Appunti Completi Teoria dei Circuiti, Antonio Luchetta

Elettrotecnica: Definizioni di Base, Principi e Leggi

1. Carica Elettrica

Misura della quantità di elementi che all'interno della materia sono in grado di muoversi se sottoposti a forze di natura elettrica.

Unità di misura: 1 C = 6,24 * 10¹⁸ particelle di carica elementare

2. Corrente Elettrica

Misura della velocità di variazione nel tempo della carica attraverso una superficie. È una grandezza puntuale (basta un punto per rilevarla).

i = dq/dt

[i] = A (ampere) = 1 C/1 s

da cui q(t) = ∫_t0^ti(x)dx

La corrente è univocamente determinata associando ad essa anche il verso: entrante, uscente

i_E = -i_U

3. Tensione Elettrica

Energia necessaria a spostare una certa quantità di carica da un punto all'altro del sistema. È una grandezza bipolare.

v(t) = dw/dq

[v] = V (volt) = 1 J/1 C

La tensione è univocamente definita associando ad essa una polarità. Si va dal polo a tensione maggiore (A) a quello a tensione minore (B). Il primo si dice che eroga, mentre l'altro riceve.

v_AB = -v_BA

4. BIPOLO ELETTRICO

elemento privo di dimensione geometrica (cioè irrilevante all'analisi funzionale) accessibile attraverso una COPPIA DI TERMINALI (due elementi fisici dai quali può passare corrente, cioè si può applicare una d.d.p.)

È univocamente determinato per mezzo di una TENSIONE ai suoi capi e l'eventuale CORRENTE che lo attraversa.

5. POTENZA ELETTRICA

rapidità di scambio di energia.

p(t) = dw/dt = du/dq = v(t) · i(t)

Per il calcolo della potenza si deve tenere in considerazione la convenzione scelta.

• CONVENZIONE DELL'UTILIZZATORE
• p(t) > 0 POTENZA ASSORBITA
• p(t) < 0 POTENZA EROGATA

• CONVENZIONE DEL GENERATORE
• p(t) > 0 POTENZA EROGATA
• p(t) < 0 POTENZA ASSORBITA

[p] = W (watt)

Inoltre: w(t) = ∫_-∞^t p(x) dx situazione di riposo

PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA POTENZA

In un sistema costituito da N_B bipoli elettrici associati alla STESSA CONVENZIONE, il bilancio della potenza deve essere 0 in ogni istante di tempo.

∑_i=1^N_B p_i(t) = 0 ∀ t

Bipoli fondamentali

1. RESISTORE

R_i(t) = R_ii(t)

R_i(t) = -R_ii(t)

R: RESISTENZA è l'opposizione al passaggio di corrente.

[R] = V/A = Ω (Ohm)

Definiamo G = 1/R CONDUTTANZA

[G] = A/V = Ω^-1 = U = mho = S (Siemens)

R dipende dalla temperatura: R = ρ ^L/S

resistività del materiale

ma ρ = ρ_o(1 + α Δt) DILATAZIONE TERMICA

con { ρ_o: ρ = 27°C

[α]: K^-1 COEFF. DI DILATAZIONE TERMICA

Δt: T_attuale - T_27°}

La resistenza non è quindi un elemento propriamente lineare, ma noi lo consideriamo tale.

È permanente.

È passivo, infatti: (R ≥ 0)

ρ(t) = v(t) i(t) = R i²(t) ≥ 0

È causale.

QUADRIPOLI FONDAMENTALI

1. GENERATORI CONTROLLATI

   1. a. GENERATORE DI TENSIONE CONTROLLATO IN TENSIONE

      Si stabilisce un legame LINEARE tra V₂ e V₁, INVARIANTE NEL TEMPO (non è K_V(t)) ed è ATTIVO. È un AMPLIFICATORE.

   2. b. GENERATORE DI TENSIONE CONTROLLATO IN CORRENTE

   3. c. GENERATORE DI CORRENTE CONTROLLATO IN TENSIONE

   4. d. GENERATORE DI CORRENTE CONTROLLATO IN CORRENTE

• TRASFORMAZIONI STELLA-TRIANGOLO (e TRIANGOLO-STELLA)

Da usare se con le trasformazioni serie / parallelo non vado avanti.

R_AB = ^{R_aR_c + R_bR_c + R_aR_b}/_Rc, R_BC = 1/R_a, R_AC = 1/R_b

R_a = ^R_ACR_AB/_{RAB + RBC + RAC}, R_b = ^R_BCR_AB/_RAC, R_c = ^R_ACR_BC/_RAB

Metodi Generali per lo Studio di Reti Elettriche

Introduciamo la teoria dei grafi per illustrare i metodi ai nodi e alle maglie.

Il grafo di un circuito è un tracciato grafico che si ottiene sostituendo ad ogni bipolo un segmento. Può essere orientato quando assegniamo un verso ad ogni segmento (Es. verso della corrente).

Ciascuno di questi segmenti si chiama RAMO.

Un NODO è punto di intersezione fra almeno due rami.

• R rami -> 2R incognite (i e v)
• Le equazioni per la loro risoluzione:
• R equazioni -> REL. COSTITUTIVE
• N-1 equazioni -> KCL (per il metodo ai nodi)
• R-N+1 equazioni -> KVL (per il metodo agli anelli/maglie)

Metodo Risolvente ai Nodi

1. Scelgo un NODO DI RIFERIMENTO
2. Assumo come incognite le tensioni presenti tra ogni nodo e quello di riferimento.
3. Scrivo le N-1 equazioni di equilibrio in corrente inserendovi opportunamente le rel. costitutive dei componenti dei bipoli connessi al nodo stesso.

Nodi:

(1): _{V1 - V2} R₄ + _{V1 - V3} R₃ - I_g1 => V₁ ^{(1/R₄ + 1/R₃)} + V₂ (-1/R₄) + V₃ (-1/R₃) = I_g1

(2): _{V2 - V1} R₄ + _{V2 - V3} R₂ + I_x = 0 => -1/R₁ V₁ + ^{(1/R₄ + 1/R₂)} V₂ + I_x = 0

(3): + I_x - _{V3 - V1} R₃ + _V3 R₄ = 0 => -1/R₃ V₁ + V₃ (^{1/R₃+1/R₄}) = I_x = 0

+ _{V2 - V3} = V_g2

Riscriviamo in forma matriciale

| + G₁ + G₂ - G₁ - G₃| 0 | V₁| I_g1|

| - G₁ + G₁ + G₂| 0 | V₂| 0 |

| - G₃ 0 G₃ + G₄| -1 | V₃ | 0 |

| 0 1 -1| 0 | I_x| V_g2| metodo classico

Come si nota la matrice è aumentata ma è rimasta SIMMETRICA.

Metodo diretto:

Si sdoppia il gen. ideale di tensione e lo si trasforma nell'equivalente in corrente, poi si usa il metodo classico ai nodi.

Amplificatore Invertente

Risolviamo ai nodi (l’unico che ci interessa è il nodo x):

x) (V_x - V_s) / R₁ + (V_x - V_o) / R₂ = -i_o = 0

cioè (1 / R₁ + 1 / R₂) V_x - (1 / R₁) V_s = V_o / R₂ = 0

cioè (1 / R₁ + 1 / R₂) V_x = V_o / R₂ = V_s / R₁

Assumiamo la rel. costitutiva dell’a.o.: (i₊ = i_- = 0 già usata)

V_x - V_ground = 0 , cioè V_x = 0

Si ottiene quindi:

V_o = -(R₂ / R₁) V_s

Invertente Coef. di amplificazione

Il circuito nel caso reale veniva:

Risolvere alle maglie