Appunti completi del corso "Costruzione di macchine 1"

IPOTESI

Geometria:

• travi snelle: una dimensione è molto diversa dalle altre
• travi rettilinee (in realtà vale anche per aste curve)
• sezione costante

Materiale:

• elastico-lineare
• omogeneo
• isotropo

Carichi:

• forze di volume nulle (nel punto dove vogliamo calcolare gli sforzi)
• forze di superficie agenti solo sulle basi
• ricerca soluzioni sufficientemente lontane da zone di applicazione dei carichi (Quindi non ci devono essere carichi dove vogliamo fare il calcolo degli sforzi. De Saint-Venant non funziona nei punti dove sono applicati dei carichi)
• corpo non vincolato, ma in equilibrio (quindi con le reazioni vincolari)
• sistema di riferimento: principale d'inerzia
• Sovrapposizione lineare degli effetti: possiamo trovare separatamente quello che accade per l'azione assiale, taglio, momento flettente, momento torcente, e sovrapporre il tutto alla fine.
• Principio di equivalenza elastica: le azioni di una distribuzione di sforzi agenti su una porzione limitata di superficie

massima tensione normale Sforzo:Azione Assiale Un'azione assiale provoca delle sezioni che rimangono parallele, ma traslano. Quindi le deformazioni rimangono uniformi, e anche gli sforzi associati rimangono uniformi. Sforzo normale E se vogliamo trovare lo sforzo su una superficie inclinata? L'integrale della superficie per lo sforzo deve comunque essere uguale a N (equivalenza elastica): Possiamo scomporre la forza N in: - σ: componente normale di N, che provocherà sforzi assiali - τ: componente tangenziale, che provocherà sforzi tangenziali Anche l'area sta cambiando: Stato di sollecitazione: Lo stesso risultato si poteva ottenere sfruttando le stesse considerazioni usate per il Tetraedro di Cauchy: Equilibrio in direzione normale: Equilibrio in direzione tangenziale: In funzione dell'angolo, i valori di σ e τ cambiano: Andamento di σ e τ in funzione dell'angolo: A 45° c'è: - il massimo del taglio - la massima tensione normalemetà della forza assiale Deformazioni Non ci interessa l'allungamento, ma la deformazione, sono due cose diverse. La deformazione è l'allungamento rapportato alla lunghezza iniziale: Deformazione: Legge di Hooke: modulo di elasticità Allungamento: rigidezza: Quindi abbiamo una forza su uno spostamento, come la costante elastica delle molle: Quindi una trave può essere considerata come una molla, che ha come costante elastica la rigidezza k. - Oggetti che hanno una lunghezza maggiore, hanno una rigidezza minore. - Se aumentiamo l'area, abbiamo una rigidezza maggiore. L'opposto della rigidezza si chiama "cedevolezza": Coefficiente di Poisson Contemporaneamente alla deformazione assiale, si verifica anche una variazione della sezione. Il rapporto tra contrazione trasversale e la deformazione longitudinale è un rapporto fisso, e prende il nome di "coefficiente di Poisson". La deformazione trasversale è un esempio di come sipossa avere una deformazione senza sforzo. Perché non c'è nessuno sforzo che comprime la barretta verticalmente. Quando deformiamo un solido, non è detto che il volume aumenti sempre, perché potrebbe prevalere la parte che si sta comprimendo. Esempio: tiriamo un volume: a si allunga, b e c si contraggono: (trascuriamo i termini di ordine superiore). Per valori di ν inferiori a 0,5 abbiamo dilatazioni positive, quindi il volume tende a aumentare (solo nel campo elastico, in quello plastico il volume rimane costante). Energia di Deformazione: Quando tiro un materiale, esso può immagazzinare energia, chiamata "energia di deformazione". Quando tiriamo stiamo spostando gli atomi in posizioni di non equilibrio, per questo quando rilasciamo il materiale torna alla sua forma originale. Il lavoro di deformazione è l'area sottesa dal grafico carico-allungamento. Lavoro: Nel caso di un materiale elastico completamente lineare, l'energiaaccumulata è: Flessione L'obiettivo è determinare la distribuzione degli sforzi prodotti dalla sola azione interna di momento flettente. Flessione su 4 punti: La flessione su 4 punti permette di applicare una pura flessione al centro. Prendiamo ora una trave incastrata soggetta ad una forza ad un'estremità. Essa sarà soggetta ad un momento flettente giacente sul piano xy. Ci sarebbe anche taglio, ma noi non lo consideriamo. Il momento flettente non è costante, ma De Saint-Venant si può utilizzare lo stesso perché il momento flettente varia con continuità. L'asse non è più rettilineo, ma si flette nel piano xy, detto "piano di inflessione". Gli spostamenti lungo y vengono indicati con: v. Adesso vogliamo vedere come si inflette a livello locale. C'è una rotazione delle sezioni che però rimangono rigide. Curvatura: raggio di curvatura Se il momento flettente è costante, lacurvatura della trave è uniforme, e quindi si può individuare una circonferenza che ha come raggio il raggio di curvatura. Se il momento flettente invece non è costante, si può individuare per ogni punto della trave una certa circonferenza osculatrice, ognuna con il proprio raggio di curvatura. Per le azioni assiali avevamo trovato un risultato del genere: Adesso vogliamo trovare un'espressione che lega lo sforzo al momento flettente: mn e pq all'inizio sono parallele, poi ruotano, rimanendo però rigide, cioè piane, e diventano non più parallele. Se prolunghiamo mn e pq, esse si incontreranno in un punto detto "centro di curvatura". Le fibre modificano la loro lunghezza, inizialmente hanno lunghezza dx, dopo la deformazione hanno lunghezza ds. Le fibre superiori saranno tese, quelle inferiori saranno compresse. Alcune fibre però non modificano la loro lunghezza, quindi ds=dx. L'asse su cui si trovano le fibre che noncambiano si chiama "asse neutro". Lo stato di sollecitazione che ci sarà sulle fibre sull'asse neutro è nullo. Le fibre che non sono sull'asse neutro invece modificano la loro lunghezza. Vediamo la loro variazione di lunghezza: distanza dal centro di rotazione DSV considera le fibre come separate, quindi non c'è una viscosità tra le fibre, quindi la deformazione di ogni fibra è indipendente da quelle delle altre. Andamento delle deformazioni: un esempio è l'andamento a farfalla. Questo andamento si può trasportare attraverso la legge di Hooke sugli sforzi σ, perché abbiamo detto che consideriamo le fibre come indipendenti. Quindi anche σ è proporzionale alla curvatura: Le sollecitazioni delle azioni assiali erano uniformi, adesso invece le sollecitazioni (gli sforzi) sono variabili. Però adesso lo sforzo non è ancora in funzione del momento flettente. Nell'istante in cuitiriamo o comprimiamo qualcosa, abbaiamo anche una deformazione assiale,chiamata "curvatura del secondo ordine".- Ciò che accade è che le basi si incurvano,in modo tale da mantenere la perpendicolarità con i lati.- Invece i lati della sezione rimangono rettilinei.Ora vogliamo trovare una formulazione migliore per lo sforzo σ. (Vogliamo ricavare l'asse neutro, e queste sono le condizioni:)Quando abbiamo momento flettente, abbiamo un'azione assiale nulla:Abbiamo visto che se i momenti del primo ordine sono nulli, abbiamo un asse baricentrico.Quindi scopriamo che l'asse neutro passa per il baricentro.Il momento risultante delle forze σx•dA deve essere uguale al momento flettente, quindi:momento d'inerziaAttraverso questo approccio abbiamo trovato una dipendenza dal momento e dalla sezione, quindi topppp.Allora possiamo anche riscrivere la curvatura:Noi volgiamo avere materiali rigidi, quindi che si flettono poco, e quapossiamo vedere come diminuire la curvatura: possiamo modificare E scegliendo il materiale. possiamo anche modificare J, lavorando sull'area: più l'area è lontana dall'asse neutro, più questa pesa. (gli sforzi trasversali sono invece tutti nulli) I valori di J sono tabellati: Anche strutture di questo tipo sono estremamente rigide, che hanno un'alta resistenza a momento flettente. In strutture di questo tipo il peso dell'area è quasi tutto all'esterno della struttura, quindi sono strutture che hanno una grande resistenza a carichi da momento flettente. Le considerazioni che abbiamo appena fatto valgono anche per sezioni non simmetriche, quindi l'asse y non deve essere per forza asse di simmetria, va bene anche se è un normale asse principale d'inerzia. Lavoro di deformazione Anche il momento flettente permette di immagazzinare energia nellastruttura. E se abbiamo sia azione assiale che momento flettente? Vale il principio di sovrapposizione degli effetti, quindi si possono considerare separatamente:

La posizione dell'asse neutro varia secondo il rapporto tra le sollecitazioni massime di flessione e di trazione o compressione.

"Carico assiale eccentrico": può essere considerato come la somma del carico P, e del momento di trasporto M = Pe.

Come si calcola l'asse neutro? La coordinata dell'asse neutro è la coordinata tale per cui lo sforzo σy è nullo:

E se l'applicazione del carico non è su un asse principale d'inerzia? Si parla di "flessione deviata". Il momento si può scomporre lungo i due assi principali d'inerzia.

L'angolo tra asse z e asse neutro è diverso dall'angolo tra asse z e il momento flettente. Quindi l'asse neutro non è allineato con il momento.

Come faccio a trovare l'asse neutro? Impongo questa

equazione uguale a 0; ci sono due incognite, ed è giusto così, perché noi vogliamo trovare una retta, non un punto. Ciò che fa variare l'angolo sono i J. Casi in cui l'asse neutro è perpendicolare al piano formato dall'asse x e da P (θ = β):

• θ = 0
• θ = 90
• Jy = Jz

Linea Elastica per angoli piccoli raggio di curvatura curvatura: centro di curvatura per angoli piccoli. Se il momento è costante, la curvatura sarà costante. Se non è costante, nemmeno la curvatura sarà costante. Le aree lontane dall'asse neutro sono aree che si pesano in maniera molto forte, quelle che sono vicine si pesano in maniera poco forte. rigidezza flessionale. Quindi è per questo che si usano travi con questa sezione, perché si ha molta area (varia se varia la sezione).