Appunti completi del corso "Principi di Ingegneria elettrica"

Modello fisico a parametri distribuiti

I fenomeni fisici vengono descritti con funzioni a 4 variabili: α(x,y,z,t)

Si basa sul concetto di campo, cioè la descrizione in coordinate spaziali.

Si usa quando servono le informazioni relative allo specifico fenomeno fisico.

Oppure quando si analizza il singolo componente elettrico.

Modello fisico a parametri concentrati

Riassumono con un valore numerico le proprietà di una porzione di spazio: β(t)

Tutto ciò che avviene all'interno di un unico volume viene descritto da un numero,

che varia solo col tempo.

Si usa quando si analizza l'interazione di più sistemi, cioè l'unione di più

componenti elettici.

Per passare dall'uno all'altro si integra rispetto allo spazio.

Distribuzione di velocità del fluido nel tubo:

Se il tubo è sufficientemente lungo, la velocità non dipende dalla z:

Prendiamo ora una superficie infinitesima dS, in cui possiamo assumere che la velocità

sia costante.

La quantità di fluido che passa attraverso questo dS in un intervallo dt è:

Per calcolare invece la quantità di fluido che passa nell'unità di tempo, si divide per dt:

derivata temporale (= derivata rispetto al tempo)

A questo punto è facile passare da un sistema all'altro:

Prendiamo uno spazio in cui avvengono fenomeni elettromagnetici, quindi in cui valgono:

Equazioni di Maxwell nei materiali: rotore

divergenza

- legge di Faraday: campo magnetico nei materiali

- legge di Gauss:

- legge di Ampere: spostamento dielettrico

(induzione elettrica)

- 4ª equazione di Maxwell:

+

-

-

-

Bipolo elettrico

Il bipolo elettrico è una superficie chiusa dalla quale fuoriesce una coppia ordinata di morsetti.

Proprietà del bipolo elettrico:

Tutti i fenomeni elettromagnetici avvengono all'interno della superficie, mentre

all'esterno non avviene niente.

La superficie del bipolo è una frontiera, cioè una barriera elettromagnetica.

La superficie è opaca, cioè è impermeabile ai campi elettrici e ai campi magnetici

esterni alla superficie.

L'elettrotecnica non studia i fenomeni interni alla superficie, ma studia cosa il

fenomeno interno produce misurato alla porta elettrica(la coppia di morsetti)

Attraverso i morsetti possono passare solo cariche.

La superficie dunque è permeabile ai trasferimenti energetici, che avvengono alla

porta del bipolo.

porta elettrica Affinché ci sia questo trasferimento energetico è necessario che il bipolo sia

collegato ad altri bipoli, per permettere alle cariche di scorrere.

Un insieme di più bipoli è chiamato circuito elettrico o rete elettrica.

Le due variabili integrali sono:

- Tensione: quantità di energia che viene scambiata

- Corrente: quantità di carica che viene scambiata

Corrente (di conduzione)

La corrente di conduzione è la grandezza fisica che descrive sinteticamente il moto delle cariche.

Lo strumento Amperometro è lo strumento di misura che permette di misurare la corrente

Definizione operativa: attraverso la sezione di un circuito elettrico.

Proprietà:

La corrente dipende esclusivamente dal conduttore che viene considerato

Preso un conduttore, la corrente è la stessa in ognuna delle sue sezioni

La corrente è una grandezza dotata di segno convenzionale

velocità di deriva

densità di carica ( definizione operativa )

carica che passa per la superficie dΣ

numero di portatori di carica per unità di volume

carica di singoli portatori

( definizione di Maxwell )

Amperometro

Misura la corrente che entra dal morsetto contrassegnato,

ed esce da quello non contrassegnato.

morsetto contrassegnato

La direzione corrente è definita dal movimento delle cariche positive.

Tensione (Differenza di Potenziale)

La tensione è quella grandezza fisica collegata alle forze che agiscono sulle cariche elettriche.

Le cariche sono in movimento, quindi abbiamo una forza per uno spostamento,

e questo darà origine ad un flusso di energia, quindi ad un lavoro compiuto dalle cariche.

Potenziale elettrico punto dove vogliamo calcolare il potenziale

Energia per unità di carica.

Potenziale elettrico di un punto r dello spazio:

punto lontano al di fuori del campo elettrico

Il campo elettrico rappresenta la forza per unità di carica; cioè la forza che

andrebbe ad agire su una carica di 1 Coulomb in un punto dello spazio.

Lavoro per unità di carica; cioè il lavoro

necessario per spostare una carica lungo un

percorso dl all'interno di un campo elettrico.

carica immersa nel campo elettrico

Quindi stiamo integrando un lavoro infinitesimo: il lavoro della forza di Coulomb lungo un tratto infinitesimo di traiettoria.

Il segno negativo indica il fatto che è una FORZA ESTERNA che agisce, cioè è il lavoro che devo compiere per far spostare la carica.

Quindi il potenziale elettrico è il lavoro compiuto da una forza esterna per portare una carica di 1 Coulomb

all'interno del campo elettrico.

Analizziamo ora il movimento di una carica all'interno del campo elettrico, non più da un punto esterno ad uno interno:

La carica che si muove da A a B è sempre soggetta ad una forza variabile.

Vogliamo calcolare il lavoro scambiato dalla carica lungo la traiettoria per unità di carica.

Poiché il campo elettrico è conservativo, posso scegliere una traiettoria qualunque,

quindi anziché considerare la linea retta, partiamo da A e usciamo dal campo, e poi

raggiungiamo B. In questo modo possiamo calcolare il lavoro per unità di carica

attraverso il calcolo dei potenziali.

Il lavoro per unità di carica per andare da un punto A ad un punto B, è

il potenziale nel punto finale, meno il potenziale nel punto iniziale.

È una grandezza energetica.

Quindi la tensione (differenza di potenziale) è la differenza tra i potenziali elettrici di due punti.

La differenza di potenziale quindi può essere descritta come:

- il lavoro compiuto dalle FORZE ESTERNE per spostare la carica dal punto INIZIALE al punto FINALE.

- il lavoro della forza di Coulomb(FORZA INTERNA) per unità di carica per muoversi dal punto FINALE al punto INIZIALE.

Si può osservare il passaggio dalle variabili distribuite(campo elettrico), alle variabili concentrate(potenziale).

Si può osservare un'analogia tra campo gravitazionale e campo elettrico:

massa <-----> carica

forza peso <-----> forza di Coulomb

ΔEp <-----> differenza di potenziale

Tra due punti qualsiasi di un circuito elettrico, lo strumento tensiometro(voltmetro) misura la grandezza

Definizione operativa: algebrica scalare tensione.

Voltmetro

Misura la differenza di potenziale tra due punti. la freccia è verso il punto di

fine traiettoria di integrazione

morsetto contrassegnato: indica il punto finale

La differenza di potenziale è una proprietà intrinseca del campo elettrico, e non dipende dalle cariche che si

muovono nel campo elettrico.

Quindi ci può essere differenza di potenziale, anche se non c'è nessuna corrente circolante, ovvero se non c'è

nessuna carica in movimento.

Proprietà:

La tensione misurata tra una coppia di morsetti, dipende esclusivamente dalla coppia di punti tra i quali viene calcolata

La tensione non dipende dal percorso di integrazione che si sceglie

La tensione è una grandezza algebrica scalare dotata di segno convenzionale

Potenza Quanto vale la potenza elettrica alla porta?

finale della traiettoria di integrazione che definisce la differenza di potenziale

iniziale (non è il verso del moto delle cariche)

Per la potenza esistono due convenzioni di misura:

Nel primo caso le cariche entrano dal morsetto in alto, ed escono da quello in basso, che

è ad un potenziale minore, quindi le cariche stanno perdendo potenziale.

Questo significa che all'interno del bipolo le cariche stanno cedendo energia.

Questo bipolo è un utilizzatore, e la potenza è detta potenza "assorbita".

Nel secondo caso, visto che la corrente è negativa, il moto delle cariche è opposto, quindi

stanno entrando dal morsetto in basso con un certo potenziale ed escono da quello in alto

ad un potenziale maggiore, quindi le cariche stanno acquistando potenziale.

Quindi le cariche che escono hanno un'energia maggiore rispetto a quando entrano.

Questo bipolo è un generatore, e la potenza è detta potenza "erogata".

Convenzione di misura degli utilizzatori: Convenzione di misura dei generatori:

Il prodotto V•I (positivo) rappresenta la Il prodotto V•I (positivo) rappresenta la

potenza elettrica ASSORBITA dal bipolo. potenza EROGATA dal bipolo.

Leggi di Kirchhoff

LKI - Correnti - (Legge di Kirchhoff ai nodi)

nodo Legge di Ampere:

assumiamo di essere in regime stazionario:

eguagliamo le divergenze:

la divergenza del rotore è uguale a 0:

Teorema della divergenza:

(teorema di Gauss) flusso attraverso la superficie

volume di integrazione

Gli unici punti della superficie in cui il flusso non è nullo, sono quelli dove la superficie interseca i fili. corrente di conduzione

perché è entrante,

quindi opposta a n

La legge di Kirchhoff alle correnti può avere più espressioni:

La somma delle correnti uscenti da un nodo, è uguale a zero.

La somma delle correnti entranti in un nodo, è uguale a zero.

La somma delle correnti entranti in un nodo, uguaglia la somma delle correnti uscenti.

La superficie S non può tagliare nessun bipolo, ma può includerli,

in questo caso non si parla più di nodi, ma di "supernodi".

LKV - Tensioni - (Legge di Kirchhoff alle maglie)

Legge di Faraday:

assumiamo di essere in regime stazionario:

Teorema del rotore:

(teorema di Stokes)

La somma algebrica delle tensioni lungo una maglia, è uguale a zero.

La linea l non deve per forza seguire dei lati su cui sono presenti dei bipoli,

può anche collegare due nodi che non hanno bipoli tra loro.

Condizioni di Max Abraham ( regime dinamico )

I segnali elettrici nel vuoto viaggiano alla velocità della luce.

C'è un piccolo "time delay", che è il tempo che il segnale ci mette a raggiungere il punto finale dopo essere partito.

Con la teoria delle reti non si possono descrivere sistemi che variano il proprio valore di tensione in modo troppo veloce.

Se il cambiamento invece è molto più lento, si può usare la teoria delle reti.

Il segnale ci mette un po' ad arrivare, e nel frattempo la tensione ha assunto valori diversi. Non si può usare.

Il segnale arriva istantaneamente, quindi la tensione ha sempre lo stesso valore sia quando parte che quando arriva. Si può usare.

Ci sono due possibili modi per esprimere le condizioni nelle quali si può usare la teoria delle reti:

Si può utilizzare la teoria delle reti:

- in regime stazionario

- in un regime dinamico quasi-stazionario, ovvero se il tempo necessario in cui ci sia una variazione

significativa delle tensioni e delle correnti sia molto maggiore al time delay.

Si può utilizzare la teoria delle reti:

- se la lunghezza d'onda del segnale che si propaga, è molto maggiore delle dimensioni fisiche

del sistema che si prende in considerazione.

Regime quasi-statico: regime dinamico, nel quale si possono trascurare gli effetti propagativi.

Bipoli

Equazione costitutiva:

L'equazione costitutiva di un bipolo correla le grandezze fisiche corrente e tensione:

- equazione costitutiva a corrente impressa:

- equazione costitutiva a tensione impressa:

La formalizzazione del modello matematico dei bipoli viene dedotta per via energetica:

Ogni bipolo è caratterizzato da:

- Un'energia accumulata all'interno del bipolo:

- Differenziale del lavoro elettrico (energia scambiata alla porta elettrica nel tempo):

- Differenziale del lavoro (energia trasformata dal bipolo e scambiata con altri sistemi fisici in modo reversibile):

- Calore prodotto dal bipolo: potenza termica

Classificazione energetica:

I "bipoli ideali" sono caratterizzati da una sola delle 3 trasformazioni energetiche.

Generatori ideali:

Formalizzano lo scambio reversibile di lavoro alla porta elettrica con altri sistemi interagenti.

La loro energetica quindi è caratterizzata da un continuo scambio di energia alla porta elettrica.

Ne esistono due tipi:

- generatore ideale di tensione

- generatore ideale di corrente

Bipoli conservativi:

Formalizzano lo scambio reversibile di lavoro alla porta elettrica con l'accumulo energetico interno al bipolo.

Sono specializzati nell'accumulo energetico, conservano al loro interno l'energia che gli arriva alla porta elettrica.

Possono anche erogarla.

Ne esistono due tipi:

- induttori: l'energia è immagazzinata sottoforma di campo magnetico.

- condensatori: l'energia è immagazzinata sottoforma di campo elettrico.

Resistori:

Formalizzano la conversione non reversibile di energia in calore.

Generatori Ideali

Generatore Ideale di Tensione

Vincola la tensione applicata alla porta elettrica.

Cioè mantiene fissa la tensione tra i suoi morsetti, qualunque sia la corrente circolante. curva voltamperometrica

Generatore Ideale di Corrente

Vincola la corrente erogata alla porta elettrica.

Cioè mantiene fissa la corrente tra i suoi morsetti, qualunque sia la tensione applicata.

Resistore

Dal calore prodotto, non si può tirare fuori la stessa quantità di energia usata per creare quel calore.

La tensione è proporzionale alla corrente.

Resistore lineare e tempo invariante Resistore NON lineare e/o tempo variante

Per essere un resistore la curva voltamperometrica deve stare nel

primo e terzo quadrante, e passare per l'origine, perché questi

quadranti sono gli unici dove la potenza è assorbita, e quindi positiva.

conduttanza

La potenza assorbita da un resistore è sempre maggiore di zero,

perché un resistore può solo assorbire potenza elettrica.

Casi particolari: (possono essere considerati sia come generatori ideali, che come resistori)

Corto Circuito

Bipolo che applica ai suoi morsetti una tensione nulla, qualunque sia la corrente erogata.

Può essere considerato come:

- generatore di tensione con e(t) = 0

- resistore con R = 0

Circuito Aperto

Bipolo che eroga ai suoi morsetti una corrente nulla, qualunque sia la tensione applicata.

Può essere considerato come:

- generatore di corrente con a(t) = 0

- resistore con G = 0

La potenza elettrica scambiata alla porta di questi bipoli è nulla, non c'è nessuna trasformazione energetica.

Bipoli Conservativi

Induttore

È un bipolo in cui la corrente che circola è la sorgente che genera il campo

magnetico all'interno del bipolo.

La sua equazione costitutiva rappresenta, in termini di tensione e corrente

di porta, la "legge dell'induzione elettromagnetica"(legge di Faraday).

Teorema di Stokes

passaggio dalla formulazione locale

a quella integrale

Rappresenta la tensione totale indotta ai morsetti del bipolo. Essa è dovuta alla variazione del

campo magnetico interno, e quindi alla variazione della corrente circolante, che ne è la sorgente.

Rappresenta il flusso concatenato del campo B al circuito.

In convenzione utilizzatori, la tensione misurata ai morsetti del bipolo V(t) è opposta alla tensione indotta e(t) dalla variazione

del campo di induzione magnetica(e quindi dal campo magnetico) prodotto dalla corrente I(t).

Non è ancora la formula che stiamo cercando, perché c'è una variabile esterna(dψ) e una interna(V(t)).

Il flusso concatenato è proporzionale alla corrente: induttanza

Induttore lineare e tempo invariante Induttore NON lineare e/o tempo variante

Equazioni di porta: L'induttanza dipende dal tempo:

-infinito indica quando è nato l'induttore

Corrente iniziale, riassume in un unico numero

tutto ciò che è accaduto prima del tempo t .

0

L'energia immagazzinata nell'induttore deriva dall'equazione di bilancio energetico:

Bisogna integrare i differenziali dell'energia. Bisogna sommare i differenziali energetici scambiati alla porta.

Induttore lineare e tempo invariante Induttore NON lineare e/o tempo variante

Cambiamo la variabile di integrazione,

ora integriamo rispetto alla corrente. L'area sottesa alla curva ψ-I rappresenta graficamente

l'energia immagazzinata nell'induttore.

Condensatore

È un bipolo in cui l'accumulo di cariche sulle

sue armature genera un campo elettrico.

La sua equazione costitutiva rappresenta,

in termini di tensione e corrente di porta,

la "legge della conservazione della carica". Teorema di Gauss

Rappresenta la totale corrente uscente dalla superficie chiusa S,

all'interno della quale viene accumulata la carica elettrica.

Rappresenta la carica complessiva nel volume Ω, delimitato dalla superficie S.

In convenzione utilizzatori, la corrente misurata ai morsetti del bipolo I(t) è opposta alla corrente uscente dalla superficie S.

La carica accumulata è proporzionale alla tensione: capacità

Condensatore lineare e tempo invariante Condensatore NON lineare e/o tempo variante

Equazioni di porta: La capacità dipende dal tempo:

L'energia immagazzinata nell'induttore deriva dall'equazione di bilancio energetico:

Condensatore lineare e tempo invariante Condensatore NON lineare e/o tempo variante

L'area sottesa alla curva q-V rappresenta graficamente

l'energia immagazzinata nel condensatore.

- Dove c'è un accumulo di energia, il legame di porta è integro-differenziale.

- Dove c'è una dissipazione di energia, il legame di porta è algebrico.

Unità di Misura

Corrente: Ampere [A]

Tensi