Appunti delle lezioni di Matematica

ESISTE LA PROPRIETÀ DISSOCIATIVA?

Da un punto di vista matematico la proprietà dissociativa non esiste. D’Amore sostiene che la proprietà dissociativa non esiste perché anche scomponendo un numero, poi si utilizza la proprietà associativa. Es. 2+7 2+(3+4)= 2+7, quindi viene scomposto il 7, ma poi si utilizza la proprietà associativa perché al 2 posso aggiungere 3 e poi 4.

L’OPERAZIONE MOLTIPLICAZIONE IN N.

Il simbolo è x oppure .

Il processo per definire la moltiplicazione è analogo a quello usato per definire la somma a partire dalla funzione “s”. ∈∀n N, n x 0 = 0 x n = 0∈∀n, m N, m ≠ 0, si pone n x m = n+n+…+n (m volte)

PROPRIETÀ DELLA MOLTIPLICAZIONE

• n x (m x t) = (n x m) x t
• Proprietà associativa: n x 1 = n (Elemento neutro: 1 è l’elemento neutro)
• n x m = m x n (Proprietà commutativa)

distributiva del prodotto rispetto alla somma: n x (m + t) = (n x m) + (n x t)∈n, m, t N 36x24=______144+720=______86436 x 4 = 14436 x 20 = 72036 x (20 + 4) = (36 x 20) + (36 x 4)LE OPERAZIONI SU N: ELEVAZIONE A POTENZA∀n,m ∈ N, m diverso da 0, si pone n^m = n x n x ... x n (m volte)∀n,m,t ∈N t t t• (n x m ) = n x mprima proprietà:Appunti di matematica – prof. G. Gabellini | scienze della formazione primaria V 7(m+t) m t• n = n x nseconda proprietà:• (m x t) m tterza proprietà: n = (n )OPERAZIONI INVERSELe operazioni inverse dell’addizione e della moltiplicazione sono, rispettivamente, la sottrazione ela divisione. La sottrazione e la divisione non sempre sono eseguibili nell’insieme N. L’insieme N nonè chiuso rispetto alla sottrazione e divisione perché non sempre si ottiene un numero che appartieneall’insieme N. ∈∀n,SOTTRAZIONE: m N, si dice n-m (“n meno

“m”) quel numero naturale x, se esiste, che somma
ton-m = x n= m + x
a dia Cioè: equivale a: . Il numero x non sempre esiste, esiste se e solo se nm n.> m. L’operazione di sottrazione può essere eseguita in N solo su coppie (n,m) tali che n > m, ovveroil minuendo deve essere maggiore uguale al sottraendo.∈∀n,

DIVISIONE: m N, si dice n:m (“n diviso m”) quel numero naturale x, se esiste ed è unico, che
moltiplicato per m mi dia n. Cioè n:m = x equivale a dire n = m x x
Nei numeri naturali x non esiste sempre perché può esserci una divisione con il resto, quindi non un
numero solo, oppure da un numero decimale che non appartiene ai numeri naturali. x esiste se e∈ N tale che n = k x m. L’operazione di
solo se n è un multiplo di m. Esiste un numero generico k
divisione può essere eseguita in N solo su coppie (n, m) tali che n = km
Nessun numero si può dividere per 0 perché non

definizione.∈N∀ 0n – {0}: {n} = 1

Elevazione alla 0:Questo consente di conservare tutte le proprietà delle potenze. Però che senso ha dire n ripetutoQuesto è un artificio per far valere tutte le proprietà delle potenze, quindi perzero volte che fa uno? 0 0, non rappresenta nessun numero. 0 nonfarle valere sempre in ogni caso. Però non ha senso fare 0può essere fatto perché va in contraddizione con le altre proprietà.

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SUCCESSIONE DI OPERAZIONI IN N

Quando si hanno una serie di operazioni occorre decidere quale eseguire prima. Non è possibile chead una operazione corrispondono due risultati diversi, uno dei due è sbagliato.

Nella scrittura non esiste, dato che un calcolo corretto esige che tutto accada come100-59-9, 59-9se ci fossero le parentesi ovvero (100-59)-9. Quando ci sono le operazioni l’una di seguito

all'altra occorre seguire delle regole, quindi in un'espressione aritmetica senza parentesi, occorre seguire un ordine fissato:

1. per prime le elevazioni a potenza (se presenti)
2. poi moltiplicazioni e divisioni (nell'ordine da sinistra a destra)
3. addizioni e sottrazioni

Le operazioni incluse nelle parentesi tonde vanno eseguite per prime, nelle parentesi quadre per seconde e per ultime quelle nelle graffe. Nelle parentesi le operazioni vanno eseguite come sopraindicato. Quando all'interno di una parentesi si eseguono le operazioni e si ottiene un solo risultato, le parentesi vengono tolte.

POTENZE E CRITERI DI DIVISIBILITÀ

Per la scrittura del numero si può usare lo 0, l'1 e tutti i successori. Il nostro sistema di numerazione si basa sulle potenze del dieci.

La posizione delle cifre suggerisce il valore della cifra stessa, ogni cifra da sinistra a destra è una potenza del dieci.

Es. 3564 33–> 3000 3x1000–>3x10–> 25–> 500–> 2x100–> 5x10⁶

60 6x10 → → CRITERI DI DIVISIBILITÀ

Questa modalità di rappresentare i numeri in base dieci permette di vedere quando i numeri sono divisibili per 2, 3, 4…

Es. un numero è divisibile per 2 se è un numero pari, oppure quando si può dividere in due parti uguali, oppure quando è composto da tante coppie…

• divisibilità per 2: Un numero è divisibile per due quando lo è la sua ultima cifra. Se si scompone il numero in potenze di 10, il 10 è divisibile per 2, quindi tutta la parte del numero che è data da una potenza di 10 fino al 10 è divisibile per 2, il numero finale non è possibile moltiplicarlo per dieci perciò se è divisibile per 2, tutto il numero è divisibile per 2 perché tutte le altre cifre sono multipli di dieci.

Es. 3874 = 3x10 + 8x10 + 7x10 + 4 = è un numero pari, quindi tutto il numero è divisibile per 2

Multipli di 10, quindi

pari• divisibilità per 3: un numero è divisibile per 3 quando la somma delle cifre dà come risultato un numero divisibile per 3.

Es. 3874 3x10 + 8x10 + 7x10 + 4= =3(999+1) + 8 (99+1) + 7 (9+1) + 4=(proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma)3x999 + 8x99 +7x9 +3x1 +8x1 +7x1 + 4

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Divisibili per 3 3+8+7+4=22, si sommano quindi le cifre del numero iniziale; non è divisibile per 3

Questa scomposizione viene fatta per capire quando un numero è divisibile o meno per 3.

• divisibilità per 4: un numero è divisibile per 4 quando le ultime 2 cifre sono divisibili per 4.

3 2 16824= 6x10 + 8x10 + 2x10 + 4

1000 e 100 sono divisibili per 4

20+4 = 24 ed è divisibile per 4

• divisibilità per 5: un numero è divisibile per 5 quando la sua ultima cifra lo è.

3 2 13875 = 3x10 + 8x10 + 7x10 + 5 tutti

dopo aver esaurito tutti i numeri primi vuol dire che ne abbiamo trovato uno nuovo e così si continua all'infinito anche aggiungendo

Ma non può non essere un numero primo perché è il più grande dell'insieme dei numeri primi, q. q perciò questa contraddizione porta a dire che l'insieme dei numeri primi sono infiniti.

LEZIONE 7

IL CRIVELLO DI ERATOSTENE

Un quadrato dove sono scritti 100 numeri e, partendo dal 2, ci si chiede se è un numero primo e poi si eliminano tutti i multipli di 2. Poi di 3 e si va avanti. Non c'è un metodo per stabilire chi sono i

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