Appunti del corso di Matematica di base e didattica della matematica, docente G. Gerla

MATEMATICA DI BASE E DIDATTICA DELLA

MATEMATICA

SOMMARIO

Aritmetica ...................................................................................................................................................................... 5

Concetto di numero come parola, cardinale e ordinale ................................................................................................. 5

cardinale

L'aspetto dei numeri naturali ..................................................................................................................... 5

ordinale

Approccio ..................................................................................................................................................... 5

Parole-numero ................................................................................................................................................................ 5

Secondo Fuson ............................................................................................................................................................ 5

Concetto di numero ........................................................................................................................................................ 5

Numeri primi. Numeri triangolari, numeri quadrati, numeri rettangolari...................................................................... 5

Numeri primi/primi assoluti ....................................................................................................................................... 5

Numeri Poligonali ....................................................................................................................................................... 6

Numeri naturali ℕ ...................................................................................................................................................... 6

Addizione (o somma) ...................................................................................................................................................... 6

proprietà ..................................................................................................................................................................... 6

Moltiplicazione (o prodotto) ........................................................................................................................................... 6

proprietà ..................................................................................................................................................................... 6

Multiplo di un numero .................................................................................................................................................... 7

Proprietà ..................................................................................................................................................................... 7

Sottrazione ...................................................................................................................................................................... 7

Divisione ......................................................................................................................................................................... 8

Divisione esatta e con resto ........................................................................................................................................ 8

Fattorizzazione ................................................................................................................................................................ 8

Criteri di divisibilità ..................................................................................................................................................... 8

Massimo comune divisore (M.C.D.) ................................................................................................................................ 9

Numeri primi tra loro .................................................................................................................................................. 9

minimo comune multiplo ............................................................................................................................................... 9

Unità, decine e centinaia ........................................................................................................................................ 9

Notazione posizionale dei numeri naturali in base 10 .................................................................................................... 9

Rappresentazione dei numeri in basi diverse da 10 ....................................................................................................... 9

Conversione da base 10 a base b. ............................................................................................................................... 9

Conversione da base b a base 10. ............................................................................................................................. 10

Numeri interi o relativi ℤ ...................................................................................................................................... 10

Numeri reali ℝ ........................................................................................................................................................... 10

Numeri razionali ℚ .................................................................................................................................................. 10

Frazioni ......................................................................................................................................................................... 10

Spiegate ai bambini .................................................................................................................................................. 10

Frazioni proprie, improprie e apparenti ................................................................................................................... 11

Riduzione a forma normale ...................................................................................................................................... 11

Riduzione allo stesso denominatore ....................................................................................................................... 11

Frazioni equivalenti ................................................................................................................................................... 11

Confronto tra razionali.............................................................................................................................................. 12

Rappresentazione su una retta ................................................................................................................................. 13

Dividere per 10, 100, 1000. Decimi, centesimi, millesimi ......................................................................................... 13

Operazioni in ......................................................................................................................................................... 13

ℚ

Frazioni decimali ....................................................................................................................................................... 13

Trasformare un numero decimale in frazione .......................................................................................................... 14

FRAZIONI ORDINARIE .......................................................................................................................................... 14

Numeri irrazionali .................................................................................................................................................... 15

Logica ............................................................................................................................................................................. 15

Concetto di insieme ...................................................................................................................................................... 15

Insiemi finiti ed infiniti. ............................................................................................................................................. 15

Rappresentare gli insiemi ......................................................................................................................................... 15

Sottoinsiemi

I ........................................................................................................................................................ 16

⊆ L’insieme vuoto ..................................................................................................................................................... 16

∅ L’insieme delle parti ....................................................................................................................................... 16

()

Operazioni tra insiemi ............................................................................................................................................... 16

Relazioni ........................................................................................................................................................................ 18

Relazioni binarie in un insieme ............................................................................................................................. 18

ℛ

Proprietà delle relazioni ............................................................................................................................................ 18

Le Relazioni d’ordine................................................................................................................................................. 19

equivalenza

Relazioni di ........................................................................................................................................... 19

Funzioni......................................................................................................................................................................... 20

Dominio e Codominio di una corrispondenza .......................................................................................................... 20

Funzioni suriettive .................................................................................................................................................... 20

Funzioni iniettive ...................................................................................................................................................... 20

Funzioni Biiettive ..................................................................................................................................... 20

: ↔ .

Rappresentazioni grafiche di una funzione .............................................................................................................. 21

Cardinalità di un insieme .......................................................................................................................................... 21

Concetto di equipotenza........................................................................................................................................... 22

Insiemi uguali ............................................................................................................................................................ 22

Proposizioni ................................................................................................................................................................ 22

Sintassi e semantica ...................................................................................................................................................... 22

Proposizioni e verità ..................................................................................................................................................... 22

Logica binaria: ........................................................................................................................................................... 22

A B

e La congiunzione ............................................................................................................................................... 22

A B

o la disgiunzione ................................................................................................................................................. 23

non La negazione ...................................................................................................................................................... 23

Le proposizioni equivalenti ....................................................................................................................................... 23

L’Implicazione ................................................................................................................................................... 23

⇒

Condizioni necessarie e condizioni sufficienti .......................................................................................................... 24

L’uso delle tavole di verità ........................................................................................................................................ 24

La contronominale di un’implicazione ........................................................................................... 24

⇒

L’inversa di un’implicazione .......................................................................................................................... 24

⇒ La doppia implicazione ................................................................................................................................ 24

⇔

Simboli e parentesi ....................................................................................................................................................... 25

Simboli ...................................................................................................................................................................... 25

Le proprietà dei connettivi ........................................................................................................................................... 25

Tautologia ................................................................................................................................................................. 25

Contraddizione ......................................................................................................................................................... 25

Variabile logica .......................................................................................................................................................... 25

Valore di verità ......................................................................................................................................................... 25

Tavole di verità ......................................................................................................................................................... 25

I predicati ...................................................................................................................................................................... 26

Le formule aperte ......................................................................................................................................................... 26

La Dimostrazione ...................................................................................................................................................... 26

Ragionamento Induttivo (MODUS PONENS) ................................................................................................................ 26

Ragionamento Deduttivo (MODUS TOLLENS) .............................................................................................................. 26

Sillogismi ....................................................................................................................................................................... 26

Probabilità ................................................................................................................................................................... 27

Eventi ............................................................................................................................................................................ 27

La definizione di probabilità di un evento ................................................................................................................ 27

Eventi definiti da proposizioni composte ................................................................................................................. 27

Eventi indipendenti ................................................................................................................................................... 28

Eventi dipendenti ...................................................................................................................................................... 29

Modelli dell’urna ........................................................................................................................................................... 29

Estrazioni con reimmissione ..................................................................................................................................... 29

Estrazioni senza reimmissione .................................................................................................................................. 29

La probabilità condizionata ......................................................................................................................... 29

probBA

Gli eventi e l’informazione ........................................................................................................................................ 29

Didattica della matematica .................................................................................................................................. 29

Contratto didattico ....................................................................................................................................................... 29

Problema assurdo ..................................................................................................................................................... 30

Altri problemi .............................