Appunti completi di Psicometria, prof. Finos e Robusto, libro consigliato "Statistica per le decisioni - la conoscenza umana sostenuta dall'evidenza empirica", Piccolo

MOD. A: MISURARE: CHI E COME

MISURA E INCERTEZZA: CHI MISURIAMO? Studiare un fenomeno significa descriverlo, capirne

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possibilmente il funzionamento e saperlo prevedere con una certa accuratezza. Per descrivere fenomeni

anche molto complessi è spesso utile usare numeri e categorie, ad esempio punteggi di intelligenza o di

ansia, patologie, attitudini, atteggiamenti. Ovviamente, lo stato di salute è molto più complesso di una

semplice risposta ‘sano/malato’ e ogni descrizione, inoltre, ha un grado di soggettività. Consci di questo, si

cerca di descrivere il fenomeno in modo da coglierne gli aspetti salienti (sintesi delle informazioni): la

quantificazione è una riproduzione sintetica ed analogica della realtà. La scienza, infatti, ha bisogno di

quanta più oggettività possibile per costruire una piattaforma di conoscenza comune, garantire la

riproducibilità e la replicabilità dei risultati. Ad ogni modo, nessuno crede che i numeri possano descrivere

completamente una realtà complessa come l’essere umano, ma sicuramente aiutano a capirlo meglio,

andando a ridurre la complessità dei fenomeni e facendo emergere i tratti più importanti (addirittura, G. Box

disse che tutti i modelli, ossia tutte le quantificazioni della realtà, sono sbagliati, e che solo qualcuno è utile).

Pertanto, pur essendo evidente il rischio di tale “semplificazione”, ciò costituisce una necessità.

La misurazione avviene sull’unità statistica, ossia l’elemento di base della popolazione sul quale viene

effettuata la rilevazione di uno o più fenomeni oggetto d’indagine (es. le unità statistiche di un’indagine

sull’uso problematico di Facebook sono gli utenti stessi). D’interesse per il ricercatore non è l’unità statistica

in sé, bensì l’informazione che porta nell’analisi, in una visione d’insieme. La popolazione è l’insieme di

tutte le unità a cui fa riferimento l’osservazione, ovvero l’insieme degli elementi che forma oggetto di uno

studio statistico (es. l’insieme degli utenti di Facebook), non necessariamente un insieme biologico (può

essere costituito, ad esempio, dalle lampadine prodotte da una certa azienda in un dato periodo di tempo).

In molti casi, però, risulta impossibile o quantomeno difficile misurare tutte le unità della popolazione di

riferimento, ad esempio perché si può trattare di un insieme molto ampio o “astratto”. Ad esempio, se

vogliamo valutare l’efficacia di un trattamento terapeutico su certi pazienti (che sono le unità statistiche che

compongono la popolazione), magari rispetto ad una terapia standard, ci aspettiamo che questo confronto

valga per tutti i pazienti, anche per quelli futuri non ancora malati. Le conclusioni devono valere su una

popolazione ampia, in qualche modo “universale”, per essere di maggiore utilità. Pertanto, ci si limita a

studiare statisticamente un sottoinsieme della popolazione, ovvero un campione, un insieme limitato e

circoscritto, quanto più possibile rappresentativo della popolazione (il campione viene scelto in modo tale

che riproduca in piccolo la popolazione). Dunque, a partire dalla misurazione delle unità statistiche del

campione estratto dalla popolazione, si fa una sintesi dei dati raccolti; questa, sulla base della

rappresentatività del campione, può permettere la generalizzazione delle conclusioni all’intera popolazione.

Quindi, in un primo momento si descrive la massa dei dati statistici, sintetizzandoli (statistica descrittiva).

Successivamente, le informazioni ottenute dalla statistica descrittiva vengono, attraverso un procedimento

metodico, estesi alla popolazione (statistica inferenziale o inferenza statistica); quest’ultimo procedimento,

che va dal particolare (campione) al generale (popolazione), è il processo di induzione (inferenza). Quindi,

l'inferenza statistica è il procedimento (insieme di metodi) per cui si inducono le caratteristiche di una

popolazione dall’osservazione di una parte di essa, il campione.

estrazione casuale del

inferenza su misura e sintesi

Quest’inferenza, oltre ad un processo induttivo, è anche una misura probabilistica dell’incertezza relativa al

valore della grandezza misurata quando questa viene estesa alla popolazione (inferenza = incertezza +

induzione). È, infatti, compito dell’inferenza statistica esprimere correttamente tale incertezza. In questo

senso, l’inferenza statistica quantifica l’incertezza intrinseca nell’esperimento.

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MISURA E INCERTEZZA: COME MISURIAMO? La variabile è il fenomeno oggetto di studio, rilevato o

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misurato sulle unità statistiche (se non fossero variabili, ma costanti, sarebbero di scarso interesse). Nel

caso di un questionario, le singole domande costituiscono le variabili (esempi di variabili: età, religione, m 2

della propria abitazione, titolo di studio più elevato…). L’insieme di valori che può assumere una variabile

costituisce il dominio della variabile stessa, ad esempio l’insieme delle possibili risposte ad una domanda

(alla domanda sul genere, il dominio è composto da due elementi: “femmina” e “maschio”). Tutti gli

elementi che compongono il dominio devono essere esaustivi, ovvero devono sempre poter essere

assegnati a un valore, ed esclusivi, ovvero deve esserci un unico valore possibile per ogni elemento. Ad

esempio, se alla domanda “quante volte al giorno controlli il tuo profilo Facebook?” seguissero le risposte

“A) 1 o 2, B) da 3 a 5, C) da 5 a 10, D) oltre a 10”, chi non controlla mai il suo profilo non troverebbe una

risposta adeguata (risposte non esaustive), mentre chi lo controlla 5 volte non saprebbe se rispondere B o

C (risposte non esclusive). La modalità è l’espressione concreta mediante la quale la variabile si manifesta

nelle unità statistiche, ossia è il numero o l’attributo rilevato. Sulla base di ciò, le variabili si distinguono

rispetto alla loro natura metrica: si parla di variabili quantitative se le modalità sono numeri (es. età, altezza,

temperatura, tempo impiegato, n° di clienti…) e di variabili qualitative in tutti gli altri casi (es. religione, stato

civile, nazionalità, stato d’animo…). Le variabili qualitative si distinguono in nominali e ordinali, mentre le

variabili quantitative si distinguono in quantitative su scala intervallo e quantitative su scala rapporto:

• Variabile categoriale nominale è composta da categorie che non possono essere ordinate, ovvero è

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una variabile le cui modalità non assumo alcun ordine precostituito. Ad esempio, il genere (F/M), il colore

degli occhi (castani/neri/verdi/azzurri), nazionalità, ecc. Il confronto tra le unità statistiche permette solo di

stabilire se possiedono le stesse modalità oppure no (cioè se sono uguali o diversi).

• Variabile categoriale ordinale è composta da categorie che possono essere ordinate, ovvero è una

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variabile le cui modalità sono logicamente sequenziali, in ordine crescente o decrescente, sulla base di un

criterio, anche se non è possibile attribuire un valore numerico alla distanza tra le modalità. Dunque, si può

stabilire una relazione di ordine tra i vari elementi. Ad esempio, “quanto ritieni sarà difficile per te

apprendere i contenuti di questo corso?” (Praticamente impossibile / Molto difficile / Impegnativo, ma ce la

farò / Facile, mi sento molto portato).

• Variabile quantitativa su scala intervallo la scala intervallo è una scala in cui è possibile misurare la

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distanza tra due punti. Il rapporto tra due intervalli è indipendente sia dall’unità di misura, sia dalla posizione

dello zero, che sono entrambi arbitrari. Ad esempio, lo 0 nella scala Celsius corrisponde a 32° in gradi

Fahrenheit, perciò è relativo*. Però, in ogni caso, l’acqua a 30° è 20 gradi più calda di quella a 10°. Altro

esempio: in un questionario, la variabile “anno di nascita” è su scala intervallo. Infatti, uno studente nato nel

1930 è 20 anni più vecchio di uno nato nel 1950. Diversamente, in una scala categoriale ordinale, non si

può dire che la risposta “Impegnativo, ma ce la farò” sia di 1 più grande di “Molto difficile”. Tantomeno in

una scala categoriale nominale, in cui non possiamo neppure stabilire un ordine (es. nazionalità, genere…).

* ATTENZIONE: nella scala Kelvin (K), però, 0 K= zero assoluto, perciò si parla di scala rapporto.

• Variabile quantitativa su scala rapporto la scala rapporto ha le stesse proprietà della scala intervallo,

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ma lo zero non è arbitrario: esso coincide con l’assenza del fenomeno misurato. Possibili esempi sono il

tempo di reazione ad uno stimolo, l’altezza di una persona, n° dei tatuaggi che ha sul corpo, n° di volte in cui

si accede a Facebook in un giorno… Ad esempio, nella scala intervallo, diversamente che nella scala

rapporto, l’acqua a 30° non è 3 volte più calda di quella a 10° (vedere pagina successiva per spiegazione

un bambino nato nel 2000 non è nato duemila volte dopo uno nato nell’anno 1. Si noti,

dettagliata). Oppure,

però, che la variabile “età” (= anno corrente – anno di nascita) è una variabile su scala rapporto. Infatti, una

persona di 100 anni ha vissuto cento volte più tempo di un bambino di 1 anno.

Si noti, inoltre, che le modalità che le variabili quantitative possono assumere coincidono: 1) con numeri

interi non negativi (ossia l’insieme dei numeri naturali o un suo sottoinsieme proprio, che il prof chiama

“conteggi”), e in questo caso si parla di variabili discrete (es. n° di clienti in attesa, n° nati vivi in una

regione…); 2) oppure, in linea di principio, con un qualsiasi valore contenuto in un intervallo reale, e in

questo caso si parla di variabili continue (es. peso, altezza, età, temperatura, tempo impiegato…).

Ovviamente, in pratica, avviene una discretizzazione di variabili che sul piano concettuale sono, invece,

continue (ad esempio, per via dei limitati strumenti di misura o per praticità vedi pag. 43 del libro).

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LE SCALE DI MISURA Sulla base di quanto appena visto, a seconda delle caratteristiche dei dati, questi

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possono essere riportati su una o più scale di tipo diverso:

- Le scale nominali rispettano solo la proprietà per cui elementi diversi corrispondono a stati diversi di una

condizione, perciò dividono i dati in classi di elementi o categorie e permettono solo l'equivalenza tra gli

elementi di una stessa classe.

- Le scale ordinali, oltre all'equivalenza degli elementi all'interno di una stessa classe, hanno la proprietà di

poter stabilire una relazione di maggioranza/minoranza tra le classi, ma non è ancora possibile determinare

l'esatta distanza tra loro.

- Le scale a intervalli, oltre alle caratteristiche delle scale precedenti, hanno la proprietà di disporre le classi

(numeri) a intervalli uguali, ma possiedono uno zero convenzionale, non assoluto.

- Le scale di rapporto, oltre alle proprietà delle scale precedenti, hanno anche uno zero assoluto, che

denota lo stato in cui è assente il fenomeno misurato, così da poter calcolare il rapporto tra i valori.

N.B: Da una scala più complessa è sempre possibile scendere a una scala più semplice, seppur con perdita

di informazioni (ad esempio da una scala di altezze misurate in centimetri è possibile passare ad una scala

del tipo basso, medio, alto), mentre di solito non è possibile il contrario.

Perché non si può dire che l’acqua a 30° sia 3 volte più calda di quella a 10°?

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ESEMPIO: ammettiamo di non conoscere lo zero assoluto di un fenomeno F (es. temperatura), perciò

stabiliamo uno zero convenzionale e, conseguentemente, una scala a intervalli. Mediante un opportuno

strumento tarato su questa scala, misuriamo F in due oggetti, a e b: risulta che a = 5 unità, mentre b = 10

unità. Non possiamo però affermare che b è il doppio di a rispetto a F (rapporto b/a=2), ma solo che tra a e

b corrono 5 intervalli. Ammettiamo, infatti, di

aver individuato lo zero assoluto di F. Se lo

zero assoluto dista 10 intervalli dallo zero

convenzionale, misurando F in a e b

secondo la nuova scala risulta che a=15 e

b=20: pertanto il valore del rapporto b/a non

è 2 (quindi b non è il doppio di a), ma 4/3

(20/15).

Così, essendo il quoziente d'intelligenza espresso da una scala a intervalli, poiché non sappiamo quale sia il

punto di assenza d'intelligenza, non possiamo dire se un individuo ha il doppio o la metà d'intelligenza di un

altro, ma solo che tra i due corre un certo numero d'intervalli.

APPROFONDIMENTO SULLE SCALE DI MISURA Misurare significa assegnare dei valori numerici a

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oggetti o eventi secondo delle regole che consentono di rappresentarne le proprietà attraverso un sistema

numerico. In psicologia, la base della misurazione è l'osservazione del comportamento. Infatti, sono presenti

due domini, ossia l’osservabile (es. il comportamento) e il latente (es. la mente). Noi misuriamo l’osservabile

cercando poi di costruire il latente. Spesso le variabili osservate (es. altezza, genere sessuale), ossia quelle

direttamente misurabili, vengono utilizzate come indicatori indiretti delle variabili latenti (es. risposte a un

test misurazione dell’ansia). Le variabili latenti (es. intelligenza, socievolezza, ansia), invece, non sono

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direttamente osservabili, ma sono misurabili solo per via indiretta, tramite appropriate variabili chiamate

indicatori. Le tecniche di scaling sono un insieme di procedure metodologiche ideate allo scopo di

osservare un concetto generale non direttamente osservabile (variabile latente), mediante la rilevazione dei

concetti specifici (indicatori), rilevati mediante una serie di frasi-stimolo, chiamati items, ovvero affermazioni

che il rispondente valuta localizzando la propria opinione su una certa scala di risposta. Adeguate modalità

di risposta determinano la qualità della misura. Dunque, le scale psicometriche vengono calcolate a partire

dalle risposte alle domande del test (gli item) e quasi sempre le riposte sono su scala ordinale e indicano il

grado di accodo con una frase. Le scale (latenti) si calcolano solitamente sommando questi item (dopo

averli eventualmente invertiti e trasformato le modalità in punteggi). La scala che ne risulta è un punteggio

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quantitativo. In particolare, tutte le scale psicometriche sono di tipo quantitativo su scala a intervalli

equivalenti. Non può trattarsi di scale a rapporti equivalenti perché lo 0 è sempre relativo. Risulta inoltre

Alcune domande (item) sono invertite, sono cioè poste in modo tale che risposte con valori alti indicano valori bassi

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in una delle scale latenti. 3

utile, anzi a volte indispensabile, conoscere i valori normativi dello strumento, cioè alcune caratteristiche

dello strumento (statistiche) misurate sulla popolazione o, per meglio dire, sul campione rappresentativo

della popolazione (es. media, deviazione standard e quantili). Ad esempio, solo conoscendo il valore medio

(o, meglio, i quantili) di ansia nella popolazione possiamo valutare l’ansia misurata su un soggetto,

osservando ad esempio se questa sia superiore o inferiore alla media.

STATISTICA DESCRITTIVA (PARTE 1)

IL DATASET

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La statistica descrittiva serve a scattare una prima fotografia ai dati raccolti. È utile per controllare,

descrivere ed esplorare i dati e serve a riassumere i dati attraverso indici statistici, tabelle e grafici. Non

esiste una buona analisi statistica, senza una buona analisi descrittiva. In tale ambito è molto diffusa la

presentazione dei dati nei cosiddetti dataset. Il dataset è una matrice di dati, ovvero una rappresentazione

tabellare mediante la quale si schematizzano le informazioni raccolte (es. le risposte) su ciascuna unità

statistica (es. gli studenti) in rapporto ad una molteplicità di variabili (es. età, altezza…). Ogni colonna del

dataset esprime tutti i valori di una variabile (quantitativa o qualitativa) rilevati sulle diverse unità statistiche.

Ogni riga del dataset, invece, esprime ordinatamente le rilevazioni su tutte le variabili ottenute per una

singola unità statistica, ovvero riporta tutte le misure raccolte su una unità statistica. Ad esempio, ciascuna

riga della matrice può essere costituita dalle risposte fornite da ciascuno degli studenti sottoposti ad un

questionario, mentre ogni colonna rappresenta le informazioni sulla specifica variabile fornite da tutti gli

studenti. Generalmente, il dataset viene costruito in un file Excel.

COME IMPORTARE DATI IN R DA EXCEL?

R non ha la capacità di interfacciarsi direttamente con gli applicativi di gestione dati come Excel. Pertanto,

per poter essere letto da R, il file Excel deve essere trasformato in file CSV (acronimo che sta per Comma-

Separated Values, infatti il file CSV non è altro che un file di testo che utilizza le virgole per separare i dati

contenuti all’interno delle singole celle di una tabella). Per farlo è sufficiente aprire il file di Excel, cliccare su

“file” in alto a sinistra, cliccare su “salva con nome”, scegliere il formato CSV ed infine salvare, così che

venga formato un nuovo file nel nuovo formato. Si noti che, così facendo, tutti i dati aggiuntivi presenti in un

foglio di calcolo (formule, la formattazione, etc.) andranno persi; un file CSV è costituito da solo testo e non

prevede funzionalità avanzate. Una volta fatto ciò, si può aprire R o R studio. Ora, bisogna dire