Appunti completi del corso "Metodi di calcolo delle strutture"

Deformazioni e azioni interne nella trave

Coppia M(b) nell'estremo B della trave dovuta allo spostamento v = 1 e rotazione φ = 0 allo spostamento v = 0 e rotazione φ = 1

Risolvendo il sistema:

Noti gli spostamenti e le rotazioni in B si possono ricavare le funzioni:

A questo punto tramite le equazioni di congruenza si possono ricavare le deformazioni generalizzate, e da queste si possono ricavare le azioni interne:

(dato che abbiamo assunto che la deformazione assiale e da taglio fosse nulla, azione assiale e taglio si ricavano dall'equilibrio) (caso per W > Fb)

Reazioni vincolari:

Esempio:

Struttura isostatica (con carico distribuito)

Il metodo funziona per qualsiasi funzione generica, adesso però per semplicità scegliamo le equazioni di congruenza che abbiamo ricavato nel precedente esercizio:

Equazione dei Lavori Virtuali: dato che la cinematica è governata da due parametri cinematici, bisogna sostituire entrambi:

Come visto negli

altri esempi, la prima equazione rappresenta un equilibrio alla traslazione verticale del nodo B, mentre la seconda un equilibrio alla rotazione sempre del nodo. Possiamo verificarle. Per verificarle, e dare un'interpretazione meccanica, consideriamo un problema diverso: reazione vincolare cedimento dell'estremo B. Non c'è distinzione tra struttura reale e ausiliaria in questo caso, perché entrambe le travi si considera sia la statica che la cinematica, quindi entrambe dovranno essere equilibrate e congruenti. Consideriamo questa volta travi identiche, anche dello stesso materiale. (È un'identità) In questo caso l'equivalenza tra Li e Le coinvolge quantità statiche già in equilibrio, e quantità cinematiche già congruenti, quindi questa equivalenza non impone più come conseguenza una delle due cose (a seconda di che PLV si usa). In questo caso si ottiene che Li e Le sono uguali come identità, quindi.

è come se Li = Le fosse la conseguenza del fatto che le quantità statiche sono già in equilibrio e quelle cinematiche già congruenti, non va imposto.

Noi però non vogliamo trovare l'identità, ma vogliamo usare questa cosa per interpretare il termine integrale che coinvolge il carico distribuito nelle equazioni di equilibrio che abbiamo già ottenuto prima. Per fare ciò:

Integrazione per parti applicata 2 volte: dato che le due travi sono uguali, la rigidezza flessionale è la stessa dato che la curvatura della struttura di sinistra è congruente.

Siccome la trave a sinistra ha due incastri: (ma a sinistra non c'è nessun carico distribuito)

Quindi qualunque sia il carico applicato alla trave AB si ha che:

Ma questo significa che anche il lavoro esterno è nullo: è proprio la prima equazione di equilibrio (è la forza trasversale applicata alla trave in B).

Se si considera un'altra struttura "ausiliaria",

che ha è proprio la seconda equazione di equilibrio una rotazione φ* invece che uno spostamento v*: B B (è la coppia applicata alla trave in B) Quindi: per sapere la forza equivalente che va a sostituire l'espressione associata al carico distribuito, bisogna prendere una trave con 2 incastri, caricarla con lo stesso carico distribuito, e sapere quanto valgono le reazioni vincolari. Invece che le reazioni agenti (con la convenzione) sulla trave, si possono prendere le reazioni vincolari agenti (con la convenzione) sul nodo: i termini noti associati al carico distribuito sono proprio le reazioni vincolari sul nodo della trave con 2 incastri sollecitata proprio da quel carico distribuito (questa cosa in realtà vale anche per carichi concentrati). Metodo degli Spostamenti Per applicare il Metodo degli Spostamenti si procede in questo modo: si eliminano i nodi vincolati, i nodi che hanno qualche spostamento bloccato perché l'asta non si può.deformare, eliminati tutti questi gradi di libertà, i GdL che rimangono si possono usare come variabili cinematiche indipendenti per descrivere la struttura. Bisogna costruire il sistema risolvente, cioè riempire la matrice dei coefficienti di rigidezza attivando uno alla volta i GdL impediti dai vincoli fittizi, e il vettore dei termini noti applicando uno alla volta i carichi. Si risolve il sistema, cioè si calcolano i valori degli spostamenti nei nodi controllati dai vincoli fittizi. * per gli esercizi vedi lezione 13 * Tenso-Flessione Sforzi assiali e flettenti Trave soggetta ad azioni assiali e azioni flessionali: le sezioni rimangono piane (se sono lontane dagli estremi). Dato che le sezioni rimangono piane, la differenza tra le coordinate x e y della configurazione iniziale e di quella deformata è di tipo lineare: Spostamento assiale: (sono lineari in x e y) cinematica deformazione spostamento dell'origine La deformazione locale si può riscrivere: (ladeformazione lungo z è governata da queste funzioni, mentre sulla sezione varia linearmente)deformazioni generalizzatesforzi (anche questi dipendono linearmente da x e y)azioni interne (per un osservatore generale)Relazioni costitutive Formula di Navier generalizzataSe l'osservatore cambia, tutta la matrice J cambia, tranne l'area.Lo sforzo però sarà sempre lo stesso, quindi lo sforzo calcolato nel generico punto non dipende dall'osservatore.Vediamo chi sono i termini della matrice:Se come osservatore se ne considera uno con l'origine coincidente con il baricentro:i momenti statici geometrici della sezione rispetto a una retta passante per il baricentro sono nulli.(la matrice diventa diagonale a blocchi)Se però bisogna calcolare le inerzie rispetto ad un asse non baricentrico: Legge di trasporto di Huygens-SteinerSe non si parte dal centro, basta aggiungere i termini di trasportoSe il sistema di riferimento subisce una rotazione invece,principale d'inerzia, la matrice J diventa diagonale: Sostituendo J alla formula di Navier generalizzata: Formula di Navier (vale solo per un sistema di riferimento baricentrico e principale d'inerzia) Contributi alle equazioni della Linea Elastica Nella linea elastica avevamo considerato travi simmetriche, ma se la trave non ha una sezione simmetrica non c'è problema. L'importante è che le equazioni siano disaccoppiate, e per disaccoppiarle si fanno le stesse considerazioni viste prima: le deformazioni generalizzate dipendono in modo accoppiato da azione assiale e momento flettente. Se però si usa come osservatore quello baricentrico e principale d'inerzia, la matrice J diventa diagonale.principale d'inerzia:la matrice J diventa diagonale,e le tre equazioni si disaccoppiano Equazioni della linea elastica: Considerazioni Energetiche Energia di deformazione: Energia di deformazione: Energia specifica di deformazione: (possiamo portare V0 dentro l'integrale perché è una costante) L'energia specifica di deformazione quindi non è altro che l'integrale dello sforzo per la deformazione. Caso in cui il materiale ha un comportamento elastico lineare: Legge di Hooke: L'energia specifica di deformazione si può calcolare esplicitamente: In generale però serve determinare l'energia di deformazione all'interno di tutta la trave: Siccome all'interno della trave nel caso della tensio-flessione compaiono solo sforzi assiali,si può applicare la formula dell'energia specifica per materiali lineari: dove lo sforzo si calcola tramite la formula generalizzata di Navier: dato che il risultato è uno scalare, sesi traspongono idue vettori il risultato è sempre lo stesso L'energia di deformazione complessiva che assorbe la trave (a meno delle estremità): (ricordando che )siccome nulla dipende da z l'integrale da 0 ad L è semplicemente la lunghezza della trave Ma la matrice J è invertibile? Dato che l'energia assorbita deve essere positiva, anche le matrici J e J' devono essere definite positive, quindi sono invertibili. Ma siccome le deformazioni generalizzate erano: L'energia di deformazione si può riscrivere come: Come già trovato per il PLV, le quantità statiche date dalle azioni interne, lavorano per le quantità cinematiche che sono proprio le deformazioni generalizzate. Analogamente il lavoro virtuale interno compiuto dagli sforzi per le deformazioni coincide con il lavoro delle azioni interne per le corrispondenti deformazioni generalizzate: (vale per qualsiasi osservatore) Appendice: ipotesi chiave per la formula di

Navier - Modello di de Saint Venant:

Le forze concentrate si calcolano nel seguente modo a partire dai carichi distribuiti:

Il problema è simmetrico per geometria, per materiale, per risultante, ma non per la distribuzione dei carichi.

Tramite il postulato di de Saint Venant si possono rendere simmetriche le distribuzioni di carico.

Alla distribuzione di una delle due estremità si può sommare una distribuzione autoequilibrata, in modo da renderla uguale alla distribuzione presente sull'altro estremità:

Così facendo si alterano le proprietà locali della trave, ma solo dell'estremità.

Quindi la struttura è totalmente simmetrica, e quindi la sezione in mezzeria rimane piana, perché la struttura si deforma in modo simmetrico.

Questa procedura si può ripetere per le due metà travi, trovando che anche le sezioni a 1/4 della trave rimangono piane, e poi quelle a 1/8 e così via, fino a quando non ci si avvicina

alle estremità. Se la sezione rimane piana, gli spostamenti assiali sono lineari, sia sul piano yz, sia sul piano xz: Esempio: Trave soggetta a carichi distribuiti con risultante passante per il baricentro: Scegliamo un osservatore baricentrico, e come assi gli assi di simmetria del rettangolo (che sono anche principali d'inerzia): Calcoliamo i termini della matrice J: A questo punto calcoliamo la distribuzione di sforzi: Verifichiamo questo risultato attraverso un software: Esempio: Trave soggetta a carichi distribuiti che ha come risultante una coppia: Scegliamo un osservatore baricentrico, e come assi gli assi di simmetria del rettangolo (che sono anche principali d'inerzia): Distribuzione di sforzi: extradosso intradosso Esempio: Trave soggetta a carichi distribuiti che ha come risultante una forza applicata alle estremità: Scegliamo questa volta un osservatore centrato nel punto O: In quest