Appunti dettagliati per esame di Analisi 2

INSIEMI NUMERICI

28/09/20

introdotti per risolvere problemi

N = {0, 1, 2, 3, … } (naturali)

Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} (interi) estensione di N

Q = {^a/_b, a, b ∈ ℤ, b ≠ 0} (razionali)

R = ℝ sono valide le proprietà associativa commutativa e distributiva (reali) per somma e prodotto. Esistono anche l'elemento NEUTRO e L'INVERSO di entrambe le operazioni.

In ℝ esiste un ordinamento totale ⇒ ∀ x, y ∈ ℝ si ha che o x ≤ y o y ≤ x

ℝ = CAMPO ORDINATO

Proprietà di completezza

= ogni insieme solido in ℝ non vuoto e limitato superiormente o inferiormente, possiede un estremo superiore o inferiore

• Lo spazio ℝ è uno spazio senza "buchi", mentre gli altri insiemi hanno buchi.
• ℝ è in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta.

Numero reale = allineamento decimale periodico o non, con segno.

N⊆Z⊆Q⊆R

Numeri irrazionali

numeri x ∈ ℝ che ∉ ℚ

Numeri reali risolvono il difetto metrico (si possono misurare tutte le lunghezze) e il difetto algebrico (si possono effettuare tutte le operazioni).

Densità

∀ x, y ∈ ℝ ∃ z, y < z < y T.c. |x-y| < ε

Proprietà per rappresentare numeri reali con quelli razionali con una certa approssimazione

Esercizio

a^mbⁿ = 0

(n ∈ Q -> ) = d t *(n / m), n, m primi tra loro

(√2 ∉ Q)

Se ∉ tale che d²= 2

(a² = b^2_.22m)

(n²)

d non è rappresentato da un numero razionale.

Numeri Complessi

(Funiti per risolvere a^b (l'operazione inversa) in tutta la sua generalità.

∀ E: a > 0, ∀ b ∈ R

a¹2, b è intero

se b ≠ n non lì pioti

Esempio -> x² + 1 > 0 non ammette soluzioni in R

Indichiamo con R² = (R x R) insieme delle coordinale (a,b) a, b ∈ R

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

(ab) · (c,d) = (ac bd ad+ bc)

(-a,-b)= opposto di (a,b)

se (a,b) ≠ /0,0/) => (sup a)¹ e (reciproco di a/b)

(0,1) (a

(a²+b^2/ = x²+b²) = 1(

(R²) così strutturato si chiama campo dei numeri complessi(C)

z = cos(^π/₆) + i sen(^π/₆)

= ?

⁶ = 1

arg(⁶) = 6 arg() = 2 6(^π/₆) = ±

² = cos(−) + i sen(−)

I punti sul piano possono anche essere identificati da (raggio polare)

e (angolo polare)

Noto solamente a meno di multipli di 2.

_P = |z|

_O arg()

Per avere un valore univoco di arg(), si identifica un intervallo di riferimento di lunghezza 2.

Si ottiene l'argomento principale.

Esempio

z = λ arg() = ^π/₂, ^3π/₂, ±^π/₄ + 2k con k∈ℤ

argomento principale è ^3π/₂ se l'intervallo è [0, 2]

Dato z = a + ib

ʘsen()

ʘcos(θ)

√a²+b²

_cosθ = ^a/_√a²+b²

_senθ = ^b/_√a²+b²

= √(cosθ + i senθ)

Esempio

x = velocità a cui viaggia un’onda

y = ? z = y → trovare Θ

ω = ω · i

z_l = d_l · i · sen Θ + d · cos Θ · j

u’ sen Θ = w → D sen Θ = w → D

ℝ³

insieme delle terze ordinate (x, y, z)

P(a, b, c); r²

P = √(a - a)² + (b - b)² + (c - c)²

VERSORI

i (1,0,0), j (0,1,0), z (0,0,1)

COMBINAZIONI LINEARI

Consideriamo v₁, v₂, ..., v_k e scalari a₁, a₂, ..., a_k.

w = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_kw_k → si chiam combinazione lineare dei vettori v₁, ..., v_k con a₁, ..., a_k

Vettori sono indipendenti due se almeno una si può esprimere come combinaz. lineare degli altri; altrimenti sono lineari ^linear

Se a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_kv_k = 0 → a₁ = a₂ = ... = a_k = 0

Linearità

Consideriamo f V_a → V_b (spazi vettoriali). Si dice che f è una funzione lineare se ∀α ∈ k e ∀v₁, v₂ ∈ V si ha che:

f(α₁v₁ + α₂v₂) = α₁f(v₁) + α₂f(v₂)

Esempio:

g: R → R, se è lineare ⇒ g(x) = g(1·x) = 1·g(x) = αx

Le uniche funzioni lineari sono del tipo g(x) = αx

1) Affermo S_n = √(n+2) - √n

2) Verifico per n₀ = 1...per n≥n₀

3) Ipotesi che S_n = √(n+2) - √n e calcolando S_n+1

4) Concludo che lim S_n = lim √(n+1) - 1 = +∞ n → ∞ n → ∞

Criterio di Cauchy condizione suff. per la convergenza di una serie∀ε > 0, ∃N > 0, t.c.

|Σ_k=n+1^n+p a_k| < ε, ∀n≫N ∀p ∈ ℕ

Una successione converge <=> ∀ ε > 0, ∃ L > 0, t.c. ∀m,v, n ≫ ν in ℕè vero che |S_m - S_n| < ε

S_n - S_m = Σ_k=1^m a_k - Σ_k=1ⁿ a_k = Σ_k=n+1^m a_k dove m = n+p da qui la tesi.

Se le serie a_k, b_k sono regolari e se Σ a_k + Σ b_k ha significatoin ℝ = (ℝ ∪ ...) Σ (a_k + b_k) regolarek=1 k=1 k=1

es

converge

CRITERIO DEL RAPPORTO

Sia b_n una serie a termini positivi, se

• se <1 => serie diverge
• se >1 => b_n converge
• se =1 => non si sa

converge

esercizi

carattere, somma?

Serie telescopica (quando si possono cancellare termini)

S₁ = [1 - 1/2

S₂ = [1 - 1/2] + [1/2 - 1/3

S₃ = [1 - 1/2] + [1/2 - 1/3] + [1/3 - 1/4

S₄ = 1 + 1/4 - 1/5 + 1/5 - 1/6

S_n =

lim s_n = 3/2 => la serie converge al valore 3/2

1)

Teorema

Sia _fn una successione _fn : D -> R e I ⊆ D se:

• _fn continue su I
• _fn -> f unif.

=> f è continua su I.

Teorema 1b

Sia _fn una successione _fn : D -> R se:

• _fn limitate su I
• _fn -> f unif.

=> f è limitata su I.

2)

Teorema

passaggio al limite sotto il segno di integrale.

Sia _fn una successione _fn : D -> R e [a,b] ⊆ D se:

• _fn sono integrabili su [a,b]
• _fn -> f unif.

=> ∫_a^b f(x) dx = lim_n->∞ ∫_a^b f_n(x) dx = ∫_a^b lim_n->∞ f_n(x) dx.

3)

Teorema

passaggio al limite sotto il segno di derivata

Sia _fn successione _fn : D -> R se:

• _fn sono derivabili con derivata continua
• _fn -> f and. solo pun. su I
• _fn -> f unif. su I

=> f è derivabile con derivata continua e f'_n(x) = g(x).