Appunti di algebra e geometria (11)

Lezione 17 - 29/11/18

Esercizio - La Place

Prendiamo una matrice:

A = [3 3 0 2]
[3 0 1 0]
[-4 -1 0 0]
[3 0 4 0]

Consideriamo la matrice:

A = [3 3 0 2]
[3 0 1 0]
[-4 -1 0 0]
[4 -2 1 0]

Determinato sostituendo le prime righe alla quarta riga di A: Insieme:

det A = det A'

Calcolo il determinante di A', sviluppandolo con il metodo di La Place lungo la quarta riga:

det A = det A' = 2 · det [3 3 0]
[1 0 2]
[-4 -2 -1]

Scambio le prime colonne con le seconde:

det [3 3 0]
[20 1]
[-4 -2 -1] = det [3 0 0]
[1 -4 1]
[-2 -1]

II colonna ottenuta intercambiando la colonna e la seconda colonna.

Quindi:

det A = 2 · 3 · det [-1 y]
[3 -1] = -2 · 6 = -12

Supponiamo di porre m vettori in l^m:

V1 = [v11 v12]
[v21 v22]
[Vm1]
[V2] = [v12 v22]
[Vm2]
[Vm2]
[V2m]

Lezione 17 - 20/11/18

Esercizio - La Place

Prendiamo una matrice:

[3 3 0 2]
[0 1 0]
[-1 -4 -1]
[-4 -2 1] = A

Consideriamo la matrice:

[3 3 0 2]
[0 1 0]
[-1 -4 -1]
[-4 -2 1]

Determinata scambiando le prime righe della quarta riga di A. Insieme:

det A = det A'

Calcolo il determinante di A', sviluppandolo con il metodo di La Place lungo le opportune righe:

det A = det A' = 2 det [3 3 0]
[1 0 2]
[-4 -2 -1]

Ottenere tre prime colonne con le seconde:

det [3 3 0]
[1 0 2]
[-4 -2 -1] = det [3 3 0]
[1 -4 2]
[-4 -2 -1]

II colonna ottenuta scambiata la colonna con la seconda colonna.

Quindi:

det A = 2.3. det (-1 y) = -2.6 = -12
3 -1

Si supponiamo di poterne n vettori in 10:

v₁ = [v₁1 v₁2 ... v₁m]
v₂ = [v₂1 v₂2 ... v₂m]
v_m = [v_m1 v_m2 ... v_mm]

come le colonne delle matrici quadrato m x m.

Supponiamo adesso che v₂, ..., v_m siano LD, ossia esistono d₂, ..., d_m ∈ K non tutti nulli tali che la loro combinazione lineare sia 0. Quindi esiste d_j con 1 ≤ j ≤ m:

v_j = -_d2⁄_dj v₂ - _d3⁄_dj v₃ - ... - _dj-2⁄_dj v_j-2 - _dm⁄_dj v_m

In altri termini, la matrice di prima si scrive anche: questa matrice avendo colonne uguali ha determinante uguale a 0. Se il determinante è uguale a 0 i vettori (non LD) rimane con LI ne det ≠ 0.

Teorema di Cramer

Consideriamo un sistema lineare di m equazioni lineari in m incognite:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1mx_m = b₁
a_m1x₂ + ... + a_mmx_m = b_m
AX = b

Data un sistema lineare di m equazioni in m incognite AX = b. Se il determinante della matrice A è diverso da 0, allora il sistema ha una sola soluzione. Inoltre risulta:

x₂ = det(([b₂] | A₂ | ... | A_m)) / det A
x₃ = det(([A₁] | [b₂] | [A₃] | ... | [A_n])) / det A
...
x_m = det(([A₁] | ... | [A₂ - n] | [b_n])) / det A

Prendiamo:

• 3x + 2y + 4z = 3
• x₁ + 2x₂ + 4x₃ = 1
• x + y + z = 0
• x + 2y + 3z = 1

È un sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite x = x₁, y = x₂, z = x₃.

Scriviamo la matrice:

A = (3 2 4        1 1 1        1 2 3)
x = (x₁   x₂   x₃)
b = (1   0   1)

Per prima cosa bisogna vedere se det A è diverso da 0. Calcoliamo i valori venendo che:

det A = -5 ≠ 0

Adesso applichiamo la regola di Cramer. Per il teorema di Cramer esiste una ed una sola soluzione data da:

x₁ = x = det ( | | | 2 || 0 1 | / det (|)/ -5
x₂ = y = det ( () (() (()
x₃ = z = det (()()

Risolviamo i vari determinanti e poi x₁ x₂ x₃:

x₁ = det (() = 1 . det ()
x₂ = det () = 0/ −5
x₃ = det (()(). La soluzione

SPIEGAZIONE DELLA FORMULA

• → prodotto tra un → →