Appunti delle lezioni di Matematica

MATEMATICA

LEZIONE 1

Il termine matematica: sono inscritti due termini apprendere e comprendere. Gli allievi devono



apprendere e comprendere. In matematica bisogna non accettare più di di

non capire, non farsi

(da parte dell’insegnante).

capire È utile nella vita quotidiana, ma un bambino non riesce a cogliere un

A che serve la matematica?

senso vero, perciò intervengono atteggiamenti di rivolta.

Ritenere la matematica non utile per qualcosa ci si chiede a cosa serve si capisce che serve a



qualcosa

La matematica ha una grande rilevanza culturale, storica, sociale e formativa. La matematica serve

al cittadino per esercitare il suo diritto di cittadinanza.

Libro: “Matematica 2001” (online con proposte didattiche), è il frutto di un lavoro di riformulare le

indicazioni nazionali.

La matematica fa riferimento a idee che servono per costruire altre idee.

Uno dei più gravi errori che riguardano la matematica insegnata nelle classi è che l’insegnante

mostra di conoscere la risposta ad ogni problema che viene trattato. Questo dà allo studente l’idea

che esiste da qualche parte un libro con tutte le risposte esatte [vedi slide]

Le regole e i concetti hanno una fissità assoluta, perciò non se ne può parlare, sono regole date.

Queste regole vengono apprezzate o odiate perché si chiedono continuamente il perché di quelle

formule.

L’insegnamento della matematica non è inculcare regole, altrimenti sarebbe un gioco sterile. Le

regole vengono apprese, però non vengono utilizzate nel problema concreto.

Esiste un terzo modo di insegnare la matematica dove prof e allievi lavorano insieme sulla

matematica dove si impara a pensare attraverso le domande. In quest’ottica le grandi teorie

vengono ricostruite. Bisogna muoversi in saperi che generano nuove conoscenze.

LA MATEMATICA PER IL CITTADINO

Se vogliamo essere cittadini, ciò che ha costruito la nostra cultura dovrebbe diventare il nostro

bagaglio culturale. Se la matematica è in grado di mostrare i meccanismi della società (es. la

statistica), se questi saperi non sono posseduti viene a mancare una parte della popolazione perché

non riesce a esprimere il proprio diritto di cittadinanza.

Tullio de Mauro: chi è al servizio di un pubblico ha il dovere costituzionale di farsi capire.

Il minimo che dovremmo aspettarci è che tutti vincano la paura della matematica, imparassero ad

affrontare ogni questione con fiducia, debbano essere in grado di porsi domande, ma anche di porle

agli altri… Finire di insegnare la matematica come disciplina che abbia un’unica risposta corretta

con l’unico metodo corretto (quello insegnato dal professore).

La matematica è un fenomeno culturale che ha caratterizzato l’umanità dalle origini, consente di

esercitare il senso critico sulla realtà, intuizione, generalità… La cultura fa pensare anche alle

conquiste degli antenati: attraverso la mate si mettono in contatto gli allievi con l’esperienza di

civilizzazione degli antenati. L’insegnante deve mostrare che anche le cose banali hanno avuto un

lungo percorso di formazione.

[N(n+1)]/2 Appunti di matematica – prof. G. Gabellini | scienze della formazione primaria V 1

n n+1

Quadrato di un binomio: 2 2 2

= a +2ab+b

(a+b)

(a+b) vuol dire che costruisco un quadrato con il lato lungo a+b

2

a ab

2

ab b

LEZIONE 2

QUADRATO MAGICO

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Il quadrato magico DI ordine 4 è il quadrato di Giove e si credeva che portasse fortuna, proteggesse

dai pericoli mortali, aiutasse a vincere nei processi e propiziasse ricchezza ed onori a chi lo indossa.

Prendendo solo gli angoli esterni, i numeri centrali, presi 4 a 4… danno sempre come somma 34, la

costante “magica”.

TEORIA INGENUA DEI SISTEMI

Il concetto di insieme è sempre stato utilizzato dall’uomo, ma solo ne 900 vene realizzata un

assioma. La prima trattazione sistematica è dovuta da Cantor che definì l’insieme: “un insieme è

una qualunque connessione di oggetti della nostra intuizione o del nostro pensiero. Gli oggetti, detti

elementi dell’insieme, devono essere distinguibili e ben determinati.” Gli elementi possono essere

un oggetto, un sentimento…, se li penso raccolti in un insieme costituiscono un insieme perché sono

Appunti di matematica – prof. G. Gabellini | scienze della formazione primaria V 2

determinati e distinguibili. Questa definizione, però, ha creato delle contraddizioni, per questo

definita ingenua. Russell vide che questa teoria non poteva essere affermata sul piano logico.

Nel linguaggio comune insieme vuol dire gruppo, agglomerato; nel linguaggio matematico: “un

insieme sta a indicare una famiglia A di oggetti che possiedono […]” Questa definizione lascia

pensare che un insieme matematico abbia oggetti che hanno qualcosa in comune. In matematica

un insieme indica un atto della mente, un pensiero, con il quale associamo dei determinati elementi

e pensiamo a questi elementi come inseriti in un tutto unico.

Per individuare un insieme bisogna indicare gli elementi che appartengono a questo insieme. Per

individuare un insieme ci sono 2 modalità:

1. Dare l’elenco completo dei suoi elementi Es. A= {martedì, mercoledì}



Definirlo tramite una proprietà P, dove l’insieme è costituito da elementi che posseggono quella

2. proprietà (scriveremo P(x) per dire che “l’elemento x ha la proprietà P”). A={x|x è un giorno



della settimana che inizia per ( | “tale che” )

m}. 

Gli insiemi sono indicati con la lettera maiuscola.

Insieme che non contiene alcun elemento è detto insieme vuoto si indica con Ø. ϵ

Se abbiamo che è un elemento dell’insieme A, diremo che appartiene all’insieme A . Se



a a a

ϵ

non appartiene all’insieme A  с

B è un sottoinsieme di A vuol dire che B è incluso in A 

Per ogni (∀) elemento x, se l’elemento x appartiene a B allora x appartiene a B (significato

dell’inclusione). L’insieme vuoto è sottoinsieme di ogni altro insieme. Qualunque sia l’insieme A si

avrà sempre che l’insieme vuoto è un sottoinsieme A.

LEZIONE 3

INTERSEZIONE ∩

L’intersezione è costituita dalle studentesse che hanno studiato l’inglese e il francese. 

L’unione è costituita da coloro che stanno nell’insieme A oppure nell’insieme B. L’unione è tale che

x appartiene ad A oppure appartiene a B. U



La sottrazione o differenza: la differenza è costituita da colore che appartengono all’insieme A ma

non all’insieme B. \ (A\B)



Prodotto cartesiano: il prodotto cartesiano è costituito da tutte le coppie ordinate di elementi, il

primo dei quali sta in A ed il secondo in B x



Il prodotto cartesiano non è commutativo.

A = {Arno, Po, Tevere}

B = {Firenze, Pisa, Torino}

AxB = {(Arno, Firenze); (Arno, Pisa); (Arno, Torino); (Po, Firenze); (Po, Pisa); (Po, Torino); (Tevere;

Firenze); (Tevere, Pisa); (Tevere, Torino)}

Quando pensiamo a divisione pensiamo a tutte parti uguali; invece la partizione avviene secondo

criteri che noi ci diamo. La partizione (\) di un insieme A una sua suddivisione in sottoinsiemi, detti

classi, fatta in modo che valgono le due proprietà seguenti:

• l’unione di tutti questi sottoinsiemi copre tutto A

• non ci sono elementi comuni a due o più classi.

Appunti di matematica – prof. G. Gabellini | scienze della formazione primaria V 3

Quando si ha un insieme e una partizione, si può considerare un nuovo insieme, i cui elementi siano

le classi della partizione; tale insieme viene detto insieme quoziente (dell’insieme di partenza

rispetto alla partizione data).

INSIEMI NUMERICI

N= NATURALI (positivi e interi)

Z= INTERI (negativi e interi)

Q = IRRAZIONALI (negativi, frazioni, decimali…)

R= REALI (radice, π…)  da non fare

N Z Q R

FUNZIONI

Dati due insiemi A e B, si dice “funzione da A a B” una legge che ad ogni elemento dell’insieme A

associa uno ed un solo elemento dell’insieme di B. in genere le funzioni si indicano con una lettera

minuscola; per indicare che è una funzione da A a B si scriverà: A B

f f:

Valore di x F Valore di f (x) Simbologia

x x+2 f(x)= x+2



0 0+2 f(x)=2



3 3+2 f(x)=5



6 6+2 f(x)= 8



La funzione è una legge matematica che associa a un numero, che è il valore della variabile

indipendente, un altro numero che è il valore della funzione. La legge matematica deve essere

univoca, quindi associare un solo elemento. Conoscendo il valore della funzione, possiamo attribuire

alla variabile indipendente x un numero a piacere.

Nulla vieta che una funzione porti 2 elementi di A nello stesso elemento di B.

Funzione biunivoca : se ogni elemento di B proviene da uno e un solo elemento di A.



f: A B

Se pensiamo a una funzione dentro N, f(n) = n+1 non è possibile perché lo 0 non ha corrispondenza,

mentre se la stessa funzione si usa nell’insieme Z funziona perché ogni elemento di B ha un

corrispondente in A.

OPERAZIONI E STRUTTURE ALGEBRICHE

Le strutture algebriche sono rappresentazioni in cui viene indicato che l’insieme è dotato di

particolari operazioni.

Es. in N la divisione non si può fare, mentre addizione e moltiplicazione si.

Appunti di matematica – prof. G. Gabellini | scienze della formazione primaria V 4

Strutture algebriche: (N,+), (Z,+); (Q;+)…

Non sono strutture algebriche: (N, : ), (Z;: ) (Q, : ) non si può fare diviso 0 …



LEZIONE 4

I NUMERI NATURALI

• Conoscere la struttura

• Proprietà delle operazioni che con questi numeri si effettuano

• Conoscere i numeri primi

• Saper calcolare mcm MCD

Il concetto di numero si è formato sin dalla preistoria e con l’invenzione della scrittura si è andata

raffinando attraverso i numerali (il nome dei simboli) e i simboli per rappresentarla. Il bambino,

quando si avvicina all’apprendimento del numero, il problema è duplice perché deve riconoscere il

segno e la scrittura.

La filosofia ha cercato di definire il numero naturale, ma si sono dimostrati fallimentari. Euclide: il

(tautologia

numero è la moltitudine composta da unità. Unità è ciò per cui ogni cosa è detta uno

perché definisco l’unità con se stessa). Spesso si andava a ricadere su una definizione dove si usava

una parola per definire se stessa.

Oggi la matematica si interessa delle relazioni tra i numeri naturali.

LO STUDIO DEI NUMERI NATURALI

GIUSEPPE PEANO ha dato una definizione assiomatica dell’aritmetica ed è quella a cui i matematici

si rivolgono con più attenzione.

I concetti che in una descrizione assiomatica vengono assunti senza definizione si dicono primitivi,

ovvero questi concetti sono dati per intesi. Da questi termini primitivi, derivano proposizioni che

e vengono assunti senza dimostrazione. Non si possono

vengono definiti assiomi o postulati

dimostrare tutte le proposizioni perché un concetto spiegato ha sempre bisogno di ulteriori termini

e, quindi, di ulteriori spiegazioni perché, spiegando il concetto iniziale, vengono utilizzati altri termini

che hanno bisogno di altre definizioni.

Inoltre, cercando di definire il si ritorna sempre in A (circolo vizioso), oppure si ha un

concetto A

processo di risalita (regresso all’infinito). Peano afferma che nel processo di risalita occorre fermarsi

scegliendo uno o più concetti senza definirli e utilizzandoli per definire altri concetti.

ASSIOMI DI PEANO

Sono 5:

• 0∈N

0 è un numero naturale: ∀n∈N, ∈N

• s(n)

Il successore di ogni numero naturale è un (unico) numero naturale:

• perché l’insieme N non prevede i numeri negativi:

0 non è il successore di alcun numero naturale,

∀n∈N, s(n) ≠ 0 ∀n, ∈N,

• m se n ≠ m allora s(n) ≠ s(m)

Numeri diversi hanno successori diversi

• Principio di induzione: se un insieme di numeri naturali contiene lo zero ed il successore di ogni

suo elemento, allora esso coincide con l’intero insieme dei numeri naturali.

1. 0∈A ∈

2. Se n∈A, allora s(n) A

3. Si ha che A=N (A coincide con N)

es. P(n): un numero naturale maggiore o uguale a 0

Appunti di matematica – prof. G. Gabellini | scienze della formazione primaria V 5

∈

∀n N, n > 0

∈

E n N, n+6 =11

Esiste almeno un elemento n che appartiene all’insieme N che sommato a 6 dà 11.

s(n) = successore

I 5 assiomi di Peano dimostrano la struttura dell’insieme N. L’insieme può essere immaginato come

una catena lineare che possiede un elemento iniziale di elementi successivi come fossero “tacche”

incise su un bastone.

EFFETTI DERIVANTI DA OGNI SINGOLO ASSIOMA

• 0∈N

N non è un insieme vuoto perché almeno contiene lo zero.

∀n∈N, ∈N

• s(n)

Il termine successore è una funzione da N in N (s: NN) è come se scorressimo su un bastone

da una tacca alla successiva.

∀n∈N,

• s(n) ≠ 0

In questa formulazione la posizione dello zero ci dice che è il primo elemento dell’insieme, ma

non è l’unico perché il successore di n è diverso da zero, quindi ci sarà lo zero e un altro

elemento. Ciò implica che la struttura di N non è infinita a “destra e a sinistra”

È infinito solo “a destra”

Esclude anche che la struttura di N sia ciclica perché lo zero sarebbe successore di x

• Esclude che la funzione “successore” porti due diversi elementi nell’elemento x come successore

degli stessi.

• Quest’assioma impedisce di affermare che N possa essere una struttura sconnessa composta da

più pezzi come se N = A U B

Copiare slide e quadernino

LEZIONE 5

LA RELAZIONE D’ORDINE

Un’operazione è una funzione che a una coppia di elementi di A si associa un altro elemento di A. le

operazioni possono essere fatte solo tra coppie.

L’operazione di somma in N è una funzione che a una coppia di numeri naturali associa un numero

naturale: es. alla coppia di numeri naturali (2,3) associo il numero naturale 5. L’operazione del

simbolo somma in N ha il simbolo +. Aggiungere stralci di storia rende più curiosa la matematica nei

bambini. I latini per indicare la somma utilizzavano la parola poi con il tempo si è trasformato in

et,

+.

Se la coppia di numeri da sommare è (3,2)

Si ha che:

2= s(s(0))

e 3+2 = s(s(s(2))

PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI SOMMA SU N

Appunti di matematica – prof. G. Gabellini | scienze della formazione primaria V 6

Le proprietà vengono studiate intorno alla terza elementare, ma le proprietà vengono utilizzate

anche in maniera autonoma. I bambini si muovono sulle proprietà e bisognerebbe rifletterci in

maniera metacognitiva facendo comprendere il ragionamento adottato.

• n+(m+t) = (n+m)+t

Proprietà associativa:

• n+0=n,

Elemento neutro: quindi 0 è l’elemento neutro

• n+m=m+n

Proprietà commutativa:

∈

n, m, t N

ESISTE LA PROPRIETÀ DISSOCIATIVA?

Da un punto di vista matematico la proprietà dissociativa non esiste. D’Amore sostiene che la

proprietà dissociativa non esiste perché anche scomponendo un numero, poi si utilizza la proprietà

associativa. Es. 2+7 2+(3+4)= 2+7, quindi viene scomposto il 7, ma poi si utilizza la proprietà



associativa perché al 2 posso aggiungere 3 e poi 4.

L’OPERAZIONE MOLTIPLICAZIONE IN N

.

Il simbolo è x oppure .

Il processo per definire la moltiplicazione è analogo a quello usato per definire la somma a partire

dalla funzione “s”. ∈

∀n N, n x 0 = 0 x n = 0

∈

∀n, m N, m ≠ 0, si pone n x m = n+n+…+n (m volte)

PROPRIETÀ DELLA MOLTIPLICAZIONE

• n x (m x t) = (n x m) x t

Proprietà associativa:

• n x 1 = n

Elemento neutro: , quindi 1 è l’elemento neutro

• n x m = m x n

Proprietà commutativa:

• Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: n x (m + t) = (n x m) + (n x t)

∈

n, m, t N 36x

24=

______

144+

720=

______

864

36 x 4 = 144

36 x 20 = 720

36 x (20 + 4) = (36 x 20) + (36 x 4)

LE OPERAZIONI SU N: ELEVAZIONE A POTENZA

∀n,m ∈ N, m diverso da 0, si pone n^m = n x n x ... x n (m volte)

∀n,m,t ∈N t t t

• (n x m ) = n x m

prima proprietà:

Appunti di matematica – prof. G. Gabellini | scienze della formazione primaria V 7

(m+t) m t

• n = n x n

seconda proprietà:

• (m x t) m t

terza proprietà: n = (n )

OPERAZIONI INVERSE

Le operazioni inverse dell’addizione e della moltiplicazione sono, rispettivamente, la sottrazione e

la divisione. La sottrazione e la divisione non sempre sono eseguibili nell’insieme N. L’insieme N non

è chiuso rispetto alla sottrazione e divisione perché non sempre si ottiene un numero che appartiene

all’insieme N. ∈

∀n,

SOTTRAZIONE: m N, si dice n-m (“n meno m”) quel numero naturale x, se esiste, che sommato

n-m = x n= m + x

a dia Cioè: equivale a: . Il numero x non sempre esiste, esiste se e solo se n

m n.

> m. L’oper