 1 10 6} ^]

Passaggi per la trasformazione delle matrici

A) Sommare le prime righe con le terze finché il pivot è 1 (canonica):

^[ _{1 2 17 3 4 10 1 1 1 4 2 4 3} ^]

^[ _{1 7 17 3 0 -2 -7 -3 0 -3 -0 -5 0 2 -7 -3} ^]

→ A₂ - 2 A₁ → A₃ - 3 A₂ → A₄ - 2 A₁

⇒ se γ ≠ ±2, usa Q - γ² come pivot; se γ = 2 o γ = -2, guarda cosa succede separatamente.

Se γ = 2

^[ _{1 2 17 3 0 0 -24 -5 0 -5 -50 -5 0 -2 -30 -3} ^]

^[ _{1 2 17 3 0 -5 -50 -5 0 -24 -5 0 -2 -30 -3} ^]

➡                  0   -5   -5a   -5     0   0   -2a   -5     0   0   0   2a - 1

➡                  0   -5   -5a   -5     0   0   -2a   -5     0   0   0   ¹³/₁₂

Rank(U) = 3   con   a = 2

Se a = 2, facci il determinante per procedimento, quindi adesso consideriamo a = z

➡     1   a   17   3     0   a - 2   ^{20 + 17a}/_{a - 2}   1 - ^3a/_{a - 2}     0   0   ^{a2 + 64 - 2a}/_{a - 2}   -5 - ^{(z - 3a)2}/_{a - 2}

    0   0   0   ^{(a2 + 54)x = -260}/_{a - 2}    ^{(z - 2a) - 3a}/_{a - 2}

Per   a = ^{67 + 37}/₂, per a ≠ ^{67 + 37}/₂ si continua la riduzione

➡     1   a   17   3     0   a - 2   10 + 17a   1 - 3a     0   0   . . .   . . .

Relazione tra A e U

Proposizione: Span {righe di A} = Span {righe di U}

L'insieme delle soluzioni di AX=0 è uguale all'insieme delle soluzioni Bx=0 cioè Ker L₁ = Ker L₂

Span { colonne di A³ } ≠ Span { colonne di U }

_counterA = _{(1 0)} ^{(0 0)} U = _{(1 0)} ^{(0 0)} Span { colonne di A³ } = Span _{{ 0 }}^{{ 1 }} one y Span { colonne di U } = Span _{{ 1 }}^{{ 0 }} one x

_{LO SPAN CAMBIA} quindi: dim Span { colonne di A³ } = dim Span { colonne di U } = 1. Quindi dim Im L₁ = dim Im L₂.

Dimostrazione

I primi due punti osservano del fatto che le operazioni colonne sulle righe lasciano invariati span e soluzioni. Per il terzo punto: