Appunti Elettrotecnica

Anche il giratore, così come il trasformatore, non assorbe potenza.

La caratteristica principale del giratore risiede nel trasporto al primario.

Il trasporto di un condensatore di capacità a primario fornisce un induttore la cui

induttanza equivalente è data da:

=

2

Allo stesso modo, trasportando un induttore a primario si ottiene un condensatore

la cui capacità equivalente è data da:

2

=

Doppi bipoli lineari passivi

Per determinare le equazioni caratteristiche di un doppio bipolo lineare passivo

possiamo effettuare una caratterizzazione in tensione.

Colleghiamo quindi due generatori di tensione alle due porte e

lasciamone agire uno alla volta. Otteniamo:

1′ 1′′

= + = +

1 11 1 12 2 → =

{ 2′ 2′′

= + = +

2 21 1 22 2

La matrice è definita matrice delle conduttanze.

I termini e rappresentano delle vere e proprie conduttanze e sono sempre

11 22

positivi per via della passività dei resistori nel circuito. I termini e hanno solo

12 21

le dimensioni di conduttanze e sono dette conduttanze mutue.

E’ possibile dimostrare che le conduttanze mutue sono uguali e che, in valore

assoluto, sono sempre minori del valore di e .

11 22

Nota: Le conduttanze mutue possono avere segno positivo o negativo. Questo va

valutato in base al verso scelto per le tensioni dei condensatori e quindi dei

generatori sostitutivi.

Per capire: Se la corrente generata da uno dei due generatori sostitutivi, passando

per il secondo generatore, va al contrario rispetto alla corrente generata da

quest’ultimo, allora la conduttanza andrà presa con segno negativo.

Considerando la potenza assorbita e la caratteristica trovata, abbiamo che:

()

= + = = ≥ 0

1 1 2 2

Questa espressione evidenzia una ulteriore proprietà della matrice che risulta

semidefinita positiva.

Analogamente, è possibile effettuare una caratterizzazione in corrente. In questo

caso, collegheremo alle due porte due generatori di corrente ed otterremo una

relazione che evidenzia la matrice delle resistenze:

=

E’ possibile dimostrare che la matrice delle conduttanze e quella delle resistenze

sono una l’inversa dell’altra.

= , = , = −

Nota: 12 21 12 21 12 21

Infine, è possibile effettuare una caratterizzazione ibrida. In questo caso, la matrice

avrà elementi misti e la relazione sarà qualcosa di questo tipo:

=

E’ possibile collegare i doppi bipoli in serie, in parallelo o a cascata.

Collegando entrambe le porte di due doppi bipoli in parallelo, otterremo un doppio

bipolo la cui matrice sarà data dalla somma delle matrici dei due doppi bipoli:

′ ′′

( )

= + =

Collegando due bipoli in serie ad una porta ed in parallelo alla seconda porta, il

.

doppio bipolo equivalente si otterrà sommando le matrici

Nel caso di collegamento a cascata, si utilizza la rappresentazione di trasmissione T

dove la tensione e la corrente d’ingresso vengono espresse in funzione di quelle di

uscita:

( ) ( )

= , − = , → =

2 2 1 1

Per due bipoli collegati in cascata, la matrice sarà data dal prodotto delle due

matrici bipoli.

Sintesi classica passiva di doppi bipoli lineari

Il problema della sintesi consiste nel realizzare, a partire da una data matrice (delle

conduttanze, delle resistenze o ibrida) un circuito minimo che realizzi tale matrice.

.

Consideriamo, ad esempio, una matrice delle resistenze Per realizzare un DB che

sia rappresentato da tale matrice, una delle possibilità è quella di utilizzare tre

Π:

resistori collegati a T oppure a

Consideriamo il collegamento a T. Possiamo legare i termini della matrice alle

, ,

tre resistenze ottenendo le relazioni:

= − = − =

11 12 22 12 12

Π .

Consideriamo il collegamento a ed una data matrice delle conduttanze Le

relazioni che otterremo saranno: | |

= + = + =

11 12 22 12 12

Lo stesso risultato lo si può ottenere utilizzando generatori lineari controllati nelle

seguenti configurazioni:

Analisi di doppi bipoli attivi

Per effettuare l’analisi ad un doppio bipolo attivo, è possibile procedere sulla falsa

riga di ciò che è stato fatto per un bipolo con i teoremi di Thévenin e Norton.

Consideriamo quindi di porre due generatori ideali di tensione alle due porte di un

doppio bipolo (forma di Norton).

Spegnamo tutti i generatori interni lasciando attivi quelli di caratterizzazione. In

questo modo, otteniamo un doppio bipolo lineare passivo con una determinata

.

matrice

Ora accendiamo i generatori interni e spegnamo quelli di caratterizzazione,

sostituendoli con dei corti circuiti. Otterremo quindi delle correnti di corto circuito

∗

( )

= ,

date dal vettore .

1 2

Attraverso la sovrapposizione degli effetti, otteniamo che:

′ ′′ ∗

= + = +

Tale rappresentazione è l’estensione della forma di Norton al caso dei DB.

La presenza di generatori lineari controllati all’interno del DB non cambia la

caratteristica, tuttavia la matrice perde le sue proprietà a causa della non passività e

non reciprocità.

Circuiti lineari a regime

Nei circuiti lineari, la soluzione è composta da un termine transitorio ed uno di

regime. La soluzione di regime la si può calcolare facilmente considerando che gli

elementi dinamici, contenendo derivate nel tempo, a regime risultano spenti.

Un condensatore a regime si comporta come un circuito aperto, un induttore a

regime si comporta come un corto circuito.

Sappiamo che ad un forzamento di tipo sinusoidale con pulsazione corrispondono

.

grandezze di tipo sinusoidale con uguale pulsazione Una volta definita l’ampiezza

media e la fase iniziale, la grandezza risulta nota.

Il metodo dei fasori è uno strumento molto potente che consiste nell’associare, ad

una grandezza sinusoidale, un fasore definito da una coppia di numeri complessi.

Nota sui numeri complessi +

Un generico numero complesso lo si può scrivere come:

Se immaginiamo il piano complesso, in cui l’asse delle ascisse rappresenta in numeri

reali e quella delle ordinate i numeri immaginari, possiamo vedere e come le

:

componenti di un vettore che ha modulo ed una fase

cos + sin

Applicando l’identità di eulero, possiamo riscriverlo come:

Quindi: cos

- la parte reale sarà data da: sin

- la parte immaginaria sarà data da:

Metodo dei fasori

Una generica grandezza sinusoidale la esprimiamo come un numero complesso in

questo modo: ̅

() = cos( + ) → =

Per passare dal fasore alla grandezza originaria, moltiplichiamo il fasore per e

prendiamone la parte reale:

(+)

∙ =

(+)

{ = cos( + )

}

La corrispondenza tra grandezze e fasori gode di tre proprietà:

1) Biunivocità: Se due grandezze sono uguali, hanno uguali fasori

2) Linearità

3) Derivazione:

̅ ̅

=

Consideriamo ora un generico circuito linare di bipoli in regime sinusoidale.

La formulazione di LK e caratteristiche varie sarà data da:

̅

∑ (±) = 0

{ (±)̅

∑ = 0

̅ ̅

=

̅ ̅

{

=

̅ ̅

=

̅ ̅

= =

{ ̅ ̅

= =

E’ possibile notare che tali relazioni hanno la stessa struttura di quelle di un circuito

resistivo lineare. ̇

Definiamo impedenza la grandezza complessa definita dal rapporto fra il fasore

̅ ̅

della tensione e quello della corrente :

̅

̇ = = +

̅

L’impedenza sarà quindi composta da una parte reale, la resistenza, ed una parte

immaginaria, detta reattanza. E’ possibile poi considerare il reciproco

dell’impedenza, detto ammettenza. Il reciproco della resistenza sarà la conduttanza;

il reciproco della reattanza è definito suscettanza.

= resistenza

= reattanza

̇ 1/̇

= = ammettenza

= 1/ = conduttanza

= 1/ = suscettanza

I valori di impedenza per un resistore, un condensatore ed un induttore sono:

1

̇ ̇ ̇

= = − =

(= )

Un generico fasore può essere rappresentato sul diagramma fasoriale come un

vettore caratterizzato da un certo modulo e da una fase iniziale.

Considerati i fasori di tensione e corrente e l’impedenza, è possibile definire:

- modulo dell’impedenza, come rapporto fra tensione e corrente media

= −

- sfasamento,

Per i bipoli elementari R,L,C abbiamo:

= 0

Resistore: = /2

Induttore: = −/2

Condensatore:

Come procedere:

- costruire il circuito di impedenze tramite i fasori

- risolverlo come un qualsiasi circuito lineare di resistori

- utilizzare le relazioni inverse per ritornare alle sinusoidi nel dominio del tempo

Potenza in regime sinusoidale

Consideriamo la potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale:

() ()

= ()() = cos( + ) cos( + ) →

1

() () [cos(

= − ) + cos(2 + + )]

2 :

Calcoliamo la potenza media assorbita nel periodo

1 1

⟨⟩ (

= ∫ () = cos &min