Appunti del corso Analisi I

Disequazioni irrazionali

ⁿ√f(x) < g(x)

Caso n pari

• [f(x)] < [g(x)]ⁿ

Caso n dispari

• h dispari
• [f(x)] < [g(x)]^h
• h pari
• f(x) > 0
• g(x) > 0
• f(x) < [g(x)]^h

ⁿ√g(x) > g(x)

Caso n pari

• h dispari
• f(x) > [g(x)]^h
• h pari
• f(x) > 0
• g(x) > 0

{g(x) < 0} ∪ {g(x) > 0 e f(x) > [g(x)]^h}

Trigonometria

x² + y² = 1 (circonferenza goniometrica)

cos x = ^OH/_OP, sen x = ^PH/_OP

Formula di addizione e sottrazione

• cos (β - α) = cos_β cos_α + sen_β sen_α
• cos (β + α) = cos_β cos_α - sen_β sen_α
• sen (β - α) = sen_β cos_α - sen_α cos_β
• sen (β + α) = sen_β cos_α + sen_α cos_β
• tg (α + β) = ^{tg α + tg β}/_{1 - tg α tg β}
• tg (α - β) = ^{tg α - tg β}/_{1 + tg α tg β}

Formule di duplicazione

• sen 2α = 2 sen α cos α
• cos 2α = cos² α - sen² α

Formule parametriche

• sen x = ^2t/_{1 + t²}
• cos x = ^{1 - t2}/_{1 + t²}
• tg ^x/₂ = t
• tg x = ^2t/_{1 - t²}

Minorante, maggiorante, minimo, massimo, estremo superiore/inferiore

X ⊆ ℝ

Dirò che: a è un maggiorante per X ⇔ ∀ x ∈ X x <= a

X = ]1,2[ ∪ {4,7,23}

b è un minorante per X ⇔ ∀ x ∈ X x >= b

Dirò che a è un massimo se è un maggiorante che vi appartiene (ad X). Soddisfa ovvero la condizione x <= a in particolare l'uguaglianza.

Dirò che b è un minimo se è un minorante che vi appartiene (ad X). Soddisfa ovvero la condizione x >= b in particolare l'uguaglianza.

a è estremo superiore per X ⇔ ∀ ε > 0 ∃ x ∈ X: x > a - ε

Proprietà

1. a è un maggiorante ovvero ∀ x ∈ X x <= x̄ ∀ ε > 0, ∃ x ∈ X : x̄ > x - ε
2. a è estremo inferiore per X ⇒ si denota con inf X

Proprietà

1. a è un minorante ovvero ∀ x ∈ X x >= x
2. ∀ ε > 0 ∃ x ∈ X : x̄ < x + ε

Per le funzioni: f: X ⊆ ℝ → ℝ f(x) = Y codominio

Diciamo che una funzione ha maggiorante o minorante se c'è l'ha il codominio.

a è un maggiorante per f(x) ⇔ ∀ x ∈ X f(x) <= sup f(x)

a è un minorante per f(x) ⇔ ∀ x ∈ X f(x) >= inf f(x)

Estremi di una funzione

sup β(x) è estremo superiore se è il più piccolo dei maggioranti.

Proprietà

1. sup f(x) è maggiorante ovvero sup β(x) ≥ β(x) ∀ x ∈ X
2. ∀ ε > 0 ∃ x ∈ X : f(x) > sup β(x) - ε

inf β(x) è estremo inferiore se è il più grande dei minoranti.

Proprietà

1. inf f(x) è minorante ovvero inf β(x) ≤ β(x) ∀ x ∈ X
2. ∀ ε > 0 ∃ x ∈ X : β(x)

Crescenza e decrescenza

f : X ⊆ ℝ ➝ ℝ

1. f è crescente in X ⇔ ∀ (x,y) ∈ X x < y β(x) ≤ β(y)
2. f è strettamente crescente in X ⇔ ∀ (x,y) ∈ X x < y β(x) < β(y)
3. f è decrescente in X ⇔ ∀ (x,y) ∈ X x < y β(x) ≥ β(y)
4. f è strettamente decrescente in X ⇔ ∀ (x,y) ∈ X x < y β(x) > β(y)

Simmetrie particolari

Se f : X ⊆ ℝ ➝ ℝ

• Se f(-x) = β(x) la funzione si definisce pari e presenta simmetria rispetto all'asse delle ordinate
• Se f(-x) = -β(x) la funzione si definisce dispari e presenta simmetria rispetto all'origine degli assi

Funzione potenza

X^n/m è pro calcolato solo se X > 0

Funzione inversa

f: X -> Y

f^-1: Y -> X funzione inversa

NOTA