Appunti completi Meccanica razionale con esercizi svolti

CINEMATICA DEL PUNTO

Studiare il moto dei corpi con metodi DEDUTTIVI

DEF.

In meccanica per moto rispetto ad un osservatore si intende il cambiamento (nel tempo) della posizione (nello spazio) di un corpo.

Lo spazio è rappresentabile mediante uno spazio Euclideo 3-dimensionale il quale permette di esprimere un qualsiasi vettore w come combinazione lineare di 3 vettori linearmente indipendenti di modulo unitario e tra loro mutuamente perpendicolari.

W = X₁ C₁ + X₂ C₂ + X₃ C₃

C₁, C₂, C₃: versori (base)

X₁, X₂, X₃: 3 unici reali che rappresentano le componenti del vettore w lungo 3 assi cartesiani ortogonali diretti come C₁, C₂, C₃

X₁C₁ X₂C₂ X₃C₃ : componenti di w rispetto alla terna di assi assegnata.

ε(X₃)

P(t)

c₃

c₁ O c₂

i_p

x_p

y(X₂)

j_p

(x_i)

OP: Vettore posizione o raggio vettore

Individua la posizione di un punto P nello spazio

Le componenti di OP sono le coordinate cartesiane di P rispetto al sistema di riferimento con origine in O e assi diretti come i versori e₁, e₂, e₃.

(Indichiamo Σ (O, x₁, x₂, x₃) tale riferimento e lo supponiamo fisso).

DEF.

Il tempo, in accordo con il modello Newtoniano, è considerato una grandezza fisica assoluta, ossia il suo scorrere non dipende dal sistema di riferimento e dal moto del corpo. Esso è quindi universale (ovvero ottenere un preciso significato alla nozione di eventi simultanei (avvengono nel medesimo istante di tempo anche quando si verificano in punti distanti dello spazio).

In termini matematici è rappresentato da uno spazio euclideo unidimensionale e orientato, i cui punti sono detti istanti.

La osservazione del moto è completata dalla introduzione nell'ambiente spazio-temporale di un OSSERVATORE fornito di un sistema atto alla misura del tempo (Es. orologio). Tale osservatore è spesso identificato nella pratica con il sistema di riferimento, ossia con gli assi, rispetto a cui il moto è descritto.

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Definiamo ora le grandezze che caratterizzano il moto

Velocità scalare istantanea del punto P

v(t) = _ds/_dt = _ṡ

Accelerazione scalare istantanea di P

a(t) = v̇(t) = _d²s/_dt² = _s̈

Se anzichè di descrivere s = s(t) (scalare) si descrive il vettore OP = OP(t) si può conoscere anche direzione e verso:

Velocità vettoriale istantanea di P

v̇(t) = _dOP/_dt = _dP/_dt = ṗ(t) = v̇(t) ė(t)

Accelerazione vettoriale istantanea di P

ȧ(t) = _dv̇/_dt = _d'OP/_dt' = _d'P/_dt' = ṗ(t) ė(t)

NB: Per trovare il vettore dato le componenti basta derivare le componenti:

OP(t) = x₁(t) ē₁ - x₂(t) ē₂ - x₃(t) ē₃

v̇(t) = ẋ₁(t) ē₁ - ẋ₂(t) ē₂ - ẋ₃(t) ē₃ (1,2,3)

ȧ(t) = ẍ₁(t) ē₁ - ẍ₂(t) ē₂ - ẍ₃(t) ē₃ (1,2,3)

Le componenti del vettore sono x₁, x₂ e x₃ del vettore a sono ẋ₁, ẋ₂, ẋ₃

Quando un moto è piano risulta molto comodo introdurre la nozione di velocità areale del punto P. Detto A(t) l’area spazzata dal raggio vettore OP(t)

DEF.

Si chiama velocità areale (rispetto ad O) del punto P la derivata temporale, Ā(t) della funzione A(t) ed è facile dimostrare che

Ā(t) = lim(∆t→0) [A(t+∆t) - A(t)] / ∆t = lim(∆t→0) ∆A / ∆t = 1/2 ρ²(t) ṯ(t)

VELOCITÀ AREALE

Ā(t) = 1/2 ρ(t)² ṯ(t)

Ā(t) = dĀ/dt = ρρ̇ ṯ + 1/2 ρ² ⨍ = L²/2 (2ρ ṯ̇ + ṯ̈) = L²/2 a₀

ACCELERAZIONE AREALE

p̈(t) = L²/2 a₀

NB Se a₀ = 0 (ovvero tutta l'accelerazione del punto è radiale) segue che

Ā =0 → Ā costante

La velocità areale di P si mantiene così costante durante il moto e fornisce un esempio di quello che in dinamica chiamiamo INTEGRALE PRIMO DEL MOTO

Es. pianeti intorno al Sole

Dati

OP₀ e v₀ sono costanti ordinarie che rappresentano la posizione e la velocità iniziali del punto P. Se il punto è usualmente sull'origine O del sistema di riferimento (così P₀=0) si può scrivere l'equazione vettoriale del moto nella forma

OP(t) = ½ · ĝ · t² + v₀t

Poisiché OP(t) è combinazione lineare dei due vettori ĝ e v₀, quest'ultimo implica che il moto del punto debba avvenire sul piano di questi vettori che passa per la posizione iniziale P₀:

IL MOTO DI UN GRAVE È PIANO.

Poniamo allora un tale piano che supponiamo essere, di ora in poi, il piano Oxy ed assumiamo le seguenti condizioni iniziali:

• OP₀ = (x₀, y₀) ≡ (0,0)
• v₀ = (v_0x, v_0y) ≡ (v₀ cos α, v₀ sen α)

Dove indichiamo con α l'angolo che il vettore velocità forma usualmente con l'asse Ox del sistema di riferimento e ĝ = (0,-g)

Dalla seconda equazione si trova subito che quando P raggiunge il suolo, e indichiamo con t^* tale istante, si ha

y(t^*) = y₀ - ¹/₂gt^*2

¹/₂ y₀

Dal fatto che a = g (v^* - g t^* + v₀) si ottiene anche subito il modulo della velocità con cui il punto giunge a terra

v^* = g t^* = g ¹/₂^y₀/_g = ¹/₂gy₀

Un punto (corpo) lasciato libero di cadere da un'altezza H con velocità nulla sullo raggiunge il suolo dopo un tempo t = ^2H/_g e con velocità (in modulo)

v^* = ²/_gH

NB:

Da quest'ultimo si trae che se H -(ad esempio una pacca di prugna che cada da un'altezza H = 3000 m) raggiunge il suolo con una velocità di circa 900 km/ora! Ovviamente ciò è assurdo e non corrisponde alla realtà:

Un modello più consono a realtà prende

• A: Presenza di aria
• B: Tensione della rotazione della Terra (col sistema di riferimento cui essa collegato)

VINCOLI

Se consideri un sistema meccanico costituito da N puntiP₁, P₂, P₃ (s=1,2,..,N). Se tali punti possono occuparequalsiasi posizione nello spazio, il sistema si diceLIBERO e in caso contrario VINCOLATO (così vale anche conun singolo punto P)

DEF.

Un sistema di un punto possono assumere qualsiasiposizione si dice libero. Un sistema di punti sidice vincolato se le posizioni e/o le velocità dei puntisono legate da relazioni che ne limitano la variabilità.

DEF.

Chiamiamo vincolo ogni dispositivo atto a limitarele posizioni e/o le velocità dei punti del sistema.

La presenza di vincoli in un sistema meccanico èesprimibile matematicamente mediante una o piùrelazioni tra le coordinate e le velocità dei puntiche costituiscono il sistema.L'esame di tale relazioni è nel caso più generale

EQUAZIONE DIVINCOLO

Essendo f una funzione che verrà supposta esseresufficientemente regolaresi generico punto del sistemasia la velocità che i vettori posizione sono funzione del tempo