Appunti Completi di Analisi Matematica II

Calcolo Differenziale in Più Variabili

Grafico di una funzione reale di più variabili reali è l'insieme dei punti di R^m con coordinate (x, f(x)).

Per m=2 questo grafico vive nello spazio tridimensionale e può essere visualizzato. Per m≥3 il grafico vive in uno spazio di dimensione 4 e non è visualizzabile.

z = f(x)

C'è un altro modo di rappresentare graficamente una funzione z = g(x, y) ed è tracciando le sue linee di livello.

Si pensa alla superficie grafico di z come la superficie terrestre in una regione montuosa.

Le linee di livello sono allora quelle che si tracciano nelle carte topografiche.

Matematicamente, le linee di livello sono definite: g(x, y) = k

Esempi

La funzione g(x, y) = x² + y² è definita in tutto il piano, è sempre ≥ 0 e ha linee di livello x² + y² = c.

La funzione ha simmetria radiale: ha lo stesso valore nei punti che hanno la stessa distanza dall'origine (paraboloide).

La funzione g(x, y) = √(x² + y²) è definita in tutto il piano, è sempre ≥ 0 e ha linee di livello: √(x² + y²) = c.

Anch'essa ha simmetria radiale.

LIMITI E CONTINUITÀ PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

DEFINIZIONE DI SUCCESSIONE

Data una successione {x_k}_k=1^∞ di punti ℝⁿ e un punto x₀ ∈ ℝⁿ, si dice che:

• x_k → x₀ per k → ∞ se: |x_k - x₀| → 0 per k → ∞

DEFINIZIONE SUCCESSIONALE DI LIMITE DI FUNZIONE

Sia f: ℝⁿ → ℝ definita almeno in un intorno sferico* di x₀ ∈ ℝⁿ (escluso al massimo x₀) e sia L ∈ ℝ. Allora:

• lim_x→x0 f(x) = L

* Gli intorni sferici di un punto sono le (iper)sfere centrate in x₀. Precisamente, dato un punto x₀ ∈ ℝⁿ, si dice intorno sferico di x₀ un insieme del tipo:

• V_r(x₀) = {x ∈ ℝⁿ | |x - x₀| < r}

Per qualche r > 0, che si dice raggio dell'intorno, x₀ si dice anche centro dell'intorno.

Se per ogni successione {x_k}_k=1^∞ di punti ℝⁿ tale che x_k → x₀ per k → ∞ (con x_k ≠ x₀ ∀k), si ha:

• lim_k→∞ f(x_k) = L

DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA

Si dice che f: ℝⁿ → ℝ è continua in x₀ se lim_x→x0 f(x) = f(x₀).

TEOREMA DI PERMANENZA DEL SEGNO

Se f è continua in x₀ e f(x₀) > 0, allora f(x) si mantiene positiva almeno in un intorno di x₀, cioè esiste δ > 0 tale che f(x) > 0 purché |x-x₀| < δ.

Derivate Parziali

Definiamo il concetto di derivata per una funzione f₀: A ⊆ Rⁿ → R

La soluzione si ottiene incrementando solo una variabile alla volta, si può tenere costante il valore di x₀, e derivare la funzione di una variabile y ↦ h(y, x₀) nel punto x₀ o viceversa.

Il vettore che ha per componenti le derivate parziali di f₀ in (x₀, y₀) si dice gradiente di f₀ calcolato in (x₀, y₀) → (h, k) si indica con uno dei seguenti:

• ∇f₀(x₀, y₀)
• Df (x₀, y₀)
• grad f (x₀, y₀)

Esempi

Sia f(x, y) = x²y⁵

• ∂/∂x f(1, 2) = d/dx [f(1, x₂)]_{x = 1} = d/dx [x²y⁵]
• = (16x)_{x = 1} = 16

Sia ∂/∂x (4√(x, y))/(x, y) ≠ (0, 0)

Se si prova a calcolare formalmente, si ottiene una forma di indecisione.

∂/∂x (4√y/x) = y/8x^2/3 = 0/0

Sfruttando la definizione invece:

∂/∂x (4√y/x)(x, y) = (0, 0)

→ d/dx (x⁰√x)_{x = 0} = 0

... la derivata parziale rispetto a x nell'origine, esiste e vale zero.

Definizione

Una funzione f₀: A ⊆ Rⁿ → R si dice derivabile in un punto del suo dominio se in quel punto esistono tutte le sue derivate parziali; si dice derivabile in A se è derivabile in ogni punto di A.

Se f₀ è derivabile in un punto chiameremo ancora gradiente il vettore delle sue derivate parziali:

∇f_x(x) = (∂f₀/∂x₁(x), ∂f₀/∂x₂(x), ... ∂f₀/∂x_n(x))

1) Basta ricordare la definizione di differenziabilitá:

f(x₀+h) - f(x₀) = ∇f(x₀) ∙ h + Θ(|h|)

e applicarla all'incremento h = tv_i:

2) f(x₀+tv) - f(x₀) = ∇f(x₀) ∙ tv + Θ(t)

3) Ricordando che |v| = 1 dividendo per t

f(x₀+tv) - f(x₀) / t = ∇f(x₀) ∙ v + Θ(t) / t

4) Facendo tendere t a zero, otteniamo che

D_vf(x₀) = lim_t→0 f(x₀+tv_i) - f(x₀) / t = ∇f(x_i)∙v

poiché Θ(t) / t → 0

• Corollario: direzioni di massima e minima crescita

Sia f: A→ℝ con A aperto Rⁿ, f differenziabile in x₀ ∈ A allora il vettore ∇f(x₀) indica la direzione di massimo accrescimento di f, ossia la direzione corrispondente alla massima derivata direzionale. - ∇f(x₀) indica la direzione corrispondente alla minima derivata direzionale (che in generale è negativa). Infine, nella direzione ortogonale al gradiente, le derivate direzionali sono nulle.

Per dimostrarlo basta applicare la formula del gradiente e chiedersi per quale versore v il prodotto scalare ∇f(x₀)∙v é, rispettivamente, massimo, minimo, nullo.

Esempio

Sia f(x,y) = e^x + sin(2y). Calcoliamo le derivate direzionali nell'origine. Poiché f ∈ C¹(ℝ²) è sufficiente calcolare il gradiente.

∇f (x,y) = (e^x, 2 cos 2y)

∇f(0,0) = (1,2)

e applicare la formula del gradiente. Per ogni versore v=(cos ψ,sen ψ), si ha:

D_vf(0,0) = ∇f(0,0) ∙ v = (1,2)∙(cosψ,senψ) = cosψ + 2 sen ψ

In particolare, la derivata direzionale massima si ha per:

v = vers ∇f(0,0) = ( 1/^√5,2/^√5)

quella minima, per: v = ( -1/^√5, -2/^√5) mentre la derivata direzionale è nulla, per v = 1/^√5, -1/^√5

Teorema: Derivazione delle funzioni composte

Siano \( r: I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^N \) e \( f : A \subset \mathbb{R}^N \rightarrow \mathbb{R} \) e supponiamo che una funzione composta \( g(t) = f(r(t)) \) sia definita almeno in un intorno J di \( t_0 \in I \).

Se \( f \) è derivabile in \( r(t_0) \) e \( r \) è differenziabile in \( t_0 \), allora la funzione composta:

\( g: J \subset I \rightarrow \mathbb{R} \) è derivabile in \( t_0 \) e:

\( g'(t_0) = \nabla f(r(t_0)) \cdot \gamma'(t_0) = \sum_{i=1}^N \frac{\partial f}{\partial x_i}(r(t_0)) \gamma_i'(t_0) \)

Ortogonalità del gradiente con le curve di livello + dim

Sia \( f: \mathbb{R}^N \rightarrow \mathbb{R} \) differenziabile e \( f(x, y) = c \) l'equazione di una sua linea di livello.

Supponiamo che questa linea ammetta una rappresentazione parametrica regolare \( \gamma = r(t) \). Allora posto \( g(t) = f(r(t)) \), è per definizione \( g(t) = c \), dunque \( g'(t) = 0 \).

D'altro canto \( g'(t) = \nabla f(r(t)) \cdot \gamma'(t) \), cioè \( \nabla f(r(t)) \cdot \gamma'(t) = 0 \), cioè il gradiente è ortogonale in ogni punto alle linee di livello della funzione (infatti \( \gamma'(t) \) è tangente alla linea di livello).

Sia \( f: \mathbb{R}^N \rightarrow \mathbb{R} \) differenziabile in \( x_0 \), e \( f(x) = c \) l'equazione di una sua superficie di livello.

Supponiamo che questa superficie ammetta piano tangente in \( x_0 \).

Provare che \( \nabla f(x_0) \) è ortogonale alla superficie di livello in \( x_0 \) significa provare che è ortogonale a ciascuna curva regolare tracciata sulla superficie e passante per \( x_0 \).

Sia \( \gamma = r(t) \) una di queste curve, ciò significa che \( r(t_0) = x_0 \) e che \( g(t) = f(r(t)) = c \ \forall t \).

Dunque \( g'(t) = 0 \) e poiché \( g(t_0) = \nabla f(r(t_0)) \cdot \gamma'(t_0) \) riceviamo l'ortogonalità del gradiente \( \nabla f(x_0) \) con il vettore tangente alla curva \( \gamma'(x_0) \).Poiché questo vale per ogni curva con le proprietà dette, ne deduciamo l'asserto.