Appunti di algebra e geometria (10)

Teoria dei sistemi lineari

Sia \( A \in \mathbb{M}_{m \times m}(\mathbb{R}) \) e \( B \in \mathbb{R}^m \) l’equazione \( L_A(x) = B \), ossia \( AX = B \). È il sistema lineare di matrice incompleta \( A \) e matrice completa \( B \), quindi:

\( A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{1m} \\ a_{m1} & a_{mm} \end{pmatrix} \)

\( B = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_m \end{pmatrix} \)

\( AX = B \)

\(\iff\) \( \begin{cases} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1m}x_m = b_1 \\ a_{m1}x_2 + \ldots + a_{mm}x_m = b_m \end{cases} \)

Sistema lineare con m equazioni ed m incognite

L’insieme delle soluzioni del sistema lineare \( AX = B \) è: \( \{ x \in \mathbb{R}^m \ | \ AX = B \} \).

Il sistema \( AX = B \) si dice risolvibile se l’insieme delle soluzioni è diverso da nullo \(( \varnothing )\).

Esempio

1. \( \begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 2 \end{cases} \)
   \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \)
   \( B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)
   \(\Rightarrow \) \( \begin{cases} y = -\frac{1}{2} \\ x = \frac{3}{2} \end{cases} \)
   \(\Rightarrow \) Unica soluzione
2. \( \begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 2 \end{cases} \)
   \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
   \( B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)
   \(\Rightarrow \) Non c’è soluzione
3. \( \begin{cases} x + y = 2 \\ x + y = 2 \end{cases} \)
   \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
   \( B = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \)
   \(\Rightarrow \) \( \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)
   Infinité soluzioni dipendenti da più parametri

Teoria dei sistemi lineari (ripetizione)

Sia \( A \in \mathbb{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) \) e \( B \in \mathbb{R}^m \) l'equazione \( L_A(x) = B \), ossia \( AX = B \). È il sistema lineare di matrice incompleta \( A \) e matrice completa \( B \), quindi:

\( A = \begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix} \)

\( B = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_m \end{pmatrix} \)

\( AX = B \) \(\iff\)

\( \begin{cases} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{m1}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} \)

Sistema lineare con m equazioni ed m incognite

L'insieme delle soluzioni del sistema lineare \( AX = B \) è: \( \{ x \in \mathbb{R}^n \ | \ AX = B \} \).

Il sistema \( AX = B \) si dice risolvibile se l'insieme delle soluzioni è diverso da nullo (\( \emptyset \)).

Esempio (ripetuto)

1. \( \begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 2 \end{cases} \)
   \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \)
   \( B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)
   \(\Rightarrow \) \( \begin{cases} y = -\frac{1}{2} \\ x = \frac{3}{2} \end{cases} \)
   \(\Rightarrow \) Unica soluzione
2. \( \begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 2 \end{cases} \)
   \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
   \( B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)
   \(\Rightarrow \) Non c'è soluzione
3. \( \begin{cases} x + y = 2 \\ x + y = 2 \end{cases} \)
   \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
   \( B = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \)
   \(\Rightarrow \) \( \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)
   Infinite soluzioni dipendenti da un parametro

Definizione

Sia \( A \) una matrice \( m \times n \) a coefficienti in un campo \( K \). Il rango di \( A \) è il massimo numero di colonne linearmente indipendenti in \( A \).

Proposizione

Il rango \( \text{rank}(A) = \dim \text{ Im } L_A \).

Dimostrazione

\(\text{Im } L_A = \text{Span}\{ \text{colonne di } A \} = \{ L_A(x) : x \in \mathbb{R}^n \} = \{ ( a_{11} \, \ldots \, a_{1m} ) ( a_{m1} \, \ldots \, a_{mm} ) \} = \{ ^x_1 ( _{a_{11} a_{1m}} ) + ^x_m ( _{a_{m1} a_{mm}} ) : x_i \in \mathbb{R} \}

Teoria dei sistemi lineari (definizione)

È un sistema formato da: \( q_{11}x_1 + \ldots + q_{1m}x_m = b_1 \) e così via per altre equazioni.