Appunti del corso Analisi I

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

• n _pari
  • f(x) < g(x)
• n _dispari
  • • f(x) ⁿ < [g(x)]ⁿ
  • • β(x) > 0
    • g(x) > 0
    • β(x) < [g(x)]ⁿ
• n _pari
  • √β(x) > g(x)
  • n _dispari

n dispari f(x) > [ g(x) ]ⁿ

n pari

• • β(x) > 0
• • g(x) > 0
  • g(x) < 0
• β(x) > [ g(x) ]ⁿ

TRIGONOMETRIA

x² + y² = 1 circonferenza goniometrica

cos x = ^OH/_OP

sen x = ^PH/_OP

FORMULA DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE:

cos (β + α) = cosβ cosα + senβ senα

cos (β - α) = cosβ cosα - senβ senα

sen (β - α) = senβ cosα - senβ cosα

sen (β + α) = senβ cosα + senβ cosα

tg (α + β) = ^{tgα + tgβ}/_{1 - tgα tgβ}

tg (α - β) = ^{tgα - tgβ}/_{1 + tgα tgβ}

FORMULE DI DUPLICAZIONE:

sen2α = 2senα cosα

cos2α = cos²α - sen²α

FORMULE PARAMETRICHE:

sen x = ^2t/_{1 + t²}

cos x = ^{1 - t2}/_{1 + t²}

tg x = ^2t/_{1 - t²}

tg ^x/₂ = t

Numeri Complessi

C = ℝ x ℝ = { (a,b) | a,b ∈ ℝ } C è definito dal prodotto cartesiano ℝ x ℝ

z = (a, b) C è un nuovo genere numerico

Siano

• z₁ = (a₁, b₁)
• z₂ = (a₂, b₂)

definiamo somma + :

C x C → C

(z₁, z₂) → z₁ + z₂ z₁ + z₂ = (a₁, b₁) + (a₂, b₂) = (a₁ + a₂; b₁ + b₂)

Osserviamo che (C, +) è un gruppo abeliano

Proprietà gruppo abeliano

1. Associativa: z₁ + z₂ + z₃ = (z₁ + z₂) + z₃
2. z₁ + 0 = z₁. O = (0,0) elemento neutro
3. ∀ z ∈ C, ∃ z' : z + z' = z' + z = 0. dove z = (a; b) z' = (-a; -b)
4. ∀ z₁, z₂ ∈ C z₁ + z₂ = z₂ + z₁

definiamo prodotto • :

C x C → C

dati z₁ = (a₁, b₁) z₂ = (a₂, b₂)

definiamo

z₁ • z₂ = (a₁, b₁)(a₂, b₂) = (a₁a₂ - b₁b₂; a₁b₂ + b₁a₂)

(C - {0}) = {j, 0} gruppo abeliano

PUNTO DI ACCUMULAZIONE:

f : X → ℝ

x₀ ∈ ℝ

x₀ è punto di accumulazione ⇔ ∀ I_δ(x₀), I_δ(x₀) ∧ X - {x₀} ≠ ∅

DEFINIZIONE LIMITE

f : X ⊂ ℝ → ℝ

x₀ punto di accumulazione per X

lim_{x → x₀} f(x) = l

∀ε>0 ∃δ>0 : ∀x ∈ I_δ(x₀) ∧ X - {x₀} : |f(x) - l| < ε

lim_{x → x₀} f(x) =

• + ∞ ⇔ 3σ
• l ⇔ 1
• - ∞ ⇔ 2

1° ∀ε>0 ∃δ>0 : ∀x ∈ I_δ(x₀) ∧ X - {x₀} : |f(x) - l| < ε

2° ∀M>0 ∃δ_M > 0 : ∀x ∈ I_δM(x₀) ∧ X - {x₀} : f(x) > M

3° ∀M>0 ∃δ_M > 0 : ∀x ∈ I_δM(x₀) ∧ X - {x₀} : f(x) < -M

Teorema dei Carabinieri

Hip

• f, g, h
• X ⊆ ℝ → ℝ
• x₀ punto di accumulazione per X

lim_{x → x0} g(x) = lim_{x → x0} f(x) = l

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ I_δ(x₀) ∩ X - {x₀} |g(x) - l| < ε

th

lim_{x → x0} h(x) = l

f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)

l

Dimostrazione:

1. ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ I_δ(x₀) ∩ X - {x₀} |g(x) - l| < ε
• l - ε < f(x) < l + ε
2. ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ I_δ(x₀) ∩ X - {x₀} |g(x) - l| < ε
• l - ε < g(x) < l + ε
3. th ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ I_δ(x₀) ∩ X - {x₀} |h(x) - l| < ε

δ = min { δ¹, δ² }³

l - ε < f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) < l + ε

              quindi

l - ε < h(x) < l + ε

SUCCESSIONE

f: ℕ → ℝ è una funzione il cui dominio è l'insieme dei numeri naturali.

(a_n)_{n ∈ ℕ}

esempio:

a_n = 2n + 1n + 3

(a_n)_{n ∈ ℕ} è crescente

n < m

f(n) ≤ f(m)

f(n) < f(n+1)a_n < a_n+1

quindi

(a_n)_{n ∈ ℕ} è crescente <=> (a_n) ≤ a_n+1è decrescente <=> (a_n) ≥ a_n+1

nell'insieme ℕ abbiamo un unico punto di accumulazione che è +∞, con il suo intorno I_n = {n, +∞}

sup a_n

1. ∀n ∈ ℕ a_n ≤ sup a_n
2. ∀ε>0 ∃n ∈ ℕ a_n > sup a_n - ε

lim a_nn

{ +∞ 3l 1−∞ 2}

1. ∀ε>0 ∃n ∈ ℕ: ∀n₂∈ℕ |a_n-l|<ε
2. ∀M>0 ∃n₁: ∀n₂∈ℕ a_n > M
3. ∀M>0 ∃n₁: ∀n>n₁ a_n < -M

Teorema degli zeri

Ip f : [a,b] → ℝ

• f è continua in [a,b]
• f(a), f(b) < 0

th esiste almeno un punto x₀ ∈ ]a,b[ t.c: f(x₀) = 0

1 passo

• f(a)>0
• f(b) 0 allora

  a c b

  • f(a) > 0
  • f(c) > 0
  • f(b) < 0

  se f(c) < 0 allora

  • f(a) > 0
  • f(c) < 0
  • f(b) < 0

  l₁ - a₁ := b - a / 2

  2 pass

  • a' c' l'
  • f(a') f(c') f(l')

  se f(c') = 0 abbiamo trovato il punto

  se f(c') ≠ 0

  se f(c') > 0

  • a' c' l'
  • f(a') > 0
  • f(c') > 0
  • f(l') < 0

  se f(c') < 0

  • a' c' l'
  • f(a') > 0
  • f(c') < 0
  • f(l') > 0

  restringiamo quindi via via l'intervallo alla ricerca di un punto x₀ ∈ la cui immagine f(x₀) = 0