Appunti con dimostrazioni e spiegazioni di Fisica 1

CINEMATICA DEL P.T.O

Il moto di cui parleremo riguarda:

• PTO MATERIALE: corpo privo di dimensione o comunque di dimensioni più trascurabili rispetto allo spazio in cui si muove o degli altri corpi con cui interagisce.
• CORPO ESTESO: + complesso, perché soggetto a traslazioni, rotazioni o vibrazioni.

Il moto viene studiato da:

• CINEMATICA Analizza il moto a contatto con le interazioni circostanti e descrizione geometrica, e descrizione temporale del movimento.
• DINAMICA Studia perché movimento.

Il moto viene caratterizzato da:

• POSIZIONE all'interno di un sistema di riferimento (x(t), y(t), z(t))
• TRAETTORIA luogo dei punti occupati dal p.to in movimento

• Grafico fondamentale: spazio, velocità, accelerazione e tempo.

MOTO RETTILINEO

Si svolge lungo una retta sulla quale vengono fissate origine e verso, il moto del p.to è esprimibile grazie a x(t)

Le misure ottenute possono essere rappresentate in un sistema con 2 assi:

DIAGRAMMA ORARIO:

VELOCITÀ NEL MOTO RETTILINEO

In t = t1 un p.to si trova nella posizione x1 e in t = t2 nella posizione x2. Lo spostamento nello intervallo di tempo Δt = t2 - t1 è Δx = x2 - x1, da VELOCITÀ MEDIA:

• Vm = Δx / Δt = (x2 - x1) / (t2 - t1)
• V = dx / dt

Esprime la rapidità di spostamento

Velocità istantanea (rapidità di variazione temporale della posizione in considerato)

Moto rettilineo uniforme

xì = costante,

se è nota la legge oraria affera si può ottenere la velocità istantanea mediante la derivazione

v = dx/dt

e viceversa

dx = vdt | ∫ x(t) = x₀ + ∫ v(t)dt

(t) (t)

Percorso o detto spazio percorso nel moto rettilineo.

∫ Δx = ∫ x = ∫ v(t)dt

x₀ t₀ t₀

Spostamento complessivo - settimana nello stesso p.to t = 0 -

Relazione tra velocità media e velocità istantanea

Vm = 1/t - t_o ∫ v(t)dt

t_o

1 - t₀

t - t_o

Valore medio di 1 funzione in un dato intervallo (valuta globalmente la rapidità di spostamento)

Moto rettilineo uniforme

x(t) = x₀ + ∫ vdt = x₀ + v(t - t_o)

per t_o = 0

x(t) = X₀ + vt

Leggi orarie che mostrano che se lo spazio è funzione lineare del tempo in tempi uguali sono percorsi spazi uguali.

v = cost = v_m

Accelerazione

Velocità che varia nel tempo crea il moto accelerato

a_m = v₂ - v₁ = Δv/Δt

t₂ - t₁

accelerazione media

a = Δv/Δt = dv/dt

Accelerazione istantanea (rapidità di varizione temporale della velocità)

Se a = 0 1) v = costante (moto uniforme)

a = 0 cresce nel tempo

a = 0 decresce nel tempo

Se consideriamo lo spazio percorre v(t),

dv = adt ∫ v_o + ∫ a(t)dt

Se a = costante (Moto accelerato)

v(t) = v_o + ∫ adt = v(t) = v_o + a(t - t_o)

Nota a₁₂(t) ∈ v_1,2(0)

v₁₂(t) = v₁₂(0) + ∫₀^t a_1,2(t')dt'

Nota x_1,2(0)

x₁₂(t) = x₁₂(0) + ∫₀^t v_1,2(t')dt'

Se

• a_1,2(t) = 0 ⟷ a₁(t) = a₂(t) ⟷ MOTO RELATIVO UNIFORME
• a_1,2(t) = costante ⟷ MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
• a_1,2(t) ≠ 0 ⟷ MOTO VARIO

Moto Parabolico del Corpo

Moto caratterizzato da un'accelerazione costante a=g=-gy

u(1) = vo + at = vo - gty

Poiché v_o = v_i = v_ocosθ

v_oy = v_osinθ

Allora

u(t) = v_ocosθ x + (v_osinθ - gt) ty

v_ix = v_ocosθ = costante

v_u = v_osinθ - gt

Quindi le leggi orarie dei moti sono

• x = v_ocosθt → Moto uniforme
• y = v_osinθt - 1/2 gt² → Moto uniformemente accelerato

L'equazione della Traiettoria:

y(x) = xtgθ - g/2v²cos²θ x² → Parabola

2_ang

tgφ = v_y/v_x = tgθ - g/v²cos²θ x

Da guita u_x(x) = 0

• x_q = 2v²cosθ = 2√v²sinθ = √v_qsinθ = 2xh → v²cosθ

g

D'altezza massima (tgθ = G_i/V²cosθ = 0) o (u_y = 0)

u(x_h) = - u_y'= v²sinθ/g 2g

L'angolo di lancio in cui si ha la g_irata massima si ottiene d_xsindcosθ = 0

Ovvero 2v^2&theta - sipeθcosθ + cos&sub>y = 0 θ = 450 (x_q)_max = v²

T_G:

Tempo totale di volo

tg = 2x_h/v_ocosθ

2v_osinθ

g = 2πh

FORZA DI ATTRITO RADENTE

F = µ_sN

F > µ_sN

In condizione di quiete e verificato e' equ. statico:

R + F + P = 0

N = mg

F_ns = F

FORZA ATTRITO RADENTE STATICO (forze di coesione dei materiali)

In condizione di moto si oppone la FORZA DI ATTRITO RADENTE DINAMICO F_ad = µ_dN

coef. di attrito dinamico ed µ_d < µ_s

F - µ_d N = ma

Relazione con la quantità di moto

E_K = 1/2mv²

p = mv

v

E_K = p²/2m

p = √2mE_K

Lavoro Forza Peso

W_L = ∫_A^B F · ds = F · ∫_A^B ds = mg · Γ_AB

Γ_B - Γ_A = Γ_AB

(mgΓ_B − mgΓ_A) = − (E_P,B − E_P,A) = −ΔE_P

Energia Potenziale

Il lavoro della forza peso è uguale ed opposto alla variazione di energia potenziale e non dipende dalla traiettoria.

Lavoro Forza Costante

Prendiamo come asse z un asse parallelo e discorde a F.

W_L = − (Fz_B − Fz_A) = −ΔE_P

E_P = Fz

Se prendiamo l'asse concorde a F: W_L = −ΔE_P E_P = −Fz

Lavoro Forza Elastica

F = −κx

W_L = ∫_A^B −κx · dx = − ∫_A^B κxdx = 1/2 κx_A² − 1/2 κx_B² = −ΔE_P

Energia Potenziale Elastica

Se il p.to si muove verso le centrio della forza W_L > 0 E_P elim.

Se il p.to si muove centrio si distanzia da le centrio W_L < 0 E_P aument.

dC_m ∑m_ia_idvi

a_cm = ____ = ∑m_ia_i = ______ = ∑m_ia_i

dt ∑m dt ∑m m

Se il sistema di riferimento è inerziale:

m_ia_i = F_i = F_ie + F_ie

m a_cm = ∑m_ia_i = ∑(F_ie + F_ie) = R^(E) = R⁽ⁱ⁾ + R^(ie) = R^(ie)

^(E)

R^(ie) = ma_cm TEOREMA DEL MOTO DEL CENTRO DI MASSA

- il moto è determinato dalle sole forze esterne -

R^(E) = ma_cm = m dV_ch - dP

dt dt

(mU_ch) = dt

CONSERVAZIONE QUANTITÀ DI MOTO

Se il sistema è isolato (non soggetto a forze esterne) o che R^(ie) = 0

a_cm = 0 V_ch = costante P = costante

PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO

P_x = cost

P_u = cost Se P_x = 0 -> P_x = costante

P_z = cost

Consideriamo 2 pti costanti che possono interferire tra loro.

P = P_z + P_o = m₁v₁ + m₁v₂ = costante

____

dt (m₁V₁ + m₂V₂) = m₁a₁ + m₂a₂ = 0

∇ F₁ + F₂ = 0 F_Σ = -F₂

Se P = 0 (le chi e in altre) possiamo calcolare la massa:

m₁v₁ + m₂v₂ = 0 m2 = m₁V₁

V₂