Appunti dettagliati per esame di Analisi 2

INSIEMI NUMERICI

• Introdotti per risolvere problemi

• N = {1, 2, 3, ...} (naturali)
• Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} (estensione di N)
• Q = {^m/_n, m, n ∈ Z, n ≠ 0} (razionali)

R: in R sono valide le proprietà associativa, commutativa e distributiva (reali) per somma e prodotto. Esistono anche l'elemento neutro e l'inverso di entrambe le operazioni.

In R esiste un ordinamento totale => ∀ x, y ∈ R si ha che: o x < y o y < x

R è CAMPO ORDINATO

Proprietà di completezza = ogni insieme ⊂ di R non vuoto e limitato superiormente o inferiormente possiede un estremo superiore o inferiore

- Lo spazio R è uno spazio senza "buchi", mentre gli altri insiemi hanno buchi.

- R è in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta.

Numero reale = allineamento decimale periodico o non, con segno.

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Numeri irrazionali = numeri x ∈ R che ∉ Q

- Numeri reali risolvono il difetto metrico (si possono misurare tutte le lunghezze) e il difetto algebrico (si possono effettuare tutte le operazioni).

Densità: ∀ x ∈ R, ∀ ε > 0, ∃ q ∈ Q t.c. |x-q| < ε

• Proprietà per rappresentare numeri reali con quelli razionali con una certa approssimazione

INSIEMI NUMERICI

Introdotti per risolvere problemi

N = {0, 1, 2, 3, ...}   (naturali)

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}   estensione di N   (interi)

Q = {m/n, m, n ∈ &Z;, n ≠ 0}   (razionabili)

R: in R sono valide le proprietà associativa, commutativa e distributiva per somma e prodotto. Esistono anche l’elemento neutro e l’inverso di entrambe le operazioni.

In R esiste un ordinamento totale → ∀x, y ∈ R si ha che 0 ≤ x ≤ y.

R = CAMPO ORDINATO

Proprietà di completezza = ogni insieme ⊆ R non vuoto e limitato superiormente o inferiormente possiede un estremo superiore e inferiore.

Lo spazio R è uno spazio senza "buchi", mentre gli altri insiemi hanno buchi.

R è in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta.

Numero reale = allineamento decimale periodico o non, con segno.

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R

Numeri irrazionali = numeri x ∈ R che ∉ Q

Numeri reali risolvono il difetto metrico (si possono misurare tutte le lunghezze) e il difetto algebrico (si possono effettuare tutte le operazioni).

Densità: ∀x ∈ R, ∃y ∈ R tra x e y t.c. |x-y| < ε

Proprietà per rappresentare numeri reali con quelli razionari con una certa approssimazione.

Esercizio

√2 ∉ ℚ

In ℚ → dt

Se è tale che d² = 2 →

n² = 2m² →

→ n² e m² pari

→ m pari

→ non sono più primi tra loro.

→ Assurdo

d non è rappresentato da un numero razionale.

NUMERI COMPLESSI

• Utile per il risolvere a^b (l'operazione inversa) in tutta la sua generalità.

∀ c ∈ ℝ, ∃ a ≥0 ∀ b ∈ ℝ

a ≤ 0, b è intero

se b = 2m ⇒ n=tipici

Esempio

x² + 1 = 0 non ammette soluzioni in ℝ

Indichiamo con ℝ² = ℝ x ℝ insieme delle coordinate (a,b) a,b ∈ ℝ

(a,b) + (c,a) = (a+c, b+d)

(ab)⋅(c,d) = (ac-bd, ad+bc)

(-a, -b) = opposto di (a,b)

se (a,b) ≠ (0,0) =>

(a_² + b_²) =

(c/d)

e (1,0)

così strutturato si chiama campo dei numeri complessi (ℂ)

Contiene delle coppie (a,0) ⇒ a,b si ha che (0,0)

∀(a,b) ∈ ℂ

(0,0) è un campo ordinato

R è un sottoinsieme di C, dove si identifica a ∈ R con (a,0) ∈ C

Però in C non c'è una relazione d'ordine (dire quale numero è > o < di un altro)

Esempio

(0,1) ∈ C => (0,1)(0,1) = (-1, 0) => il quadrato di (0,1) coincide con il numero reale (-1,0) = -1

(0,1) viene indicato con i (unità immaginaria)

Forma algebrica dei numeri complessi (come si scrivono)

(a,b) = (a,0) + i(b,0) = (a,0) + (0,1)(b,0) = a + ib

Perciò valgono le usuali regole del calcolo letterale (con ab+cb), i²=-1

(a+ib)_i (c+id) = ac+ibc+iad+i²bd = (ac-bd) + i(ad+bc)

(a+ib) + (c+id) = a+c + i(b+d)

z = a+ib, è detta forma algebrica di C, dove a = parte reale b =