Appunti Completi di Analisi Matematica II

CALCOLO DIFFERENZIALE IN PIÙ VARIABILI

GRAFICO DI UNA FUNZIONE REALE DI PIÙ VARIABILI REALI È L'INSIEME DEI PUNTI VI IN ℝⁿ⁺¹ DI COORDINATE (x, f(x)).

PER n = 2 QUESTO GRAFICO VIVE NELLO SPAZIO TRIDIMENSIONALE E PUÒ ESSERE VISUALIZZATO. PER n ≥ 3 IL GRAFICO VIVE IN UNO SPAZIO DI DIMENSIONE > 4 E NON È VISUALIZZABILE.

A ⊆ ℝⁿ → ℝz = f(x)

C'È UN ALTRO MODO DI RAPPRESENTARE GRAFICAMENTE UNA FUNZIONE z = f(x,y) ED E' TRACCIANDO LE SUE "LINEE DI LIVELLO".

SI PENSA ALLA SUPERFICIE GRAFICO DI f COME LA SUPERFICIE TERRESTRE IN UNA REGIONE MONTUOSA.

LE LINEE DI LIVELLO SONO ALLORA QUELLE CHE SI TRACCIANO NELLE CARTE TOPOGRAFICHE!MATEMATICAMENTE, LE LINEE DI LIVELLO SONO DEFINITE: f(x,y) = k

ESEMPI

LA FUNZIONE f(x,y) = x² + y² È DEFINITA IN TUTTO IL PIANO, È SEMPRE ≥ 0 E HA LINEE DI LIVELLO x² + y² = c

LA FUNZIONE HA SIMMETRIA RADIALE: HA LO STESSO VALORE NEI PUNTI CHE HANNO LA STESSA DISTANZA DALL'ORIGINE (PARABOLOIDE)

LA FUNZIONE f(x,y) = √(x² + y²) È DEFINITA IN TUTTO IL PIANO, È SEMPRE ≥ 0 E HA LINEE DI LIVELLO √(x² + y²) = c

ANCH'ESSA HA SIMMETRIA RADIALE.

Calcolo differenziale in più variabili

Il grafico di una funzione reale di più variabili reali è l'insieme dei punti \(\left(x_1, ..., x_n, f(x)\right)\).

Per \(n = 2\) questo grafico vive nello spazio tridimensionale e può essere visualizzato. Per \(n > 3\) il grafico vive in uno spazio di dimensione \(n + 1\) e non è visualizzabile.

\(f : A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\)

\(z = f(x)\)

C'è un altro modo di rappresentare graficamente una funzione \(z = f(x,y)\), ed è tracciando le sue "linee di livello". Si pensa alla superficie grafico di \(f\) come la superficie terrestre in una regione montuosa. Le linee di livello sono allora quelle che si tracciano nelle carte topografiche. Matematicamente, le linee di livello sono definite: \(f(x, y) = k\).

Esempi

La funzione \(f(x, y) = x^2 + y^2\) è definita in tutto il piano, è sempre \(\geq 0\) e ha linee di livello \(x^2 + y^2 = c\).

La funzione ha simmetria radiale: ha lo stesso valore nei punti che hanno la stessa distanza dall'origine (paraboloide).

La funzione \(f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}\) è definita in tutto il piano, è sempre \(\geq 0\) e ha linee di livello \(x^2 + y^2 = c\).

Anche essa ha simmetria radiale.

Limiti e Continuità per Funzioni di Più Variabili

• Definizione Limite di Successione

Data una successione \([x_k]_{k=0}^{\infty}\) di punti \(\mathbb{R}^n\) e un punto \(x_0 \in \mathbb{R}^n\), si dice che:

\(x_k \to x_0\) per \(k \to \infty\) se: \(|x_k - x_0| \to 0\) per \(k \to \infty\)

• Definizione Successionale di Limite di Funzione

Sia \(f: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) definita almeno in un intorno sferico di \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) (escluso al massimo \(x_0\)) e sia \(L \in \mathbb{R}\). Allora:

\(\lim_{x \to x_0} f(x) = L\)

* Gli intorni sferici di un punto sono le (iper)sfera centrate in \(x_0\). Precisamente, dato un punto \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) si dice intorno sferico di \(x_0\) un insieme del tipo:

\(V_r(x_0) = \{ x \in \mathbb{R}^n : | x - x_0 | < r \}\)

Per qualche \(r>0\) che si dice raggio dell'intorno, \(x_0\) si dice anche centro dell'intorno.

Se per ogni successione \([x_k]_{k=0}^{\infty}\) di punti \(\mathbb{R}^n\)

tale che \(x_k \to x_0\) per \(k \to \infty\) (con \(x_k \neq x_0 \forall k\)) si ha:

\(\lim_{k \to \infty} f(x_k) = L\)

• Definizione di Funzione Continua

Si dice che \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) è continua in \(x_0\) se \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)

• Teorema di Permanenza del Segno

Se \(f\) è continua in \(x_0\) e \(f(x_0) > 0\), allora \(f(x)\) si mantiene positiva almeno in un intorno di \(x_0\), cioè esiste \(d>0\) tale che \(f(x)>0\) purché \(|x-x_0|