Appunti Elettrotecnica

Teoria dei circuiti

Appunti basati sul corso del prof. Villone; Scritti da Giovanni Celentano.

Tensione e corrente

Si definisce intensità di corrente (attraverso una sezione di conduttore) la carica che passa attraverso la sezione nell'unità di tempo. [Ampere]

Considerando una superficie, la corrente elettrica sarà data dalla derivata (rispetto al tempo) della carica che passa attraverso la superficie.

Si definisce tensione fra A e B (e lungo il percorso scelto) il lavoro del campo elettrico su una carica unitaria per spostarla da A a B. [Volt]

Si definisce circuitazione elettrica la tensione su un percorso chiuso che parte da A e ritorna ad A. È uguale all'opposto della derivata (rispetto al tempo) del flusso magnetico concatenato con il percorso chiuso.

In condizioni stazionarie la circuitazione di un qualsiasi percorso (chiuso) è nulla. Inoltre, la tensione fra due punti non dipende dal percorso scelto ma solo dai punti e si potrà esprimere come differenza di potenziale.

Modello di bipolo

Il bipolo è caratterizzato da una relazione caratteristica che lega la corrente e la tensione. Inoltre, in un bipolo, la corrente entrante è uguale a quella uscente e la tensione ai terminali, in condizioni stazionarie, è un valore fissato.

Si definisce convenzione dell'utilizzatore quella in cui la corrente entra nel lato + del bipolo. Viceversa, si parla di convenzione del generatore.

Classificazione

• Statico: la caratteristica è un'equazione algebrica
• Dinamico: la caratteristica è un'equazione di tipo integro-differenziale
• Tempo variante: la caratteristica dipende dal tempo
• Tempo invariante: la caratteristica non dipende dal tempo
• Lineare: la caratteristica è un'equazione lineare
• Non lineare: la caratteristica è un'equazione non lineare
• Passivo: (strettamente passivo)
• Attivo: Se esistono particolari condizioni in cui
• Controllato in corrente: Caratteristica esplicita in funzione della corrente
• Controllato in tensione: Caratteristica esplicita in funzione della tensione

Leggi di Kirchhoff

Legge di Kirchhoff alle correnti: in regime stazionario, la somma delle correnti entranti in un nodo è nulla. Con nodo si intende il punto di incontro di due o più terminali. Ciò nonostante, per quanto riguarda la legge di Kirchhoff, si considerano solo i nodi con tre o più terminali. (per nodi a due terminali il risultato è banale ed è che la corrente è la stessa)

Legge di Kirchhoff alle tensioni: in regime stazionario, la somma delle tensioni in una maglia è nulla. Con maglia si intende un anello chiuso nel circuito.

Nota: Il modello di bipolo e le leggi di Kirchhoff sono valide anche in casi non propriamente stazionari, ma quasi stazionari. Considerati n nodi e l bipoli, abbiamo che:

• le LKC indipendenti sono n-1
• le LKT indipendenti sono l-(n-1)

Potenza ed energia

Si definisce potenza assorbita (da un bipolo) la derivata (rispetto al tempo) dell'energia proveniente dal circuito e dissipata dal bipolo. [Watt]

Si definisce potenza erogata l'opposto della potenza assorbita.

Nota: la potenza assorbita (e quella erogata) può avere segno positivo o negativo. Qualora il segno fosse positivo, la potenza sarebbe effettivamente assorbita (o erogata).

Nel modello circuitale e con la convenzione dell'utilizzatore, la potenza assorbita è data da: P(t) = v(t) * i(t)

L'energia assorbita si ricava integrando la potenza:

• \(\int P(t) dt\)

Caratteristiche e proprietà dei bipoli elementari

Resistore: V = R * I ↔ I = V/R

• Caratteristica: I = V/R
• Potenza assorbita: P = V * I

Casi limite:

• Corto circuito: R = 0 → V = 0
• Circuito aperto: R = ∞ → I = 0

Generatore ideale di tensione: V = V(t)

• Caratteristica in caso stazionario: V(t) = costante
• Potenza assorbita: P = V * I

Generatore ideale di corrente: I = I(t)

• Caratteristica in caso stazionario: I(t) = costante
• Potenza assorbita: P = V * I

Interruttore:

• Aperto: R = ∞ → I = 0
• Chiuso: R = 0 → V = 0

Condensatore: Q[C] = C * V

• Caratteristica: V = (1/C) ∫ I dt
• Potenza assorbita: P = (1/2) * C * V^2
• Energia immagazzinata: W = (1/2) * C * V^2

Induttore: Φ[L] = L * I

• Caratteristica: V = L * (dI/dt)
• Potenza assorbita: P = (1/2) * L * I^2
• Energia immagazzinata: W = (1/2) * L * I^2

L'energia immagazzinata è la massima erogabile al circuito a partire dall'istante. Condensatore e Induttore sono bipoli conservativi (se l'energia immagazzinata all'istante \( t_1 \) è uguale a quella immagazzinata all'istante \( t_2 \), in quest'intervallo l'energia immagazzinata totale sarà nulla), passivi (non possono erogare mai più energia di quanta non ne abbiano assorbita) e a memoria.

Primi circuiti elementari

Nei circuiti adinamici lineari avremo che le correnti e le tensioni saranno proporzionali alla tensione (o corrente) dell'unico generatore. Di conseguenza, anche l'espressione di tali correnti o tensioni sarà dello stesso tipo del forzamento.

i(t) = I₀ + I_m cos(ωt)

Sarà interessante il caso di forzamento sinusoidale:

• Le potenze dei termini di un circuito adinamico lineare con forzamento sinusoidale saranno composte da:
• Un termine costante
• Un termine sinusoidale a pulsazione ω
• Un termine sinusoidale a pulsazione 2ω

Generatore reale di tensione

V_o = V_s − R_i * I - caratteristica

Lo si ottiene ponendo in serie un generatore ideale di tensione ed un resistore.

Il pedice alla resistenza sta ad indicare che si parla di una resistenza interna.

Generatore reale di corrente

I_o = I_s − G_i * V - caratteristica

Lo si ottiene ponendo in parallelo un generatore ideale di corrente ed un resistore.

Il pedice alla conduttanza sta ad indicare che si parla di una conduttanza interna.

È possibile sostituire un generatore reale con l'altro se vale la relazione: V_o = I_s * R_i ↔ I_o = V_s / R_i

Circuiti dinamici lineari elementari, transitorio e regime

Consideriamo un circuito RC (resistore, condensatore). Applicando le equazioni di Kirchhoff e considerando le caratteristiche dei componenti, è possibile ridurre tali circuiti ad un problema di Cauchy.

RC * (dV/dt) + V = V_s(t)

VC(0) = V₀

La soluzione del problema di Cauchy è composta da due termini:

• Uno esponenziale, e quindi evanescente, che dipende dalle condizioni iniziali
• Uno di regime, che dipende dal forzamento del circuito

\( V(t) = V_{\text{trans}} + V_{\text{part}}(t) \)

Il termine \( V_{\text{trans}} \) sarà la soluzione dell'equazione caratteristica associata all'equazione differenziale.

\( RC \cdot \frac{dV}{dt} + V = 0 \rightarrow V(t) = V_{0} \cdot e^{-t/RC} \)

Il termine di regime \( V_{\text{part}} \) è la cosiddetta soluzione particolare, ovvero, una qualsiasi soluzione che verifica l'equazione differenziale. Tale termine è omogeneo al forzamento.

\( V_{\text{part}}(t) \) è costante o sinusoidale, a seconda del forzamento imposto.

Caso di forzamento nullo: scarica del condensatore

\( RC \cdot (dV/dt) + V = 0 \)

\( V(t) = V_{0} \cdot e^{-t/RC} \) con \( V(0) = V_{0} \)

Caso di forzamento costante: carica del condensatore

\( RC \cdot (dV/dt) + V = V_{s} \)

\( V(t) = V_{s} - (V_{s} - V_{0}) \cdot e^{-t/RC} \) con \( V(0) = V_{0} \)

Nota: In un circuito RC, nel processo di carica, l'energia totale si divide in due parti, metà dell'energia erogata viene dissipata dal resistore e l'altra metà viene accumulata dal condensatore, indipendentemente dal valore della resistenza R.

Caso di forzamento sinusoidale

\( RC \cdot (dV/dt) + V = V_{m} \cdot \cos(\omega t) \); \( V(0) = V_{0} \)

La soluzione particolare, in questo caso, avrà la forma:

\( V_{\text{part}}(t) = V_{m} \cdot \cos(\omega t + \phi) \)

Sostituendo nell'equazione differenziale e risolvendo si ottiene:

\( V_{\text{part}} = \frac{V_{m}}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} \)

\( \phi = -\arctan(\omega RC) \)

Proprietà dei circuiti lineari

Proprietà di proporzionalità: In un circuito lineare di resistori con un solo generatore, tutte le grandezze (correnti e tensioni) sono proporzionali all'unico generatore presente.

Resistenza equivalente: Considerando un generatore ideale di tensione, avremo quindi che tutte le grandezze saranno proporzionali al valore della sua tensione, compresa la corrente che passa attraverso il generatore stesso. Il rapporto fra la tensione del generatore e la corrente generata è una costante ed è definita resistenza equivalente ai terminali del generatore e rappresenta tutto l'insieme dei resistori del circuito.

Proprietà di sovrapposizione degli effetti: In un circuito con più generatori è possibile trovare la soluzione accendendo di volta in volta un unico generatore e calcolando le relative tensioni e correnti. La soluzione del circuito sarà la somma delle soluzioni trovate.

Bipoli in serie e in parallelo

Due resistori si dicono collegati in serie se condividono un unico terminale e quindi sono attraversati da un'unica corrente. Questa disposizione ha la funzione di partitore di tensione. La resistenza equivalente di una serie di resistori è uguale alla somma delle resistenze.

Due resistori si dicono collegati in parallelo se condividono entrambi i terminali e quindi sono sottoposti alla stessa tensione. Questa disposizione ha la funzione di partitore di corrente. La conduttanza equivalente di un parallelo di resistori è uguale alla somma delle conduttanze dei vari resistori.

Combinazioni di generatori

• Generatori di tensione possono essere posti in serie e le tensioni si sommano
• Generatori di corrente possono essere posti in parallelo e le correnti si sommano
• Ponendo in serie un generatore di tensione ed uno di corrente, quello di corrente prevale e quello di tensione non ha alcun effetto
• Ponendo in parallelo un generatore di tensione ed uno di corrente, quello di tensione prevale e quello di corrente non ha alcun effetto
• Non è possibile porre in serie più generatori di corrente o in parallelo più generatori di tensione

Bipoli equivalenti di Thévenin e Norton

Consideriamo un circuito lineare composto da resistori e generatori indipendenti e ipotizziamo di volerci concentrare su uno dei suoi bipoli, ad esempio, un resistore. È possibile ridurre la rimanente parte del circuito ad un generatore reale di tensione (Thévenin) o di corrente (Norton). I due metodi sono perfettamente equivalenti. Questo metodo è utile nel caso vi sia un elemento dinamico nel circuito. La restante parte del circuito può essere semplificata per concentrare gli sforzi sull'elemento dinamico.

Teorema di Thévenin

Qualsiasi porzione di circuito lineare può essere assimilato ad un generatore reale di tensione in cui, la tensione del generatore ideale sarà la tensione a vuoto, mentre la resistenza interna sarà la resistenza equivalente del circuito.

• V_th: Per calcolare la tensione a vuoto, sostituire al bipolo di interesse un circuito aperto e risolvere il circuito che agisce con i suoi generatori interni. Se i generatori sono molteplici, si procede tenendone acceso uno per volta e sommando poi gli effetti.
• R_th: Per calcolare la resistenza equivalente, spegnere tutti i generatori interni ed applicare, al posto del bipolo di interesse, un generatore ideale di corrente. Misurando la tensione generata, è possibile calcolare la resistenza equivalente.

È possibile calcolare la resistenza equivalente anche senza applicare alcun generatore ideale di corrente, utilizzando le formule del calcolo della resistenza equivalente per serie, parallelo ed altri casi.

La caratteristica del circuito così trovata sarà: V = V_th - I * R_th

Teorema di Norton

Qualsiasi porzione di circuito lineare può essere assimilato ad un generatore reale di corrente in cui, la corrente del generatore ideale sarà la corrente di corto circuito, mentre la conduttanza interna sarà la conduttanza equivalente del circuito.

• I_n: Per calcolare la corrente di corto circuito, sostituire al bipolo di interesse un corto circuito e risolvere il circuito che agisce con i suoi generatori interni. Se i generatori sono molteplici, si procede tenendone acceso uno per volta e sommando poi gli effetti.
• G_n: Per calcolare la conduttanza equivalente, spegnere tutti i generatori interni ed applicare, al posto del bipolo di interesse, un generatore ideale di tensione. Misurando la corrente generata, è possibile calcolare la conduttanza equivalente.

È possibile calcolare la conduttanza equivalente anche senza applicare alcun generatore ideale di tensione, utilizzando le formule del calcolo della conduttanza equivalente per serie, parallelo ed altri casi.

La caratteristica del circuito così trovata sarà: I = I_n - V * G_n

Nota: Talvolta potrebbe essere impossibile spegnere i generatori interni del circuito. Di conseguenza, la resistenza equivalente (o la conduttanza equivalente) si potrà calcolare a partire dalla relazione misurando la tensione a vuoto e la corrente di corto circuito ai terminali della porzione del circuito.

Equivalenza stella-triangolo

\( R_{12} = \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}} \)

\( R_{13} = \frac{R_{1}R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}} \)

\( R_{23} = \frac{R_{2}R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}} \)

Queste ultime possono essere scritte in forma compatta. Ponendo:

• \( \frac{1}{R_{T}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} \)
• \( R_{12} = R_{T} \cdot \frac{R_{1}R_{2}}{R_{3}} \)
• \( R_{13} = R_{T} \cdot \frac{R_{1}R_{3}}{R_{2}} \)
• \( R_{23} = R_{T} \cdot \frac{R_{2}R_{3}}{R_{1}} \)

Se le resistenze sono tutte uguali: \( R_{12} = R_{13} = R_{23} = \frac{R}{3} \)

Topologia dei circuiti

È possibile scrivere le LK operando attraverso il grafo di un circuito. Consideriamo, quindi, il grafo del circuito di interesse e individuiamo l'albero di tale grafo. Aggiungendo, volta per volta, un ramo di coalbero all'albero, si individuano le cosiddette maglie fondamentali. Scrivendo la LKT per ognuna delle maglie fondamentali si ottiene un insieme di equazioni indipendenti. Un altro modo per scrivere le LKT è quello di considerare gli anelli, ovvero le maglie che non contengono al loro interno altri lati del circuito.

Eliminando, di volta in volta, un ramo dell'albero, si individuano due sottoinsiemi di nodi. Considerando ora quel ramo eliminato più tutti gli altri rami del coalbero che collegano tali insiemi, si individuano i cosiddetti tagli fondamentali. Scrivendo le LKC per ognuno dei tagli fondamentali si ottiene un insieme di equazioni indipendenti.

Matrici topologiche

Le leggi di Kirchhoff possono essere espresse in forma compatta attraverso due matrici, la matrice di incidenza dei nodi e la matrice delle maglie. La matrice di incidenza dei nodi la si ottiene a partire dal grafo orientato del circuito. Ogni riga della matrice rappresenta un nodo e nella matrice...