Appunti completi di "Scienza delle costruzioni"

BERRETTONI M.

EDIZIONI LAMASELCE

TERRA EDIZIONE

SCIENZA

delle

COSTRUZIONI

DISPOSIZIONE

GUSELLAS23. Strutture, GIOVEDÌ 16.30 in poi

TESTI:

• Scienza delle Costruzioni. CAPURSO
• Scienza delle Costruzioni. VIOLA
• X Approfondire. BALDACCI

MECCANICA DEI CONTINUI

PASSAGGIO DALLE SOLLECITAZIONI. (TAGLIO, FORZA ASSIALE, MOMENTO) ALLE TENSIONI ALL'INTERNO

SISTEMA CONTINUO

Consideriamo un CORPO MATERIALEAnalizziamo il comportamento del corpo NON sulla base della STRUTTURA MOLECOLARE e dei relativi legami, questo riguarda la scienza dei materiali.

Si suppone che il contenuto sia distribuito con CONTINUITÀ nel VOLUME occupato riempiendo con continuità lo spazio.

➡ Si ha quindi il “SOLIDO CONTINUO” o CONTINUO

1^o POSTULATO FONDAMENTALE

Quindi dobbiamo introdurre il concetto di TENSIONE

TENSIONE

Prendiamo il continuo e lo si suppone in equilibrio.Prendiamo un piano e tagliamo in 2 il continuo (che racchiude l’universo nello spazio).

Il continuo si divide in 2 continui non in equilibrio.Il piano, che si descrive con una normale, è di normale f. che ha 3 componenti (n_x, n_y, n_z).

POSTULATO DI EULERO

È possibile ottenere l’equilibrio del pezzo I applicando sulla superficie di taglio le azioni che il pezzo II applicava sul pezzo I prima del taglio.

Analogamente per il pezzo II.

Queste azioni sono uguali e contrarie.

Prendiamo un punto P (non la superficie di taglio).Consideriamo un’area nell’intorno del punto P.

Analisi della Tensione

Abbiamo concluso con la lezione precedente che, considerato un continuo immerso con continuità nello spazio preso un punto P sul continuo e preso un piano π passante per P (tale che l'area dell'intorno del punto P ∈ π) di giacitura di normale n, sul punto P vi agisce una TENSIONE _P,π.

Tale Tensione in generale NON È PARALLELA al versore n.

Essa dipende dal punto e dal piano, quindi cambiando uno dei due cambia anche il vettore tensione.

In ogni punto ho infinito alla 3 tensioni, perché 3 sono le componenti della tensione.

• n = i

  t,x = (σxx σxy σxz)

• n = j

  t,y = (σyx σyy σyz)

  _{3 tensioni principali}
• n = k

  t,z = (σzx σzy σzz)

Teorema di Cauchy:

È sufficiente conoscere la tensione t_n su tre giaciture ortogonali per poter definire la tensione su qualsiasi altra giacitura.

Sappiamo dalla geometria che l'operatore che associa un vettore ad un altro vettore prende il nome di tensore.

Nel caso della tensione abbiamo perciò che:

_tn = [_σ] · _n

L'operatore [_σ] associa al versore n il vettore della tensione t_n.

La matrice dello stato tensionale è un tensore

_σ = [_σ] prende il nome di tensore delle tensioni

_σ = [_σ] =

[ _{σxx σyx σzx} ][ _{σxy σyy σzy} ][ _{σxz σyz σzz} ]

Tensore delle tensioni rappresentazione matriciale del tensore delle tensioni

_tn = _σ · (_n)

Forma tensoriale del teorema di Cauchy

Pertanto, fissato un punto P sul continuo e ed un versore _n del piano passante per P, il tensore _σ associa al versore _n il vettore _tn relativo al piano.

_{t j} = _σij · (n_i)

Forma indiciale del teorema di Cauchy

Vale la regola degli indici uguali e ripetuti

_t1 = _σ11 · _n1 + _σ21 · _n2 + _σ31 · _n3

_j = 3

_i = 3

_t2 = _σ12 · _n1 + _σ22 · _n2 + _σ32 · _n3

_t3 = _σ13 · _n1 + _σ23 · _n2 + _σ33 · _n3

Hp: [D] ∈ ℜ^3x3

∃ On_I = σ_I ∈ ℜ con I=1,2,3

Quindi l'eq. cubica in On_n, On³-I₃On²-I_2OnI-II=0

utilizza li₃l, è un da come soluzioni.

σ_I, σ_II, σ_III ∈ ℜ

presiduano le curve di COMPONENTI DI TENSIONE PRINCIPALI.

Per determinare quindi le direzioni normali in bastene l'usierre e valure On (n=I,II,III) sedlle matrice ([σ] - σI [I]) e trovare

la CORRISPONDENTE DIREZIONE n_I (i = I,II,III).

Quindi:

• t_nI = σ_In_I
• t_nII = σ_IIn_II
• t_nIII = σ_IIIn_III

σ_I, σ_II, σ_III sono gli AUTOVALORI

n_I, n_II, n_III sono gli AUTOVERSORI

n_y - 2n_x - n_z = 0

n_y + 2n_z - n_z = 0

n_y + n_z = 0 ; m_y = -n_z

n_z² + n_y² + n_z² = 1

√3n_z² = 1

n_z = ± ¹⁄_√3

h_II = ¹⁄_√3

3) σ_II = 2

5n_x + n_y + n_z = 0

n_x + 2n_y + 2n_z = 0

10n_x - 2n_y - 2n_z = 0

n_x + 2n_y + 2n_z = 0

41n_x = 0 n_x = 0

d o i⁸⁹ => n_y = -n_z

• I₁ ≠ 0
• I₂ ≠ 0
• I₃ = 0

STATO DI TENSIONE PIANO (BIASSIALE)

σ_ij =

• 0 0 0
• 0 σ_MM 0
• 0 0 σ_ZZ

Nel SIST. RIFERIMENTO PRINCIPALE

• I₁ = σ_MM + σ_ZZ
• I₂ = σ_MM・σ_ZZ

• I₁ ≠ 0
• I₂ ≠ 0
• I₃ ≠ 0

STATO DI TENSIONE TRIASSIALE

σ_ij =

• σ_ΦΦ 0 0
• 0 σ_MM 0
• 0 0 σ_ZZ

Nel SIST. RIFERIMENTO PRINCIPALE

• I₁ = σ_ΦΦ + σ_MM + σ_ZZ
• I₂ = σ_ΦΦ・σ_MM + σ_ΦΦ・σ_ZZ + σ_ZZ・σ_MM
• I₃ = σ_ΦΦ・σ_MM・σ_ZZ

Inoltre, in uno STATO DI TENSIONE TRIASSIALE abbiamo che:

• ESISTE SEMPRE una TENSIONE NORMALE O MASSIMA σ_ΦΦ
• - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
• O MINIMA σ_ZZ

Qualsiasi giacitura h che prendiamo ha una TENSIONE NORMALE

σ_h compresa fra σ_MAX e σ_Min

σ_ΦΦ ＞ σ_h ＞ σ_ZZ