Metodi di Calcolo delle Strutture - Parte 2

Ingegneria Meccanica

A.A. 2015/2016

Metodi di Calcolo

delle Strutture

( parte II )

Indice per argomenti:

• Energia Potenziale Totale 3
• Elementi Finiti di Trave 13
• Elemento Finito di Biella 32
• EF Inclinati 33
• Distorsioni Termiche 39
• Problemi Piani 43
• Elementi Finiti Quadrilateri 63

E_deg = 1/2 ∫ E_z E_σ^T | x₁ x₂ x₃ x₄ |

∫ dA E_σ^T dz

E_def = 1/2 ∫ ^l₀ | E_z E_σ^T |

∫ E_σ^T dz

Se sezioni rettilinee e uniformi

_{x y σ}

1. Per trave elastica abbiamo trovato che le deformazioni generalizzate

E_σ = | _z |

∫ | _σ

| = | N |

| E^-1 | | -M_y |

∫ | M_x |

Risolvendo E_def per sezioni interne

| N | | _σ

| + M |

- E_σ = - ∫ ^l₀ N _x + M_x y_σ M_y

E_σ^T = (l) | - ⟶

Potenziale dei corpi:

Somma dei corpi, distribuiti e concentrati U_i = U_c + U_d

1. U_c = Σ E_u + Σ mp -> In questo caso U_e = 0
2. U_o = ∫ ^l₀ α(z) - ω(z)

U(z) V(z) + Φ(e_i) dz

1. N₁ = | ∫ ^l₀ v(z) V(z) | Φ(e_i) dz

U(z) V(z) Φ(e_i) dz

N / m(z)

= E_def U = 1/2 E_z E_σ^T |

∫ ^l₀ u_c (z) V(i) _q

| ∫ ^l₀ v(z) V_z Φ(e_i) dz

∫ E_σ dV_z ->

Convergenza c'è se si effettua uno con spostamenti

E_z | _zx |

Φ(l) |

U(z) = ∫ d_σq(z)

Ellisso di centro (bir. l3) centrice

-> Curvature (h)

Arrco un sistema con una sollecitazione interna esente no una variabile in interno

T_n = T^(C_oC₁) = F·C₁(u(1/2)) = F(1/2) = F v_o = P W_R

⟹ F E E v_o - P W_R

V(u) =

T = 1/2 F - F E = 0

T_o = T_o/2 t ε δ(1/2) L

= - 2 F

δ(1/2) = F c t_p

W_R

⟹ ct ε δ(1/2) = F (c F L^c - c_p L = 0

σ_o = P/E A

^{τ δ(1/2)}

• /(2 C L - F E
• c_t = F L/c E I
• c_t
• c_t/L
• V(l) = F L E t/4 E
• V_o = V(e) = ^{F E L3}/_{4 E E} ≠ ¹/₃ F L/c E I

Struttura appare meno deformabile

Usano delle funzioni "a più parole" e come se assicuriamo dei valori e delle costanti o quindi risolviano vincoli:

• φ(ξ) dv = F/E 2/ζ 2 E I
• ρ(ξ) =^{F/ζ E I} 7 E I ^{F/7 E I}

Nonostante la funzione sia sbagliata suggerisce che in realtà fa del suo meglio per fornaria la soluzione esatta

• soluzione esatta è minima su un parabolorico
• c_o = C_o
• ideo endoveniche lungo un sotto spazio avverso su un dominio limitato
• Il minimo sarà lo stesso se presso su una curva ussusto per il minimo globale, mentre se non ci prossia trova il minimo su bella curva che se percorrerla, che è comunque il punto più vicino il minimo assoluto

• Minimo assoluto

• circe su cui un meglio si usa funzione meno casuriste in: guida esatta

Ricordando che u non è funzione di z

E_DEF = ¹/₂ U^T [∫₀^l B^T(z) E B(z) dz] U = ¹/₂ U^T K U

K ∈ ℝ^6x6

K = matrice di rigidezza dell’elemento finito di trave

L’energia di deformazione viene quindi vista come una forma quadratica parametrata da U

perciò

K = ∫₀^l (B^T E B)^T dz = ∫₀^l B^T B^T dz = K

K è simmetrico

K =

⎡ (φ₁) ⎤ ⎡ EA 0 ⎤ ⎡(u)_k 0 0 0 0 0⎤_dz

⎢ (φ₂) ⎥ ⎢ 0 EI ⎥ ⎢ 0 ψ₂ ψ₃ 0 ψ₅ ψ₆⎥_dz

⎢ (ψ₃) ⎥ ⎢ ⎥

⎢ (ψ₄) ⎥ ⎢ 1-esimo caso ⎥

⎣ (u)_k ⎦ ⎢ K_ij = ∫₀^l φ’

–esimo (φk*lüğnez)

Φ

K₁₁= ∫₀^l (ψ’¹ ψ’)^T ⎡EA 0⎤ ⎡(ψ’₁)⎤ dz = ∫₀^l 0⎣0 0 ⎦ ⎣(ψ’)₃⎦ dz = ∫₀^l EA (ψ’)^T dz = ∫₀^l EA [¹/_l] ² dz = EA

K_tt∫₀^l (φ’¹ φ’²)^T ⎡EA 0⎤ ⎡_h/_l⎤ dz = ∫₀⁰ ⎣0EI⎦[_d] = ⎢ ⎣ EA ⎦ = _EA²/ [_l²]

⎢ ⎣ [₀)⎦ - EA ⎢

||K_ij = K_ji per simmetria

Queste erano forzanti e gli spostamenti vari nodi.

In definitivo Π = T^E U = 1/2 J^TKU - U^Tf.

Se abbiamo o un solo nodo problema,

V

∇ (usando lineo elastico o PLN otteniamo risultati esatti

Non usiamo elementi finiti che hanno funzioni cub delle al posto di funzioni

della potenza quarte)

f_B = g³/^8EI)

(Da punturando abbiamo risultati esatti)

v_A = Wq = _Wo^o q_A

¬ = Π (U_q) = 1/2 U^T Q^T Kq - U_q

Equazione sterzamento

N

F

x

sm

B

K

0

Uk

R

l

colonne matrice

EA

0

0

EA

w

le reazioni vincolari sugli estremi dovute a cedimenti

Ha + EA

c

EA

cwb

c

per cedimenti verticali ho la seconda colonna di K

reazioni vincolari in seguito spostamento unitario

E' vis per tutte le altre colonne con cedimenti diversi

queste equazioni rappresentano gli equilibri dei nodi

parchi elemento imposto lo spostamento dell'energia

Esempio

uso 8 elementi finiti problema simmetrico

a due estremi di un elemento finito

questo punto trovato con risoluzione

Anziché scrivere D _d ed D_e posso usare numerazione globale.

• A: 1, 3
• B: 2, 4
• C: 3, 9

Tabella delle incidenze

modo più efficace per costruire matrice di rigidezza e pezzi assemblati

Non è detto che sia per forza sempre così

elementi che seguono numerazione locale

f_i = f_i = [ ]

-qℓ/2

qℓ/2

-qℓ²/2

-qℓ²/2

= I =

qℓ²/2 qℓ²/2 0 qℓ/2 qℓ/ℓ 0

qℓ²/ℓ qℓ/2