Esame Didattica della matematica - Prof Muratori - Appunti presi alle lezioni

Didattica della matematica

Le Indicazioni Nazionali per il Curriculum (2012): premesse

• Oggi l’apprendimento scolastico è solo una delle tante esperienze di formazione che i bambini e gli adolescenti vivono e per acquisire competenze specifiche spesso non vi è bisogno dei contesti scolastici. Dobbiamo stare attenti a quello che proponiamo agli studenti, cercando di connetterlo il più possibile con il loro mondo extrascuola; se prima la scuola era l’unica agenzia formativa che dava quasi tutti gli strumenti per la vita lavorativa e sociale, oggi le esperienze extracurricolari degli studenti sono aumentate e le opportunità formative sono tante.
• La scuola non ha più il monopolio delle informazioni e dei modi di apprendere.
• La scuola ha il compito di fornire supporti adeguati affinché ogni persona sviluppi un’identità consapevole e aperta.
• Le tecniche e le competenze diventano obsolete nel volgere di pochi anni. Per questo l’obiettivo della scuola non può essere soprattutto quello di inseguire lo sviluppo di singole tecniche e competenze; piuttosto è quello di formare saldamente ogni persona sul piano cognitivo e culturale, affinché possa affrontare positivamente l’incertezza e la mutevolezza degli scenari sociali e professionali, presenti e futuri. Le trasmissioni standardizzate e normative delle conoscenze, che comunicano contenuti invarianti pensati per individui medi, non sono più adeguate. Al contrario la scuola è chiamata a realizzare percorsi formativi sempre più rispondenti alle inclinazioni personali degli studenti, nella prospettiva di valorizzare gli aspetti peculiari della personalità di ognuno. Ma la matematica, che ha questa “rigidità” di trasmissione, è sempre uguale, non può essere stravolta più di tanto, come la insegno se le trasmissioni standardizzate e normative non sono più adeguate? Anche la matematica dovrebbe valorizzare gli aspetti peculiari della personalità di ognuno: anche mediante la matematica bisogna raggiungere tutti gli studenti; quindi non posso prendere un metodo e applicarlo in toto, pensando che sia l’unico adeguato.
• La scuola deve far sì che gli studenti acquisiscano strumenti di pensiero necessari per apprendere a selezionare le informazioni favorendo l’autonomia di pensiero degli studenti ed evitando che la differenza si trasformi in disuguaglianza. Se io do a tutti la stessa base di partenza, stesso meccanismo identico per tutti, qualcuno riuscirà e qualcuno no. Se io considero che ogni alunno ha una propria peculiarità e quindi necessita di strumenti specifici e adeguati al suo canale comunicativo, stile di apprendimento, allora ciascuno riuscirà. Nella didattica della matematica non c’è un metodo che funziona per tutti, ma l’idea è che ci sono metodi più adatti per qualcuno e meno per altri, strumenti specifici per trattare le difficoltà di ciascuno. Se vediamo che il bambino non riesce:
  • O si fa fare una diagnosi al bambino per comprendere se ha un disturbo specifico dell’apprendimento, ma in realtà solo il 2% dei bambini che vengono individuati come DSA sono realmente discalculici;
  • O ci mettiamo in discussione come insegnanti, bisogna esseri certi di aver fatto tutto, quello che è nelle nostre possibilità per verificare che non si tratta di un disturbo ma di una difficoltà, come cambiare la strategia di lavoro, il metodo.
• Le finalità della scuola devono essere definite a partire dalla persona che apprende, con l’originalità del suo percorso individuale e le aperture offerte dalla rete di relazioni che la legano alla famiglia e agli ambienti sociali.
• Allo stesso tempo fondamentale è la cura della formazione della classe come gruppo, la promozione dei legami cooperativi fra i suoi componenti.
• La scuola persegue una doppia linea formativa: verticale, esprime l’esigenza di impostare una formazione che possa continuare lungo l’intero arco della vita, e orizzontale, indica la necessità di un’attenta collaborazione fra la scuola e gli attori extrascolastici con funzioni a vario titolo educative: la famiglia in primo luogo.
• La scuola fornisce le chiavi per apprendere ad apprendere. Una delle più grandi chiavi per apprendere ad apprendere è della matematica, ossia la risoluzione dei problemi fa questo.
• Le relazioni fra il microcosmo personale e il macrocosmo dell’umanità e del pianeta oggi devono essere intese in un duplice senso. Da un lato tutto ciò che accade nel mondo influenza la vita di ogni persona; dall’altro ogni persona tiene nelle sue stesse mani una responsabilità unica e singolare nei confronti del futuro dell’umanità.
• In tale prospettiva la scuola potrà perseguire alcuni obiettivi oggi prioritari:
  • Insegnare a ricomporre i grandi oggetti della conoscenza, l’universo, il pianeta, la natura, la vita, l’umanità…, in una prospettiva complessa, volta a superare la frammentazione delle discipline. Quindi ancorare la matematica con qualcos’altro per riuscire a renderla armonica, es. partire dalla sezione aurea per indagare aspetti della biologia.
  • Promuovere la capacità di cogliere gli aspetti essenziali dei problemi.
  • Diffondere la consapevolezza che i grandi problemi dell’attuale condizione umana possono essere affrontati e risolti attraverso una stretta collaborazione non solo fra le nazioni ma anche fra le discipline e fra le culture. La matematica è un linguaggio universale; spesso gli alunni stranieri fanno meno difficoltà a imparare la matematica perché non per forza si deve sapere la lingua italiana per fare matematica, è molto più intuitiva, si gioca con i simboli...

Quando si pensa ai ricordi che si hanno della matematica, questi sono sempre legati a:

• L’insegnante o metodo, infatti entrambi possono aver allontanato o avvicinato alla matematica: ma come non fare odiare la matematica e come non fare avere paura della matematica?
• Le tappe evolutive, ovvero ai vari ordini di scuola.

Le Indicazioni Nazionali per il Curriculum (2012): matematica

• La matematica dà strumenti per la descrizione scientifica del mondo e per affrontare problemi utili nella vita quotidiana.
• In matematica è elemento fondamentale il laboratorio, inteso sia come luogo fisico sia come momento in cui l’alunno è attivo, formula le proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta e sperimenta, discute e argomenta le proprie scelte, impara a raccogliere dati, negozia e costruisce significati, porta a conclusioni temporanee e a nuove aperture la costruzione delle conoscenze personali e collettive. Il momento di confronto è fondamentale: argomentare, riflettere insieme, trovare diverse strategie per arrivare alla risposta, scambiare le idee, mettersi in gioco, anche il bambino più timoroso di farlo, sa che la sua idea verrà presa in considerazione. Io insegnante devo ammettere una pluralità di risposte e metodi, anche se diversi da quelli che ipotizzo: di fronte a una risposta diversa da quella che ci si immagina occorre chiedersi perché si è arrivati a pensare quella risposta, si può creare un momento di discussione su una risoluzione di un quesito, di un problema.
• Nella scuola primaria si potrà utilizzare il gioco.
• La costruzione del pensiero matematico è un processo lungo e progressivo, nel quale concetti, abilità, competenze e atteggiamenti vengono ritrovati, intrecciati, consolidati e sviluppati a più riprese. Questo il motivo per cui la matematica a volte può essere frustrante, nonostante al tempo stesso sapere che ogni tappa ha un suo prima e un suo dopo dà sicurezza.
• Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione dei problemi, che devono essere intesi come questioni autentiche e significative, legate alla vita quotidiana e non solo esercizi a carattere ripetitivo e quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando una definizione o una regola.
• Di estrema importanza è lo sviluppo di un’adeguata visione della matematica, non ridotta a un insieme di regole da memorizzare e applicare ma riconosciuta e apprezzata come contesto per affrontare e porsi problemi significativi e per esplorare e percepire relazioni e strutture che si ritrovano e ricorrono in natura e nelle creazioni dell’uomo. I problemi andrebbero unicamente riferiti alla vita quotidiana dei bambini, direttamente sperimentabili da loro.

Difficoltà in matematica. Osservare, interpretare, intervenire

Osservare, interpretare e intervenire sono parole che hanno una sequenzialità. Non posso intervenire né ipotizzare un intervento di recupero per quegli alunni che hanno più difficoltà o una incomprensione in un qualche argomento se prima non ho né osservato né interpretato, quindi riflettuto sull’errore/difficoltà che è venuta fuori più volte ma non riesco a capire da cosa sia dovuta. Solo dopo aver fatto gli step dell’osservazione e dell’interpretazione, che sono alla base, allora posso intervenire.

• L’intervento a priori, standardizzato di recupero non funziona, perché non posso pensare di buttare lì un intervento di recupero se non so perché è stato fatto un errore, in quale fase è stato fatto, se dietro ci sono o meno delle misconcezioni sull’argomento.

Capitolo 1: difficoltà in matematica

Tale testo viene dal libro “L’insegnamento come attività sovversiva” di Neil Postman e Charles Weingartner (1969).

Consiste nell’ultima parte di un colloquio immaginario in cui gli autori fanno un parallelo fra la pratica medica e l’insegnamento e, attraverso varie tipologie di medici presentano varie tipologie di insegnanti.

Tale brano non è banale. Ci fa riflettere sul fatto che, come una volta si pensava che la penicillina fosse la panacea di tutti i mali, non esiste una penicillina per le difficoltà in matematica e per gli “intoppi” che trovano i nostri bambini nel procedere. Quindi non esiste un metodo o un’unica soluzione che possa andar bene per risolvere tutti i problemi che hanno i nostri alunni con difficoltà in matematica; dobbiamo uscire dall’idea che vi sia una chiave che risolve tutte le “malattie” dei nostri alunni.

L’insegnamento è visto come attività sovversiva in quanto cambia, cioè sovverte il modo di guardare il mondo dell’allievo. Questo cambiamento può essere più o meno importante, più o meno generale ma c’è senz’altro, se l’insegnamento ha avuto successo: un insegnamento che non cambia niente nell’allievo è come se non ci fosse stato.

• Sovverte è una parola che potrebbe avere un significato negativo, perché sembra che sia “ribelle alle norme di comportamento”, ma occorre rivalutare tale parola in senso positivo: il cambiamento/sovversione nel modo di guardare il mondo dell’allievo è la nostra missione, sarebbe bello poter sovvertire l’idea che si ha della matematica o anche solo di un concetto, quindi spingere l’alunno a convincersi che quella cosa non è così difficile da non poterla raggiungere; si tratta di sovversiva come capacità di cambiare il più possibile una concezione sbagliata o negativa.

Nel dialogo si parla di penicillina e cattivi pazienti, che sono un’efficace metafora di un tipo di intervento di recupero molto diffuso in contesto scolastico, e non solo per la matematica: “ho spiegato, rispiegato… ma con certi studenti non c’è niente da fare. Inutile preoccuparsi”. Potrebbero esserci delle difficoltà alla base che nascondono un DSA, ma in realtà la quantità dei discalculici reali in matematica reali è molto bassa: sono più delle difficoltà che, consolidate nel tempo, portano a un rifiuto totale e a un abbandono nel fatto che si possa apprendere la matematica.

Spesso dopo le lezioni, specialmente di matematica, rimangono studenti che sembrano non aver compreso fino in fondo le nostre parole o che poi cadono negli esercizi.

L’attenzione circoscritta alla disciplina e la convinzione che insegnare significhi spiegare portano a sottovalutare la relazione allievo/matematica e a banalizzare il problema del recupero, quando dovrebbe essere uno dei punti chiave.

• “Ma se lo studente sbaglia lei cosa fa? Spiego un’altra volta così capisce”. Ma insegnare non significa solo trasmettere un pacchetto di conoscenze agli alunni, la cosiddetta trasposizione dei saperi: si prende il sapere matematico, difficile e astratto, e si trova il modo per trasmetterlo agli alunni.

Inoltre anche la lezione didattica più riuscita lascia una vaga sensazione di disagio, perché sembra che siano sempre i bravi a trarne vantaggio. È una contraddizione profonda, un’antinomia: “Riesco ad insegnare qualcosa soltanto a quelli che imparerebbero anche da soli. E non riesco ad incidere su quelli che veramente avrebbero bisogno di me”.

• L’antinomia è una convinzione che nasce dal processo di interpretazione dell’esperienza e nella sua formazione ha un ruolo il ripetuto fallimento degli interventi diretti proprio al superamento del problema che denuncia, tali interventi rendono più evidente il problema originario: la ripetizione di argomenti, la correzione degli errori, la messa in guardia da errori tipici aumentano la forbice fra allievi con difficoltà in matematica e i “bravi”.

L’antinomia degli insegnanti non colpisce né gli insegnanti a inizio carriera, né i futuri insegnanti, i quali sono colpiti da altre sindromi come la mancanza di consapevolezza della problematicità dell’insegnamento.

Quali difficoltà?

Per pianificare un intervento di recupero è necessario chiarire chi o che cosa o quando si intende recuperare: è necessario definire che cosa si intende per difficoltà.

La parola difficoltà è molto usata ma può evocare tante realtà diverse, o tanti modi diversi di guardare la stessa realtà.

• Allievo con difficoltà: l’attenzione è rivolta alle difficoltà dell’allievo e, nell’esplicitare la natura di tali difficoltà, si riconoscono diverse categorie che rimandano alle loro cause, quali deficit sensoriali o psichici, deprivazione socio-culturale; ad esempio l’allievo con difficoltà potrebbe avere la classificazione di BES.
• Difficoltà della matematica: si fa riferimento alle caratteristiche specifiche della disciplina: l’astrazione, il linguaggio specifico o anche solo specifici argomenti/concetti.
• Difficoltà di un allievo in matematica: si coinvolgono sia l’allievo che la matematica, quindi si fa riferimento alla relazione tra allievo e disciplina; qui si sottolinea il ruolo dell’insegnante di matematica.

Sono 3 punti di vista diversi da cui guardare il problema. Se io guardo l’allievo con difficoltà e le difficoltà di un allievo in matematica c’è una differenza: nel primo caso la difficoltà potrebbe essere generica, non solo in matematica ma anche ad esempio nella comprensione del testo scritto o orale, quindi una difficoltà generalizzata che può essere legata a un momento particolarmente difficile della vita del bambino, potendo essere i BES temporanei, nel secondo caso la difficoltà è specifica in matematica e quindi bisogna capire come poter ovviare a questa cosa.

Allievo, matematica e insegnante sono i tre poli che costituiscono il triangolo delle situazioni di insegnamento. Il focus dell’insegnante di matematica è proprio nella relazione tra i tre elementi dell’allievo, della matematica e dell’insegnante. Quando si parla di difficoltà in matematica, tali elementi sono in stretta relazione: non c’è un elemento che ha maggior peso rispetto agli altri ma potrebbero esserci delle sfumature leggere, es. posso essere io insegnante a non aver trovato la chiave giusta per avvicinare l’allievo alla matematica; può essere la relazione allievo-insegnante che non è buona, quindi l’allievo non riesce ad avvicinarsi alla disciplina.

Esistono delle difficoltà intrinseche alla matematica? Perché la matematica è difficile?

L’ipotesi che propone Villani (1993) è che tra le fonti intrinseche di difficoltà vi siano: la terminologia e il simbolismo, le tecniche di calcolo, la sequenzialità, i problemi e la loro traduzione dal linguaggio naturale a quello matematico, l’astrazione e il rigore, l’infinito.

Secondo alcuni ricercatori (Brosseau, 1983) certe difficoltà della disciplina si possono riferire alla presenza di ostacoli epistemologici, cioè legati alla matematica in sé, come se l’allievo nel proprio percorso di apprendimento di un certo concetto si scontrasse con difficoltà analoghe a quelle a suo tempo incontrate dalla comunità dei matematici.

Le difficoltà relative ai poli “matematica” e “allievo” sono fissate a propri, mentre è la relazione tra i due poli che più valorizza il ruolo dell’insegnante come mediatore tra allievo e disciplina e ne sottolinea la responsabilità di agente decisionale. Dovremmo capire: “cosa li fa confliggere?”, perché la relazione tra questi due poli non deve trasformarsi in difficoltà in matematica.

Le difficoltà di un allievo in matematica è l’insegnante di matematica che fa questa diagnosi a posteriori, cioè dopo aver osservato i comportamenti dell’allievo in attività matematiche, es. dopo ripetuti esercizi o verifiche, e mai a priori, ossia a prescindere dalla matematica, come nel caso di deficit specifici dell’alunno, o dall’allievo (