Appunti di algebra e geometria (10)

TEORIA DEI SISTEMI LINEARI

Sia A ∈ M_mn(ℝ) e B ∈ ℝ^m

l'equazione L_A(X) = B

ossia AX = B

È il sistema lineare di matrice incompleta A e matrice completa B

quindi:

A = ( q₁₁ ... q_1n ) ( q_m1 ... q_mn )

B = ( b₁ ) ( b_m )

AX = B

⇔

• q₁₁x₁ + ... + q_1nx_n = b₁
• q_m1x₂ + ... + q_mnx_n = b_m

—> SISTEMA LINEARE CON m EQUAZIONI ED n INCROCI (INCOMPLETO)

L'insieme delle soluzioni del sistema lineare AX = B è:

{ x ∈ ℝⁿ | AX = B }

Il sistema AX=B si dice RISOLUBILE se l'insieme delle soluzioni è diverso da nullo (≠∅)

ESERCIZIO

• 1)
  • x+y=1
  • x-y=2
• 2)
  • x+y=1
  • x+y=2
• 3)
  • x+y=2
  • x+y=2

1) A = ( 1, 1 ) ( 1, -1 ) B = ( 1 ) ( 2 ) ⇒ {y= 3/2} {x= -1/2} UNICA SOLUZIONE 1°

2) A = ( 1, 1 ) ( 1, 1 ) B = ( 1 ) ( 2 ) ⇒ NON C'È SOLUZIONE 2°

3) A = ( 1, 1 ) ( 1, 1 ) B = ( 2 ) ( 2 ) ⇒ ( -2 ) ( 0 ) + y ( 1 ) ( 1 ) INFINITE SOLUZIONI DIPENDONO DA UN PARAMETRO y 3°

Definizione

Sia A una matrice m x n a coefficienti in un campo K.

Il rango di A e il massimo numero di colonne L.I. in A.

Proposizione

Il rango rank (A) = dim Im L_A

Dimostrazione

Im L_A = Span { colonne di A } = { L_A(x) : x ∈ ℝⁿ } = { ... : x_i ∈ ℝ }

Teoria dei sistemi lineari

Definizione

È un sistema formato da:

• α₁₁x₁ + ... + α_1mx_m = b₁
• α₂₁x₁ + ... + α_2mx_m = b₂
• ...
• α_m1x₁ + ... + α_mmx_m = b_m

è un sistema di m equazioni ed m incognite.

Altro modo equivalente: AX = B

dove:

• A = ...
• X = ...
• B = ...

Terzo Punto

Sia {v₁, ..., v_m-r} una base di KerA. Ricordiamo che:

Ranka

dim KerA = m - dim ImA

allora:

ogni soluzione y₀ = x₀ + N = x₀ + t₁v₁ + ... + t_m-rv_m-r

Riduzione a scala di una matrice (o riduzione di Gauss)

Definizione

Sia U ∈ M_m,n e siano U₁, ..., U_m le sue righe

Dove:

• □ = numeri pivot

Se una riga U_i ≠ 0, allora il pivot di U_i è il primo elemento di U_i ≠ 0.

Inoltre, la matrice si dice a scala se le seguenti condizioni non soddisfano:

1. Se due righe consecutive U_i, U_i+1 sono ≠ 0, allora il pivot di U_i+1 si trova a destra del pivot di U_i

Esempio

-1 si trova a destra di 3, 2 si trova a destra di -1 della matrice numerata

Quindi, le righe U_i e U_i+1:

A = (

a₁₁ ... a_1m

... . . . ...

a_m1 ... a_mm

)

Definiamo A_ij con 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ m:

A_ij = (

) prima riga

A₀ esempio:

1 2 1

A = 3 1 1

1 2 2

A_3,1 =

3 1

1 2 elimina la terza riga e la prima colonna

A₁₂ =

1 2

2 2

B = (

√2 1 -1

3 -1 0

1 -1 1

√2 2 -√2

) ∈ M_4x4(ℝ)

B_4,2 =

√2 1 -1

3 0 1

1 1 1

A COSA SERVE?

A₂ = (

q₂₁ q₂₂

q₂₁ q₂₂

)

A₁₂ = Q₂₂

A₁₂ = Q₂₂

A₂₂ = Q₁₁

SVILUPPO DI LA PLACE

Scegliamo la i-esima riga (1 ≤ i ≤ m)

det(A) = a_i1 (-1)ⁱ⁺¹ . det(A_i,1) + a_i2 (-1)ⁱ⁺² . det(A_i,2)

+ ... + a_im (-1)^i+m . det(A_i,m)

FORMULA DEL DETERMINANTE SVILUPPO DI LA PLACE

ESECUZIONE CON UN ESEMPIO

A =

[ 0 1 2 | 3 ] [ 0 0 3 | -2 ] [ 0 1 2 | 1 ] [ 1 1 4 | 2 ] [ 1 1 1 | 1 ]

Confronta la prima colonna e prendi il primo elemento ≠ 0 : Q₁ = Q₂ - 7 (primo pivot) se sono tutti 0, prendi la seconda colonna; numeri le righe e scambia con la prima:

[ 2 -1 0 | 1 ] [ 0 0 3 | -2 ] [ 0 1 2 | 1 ] [ 2 5 -2 | 3 ] [ 1 1 1 | 1 ]

ottengo una matrice ...

[ 0 0 Q₂ | * * * ] [ . . . ] [ 0 0 0 * * *^* ] [ * * * ]

... dove sostituire (costruire) una nuova matrice con la prima riga invariata.

A_j → RIGA

[ 2 1 0 | 1 ] [ 0 0 3 | -2 ] [ 0 1 2 | 1 ] [ 0 3 2 | 1 ]

A₂ ↔ A₂ =