Appunti completi Analisi matematica I

Analisi 1 Sommario

Teoremi

........................................................................................................................................................................................... 5

Assiomi e definizioni principali

................................................................................................................................................... 6

Teoria degli insiemi

........................................................................................................................................................................... 7

Proprietà

..................................................................................................................................................................................... 7

Quantificatori

............................................................................................................................................................................. 7

Operazioni fondamentali degli insiemi

..................................................................................................................................... 7

Proprietà delle operazioni tra insiemi

................................................................................................................................. 7

Coppie e prodotto cartesiano

............................................................................................................................................... 8

Intervalli

........................................................................................................................................................................................... 8

Intervalli limitati

......................................................................................................................................................................... 8

Intervalli illimitati

....................................................................................................................................................................... 8

Insiemi numerici

................................................................................................................................................................................. 9

Costruzione assiomatica di ℝ

.................................................................................................................................................... 9

Assiomi di tipo A (algebrici)

................................................................................................................................................... 9

Assiomi di tipo B (relativi all'ordinamento)

.................................................................................................................... 10

Maggiorante, minorante, massimi, minimi

........................................................................................................................ 11

Assioma di tipo C (di completezza)

................................................................................................................................... 12

Conseguenze

................................................................................................................................................................................ 12

Insiemi separati, contigui ed elemento separatore

........................................................................................................ 12

L'insieme dei numeri irrazionali

.......................................................................................................................................... 12

Come insieme non superiormente limitato

................................................................................................................. 13

ℕ Densità di ℚ in ℝ

....................................................................................................................................................................

Piano cartesiano

...................................................................................................................................................................... 13

Principio di induzione

...................................................................................................................................................................... 14

Disuguaglianza di Bernoulli

................................................................................................................................................... 14

Definizione rigorosa di potenza

.......................................................................................................................................... 14

Progressione aritmetica

........................................................................................................................................................ 14

Progressione geometrica

...................................................................................................................................................... 14

Potenza e radice

...................................................................................................................................................................... 15

Disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica

............................................................................................. 15

Definizione rigorosa di fattoriale

........................................................................................................................................ 15

Coefficiente binomiale

........................................................................................................................................................... 16

Funzioni

.............................................................................................................................................................................................. 17

Equazioni e disequazioni di secondo grado

.......................................................................................................................... 18

Funzioni elementari

..................................................................................................................................................................... 19

Funzione lineare e affine

....................................................................................................................................................... 19

Valore assoluto

........................................................................................................................................................................ 19

Funzione potenza

.................................................................................................................................................................... 20

Funzione radice n-esima

........................................................................................................................................................ 21

Equazioni e disequazioni irrazionali

.................................................................................................................................... 21

Funzione esponenziale

........................................................................................................................................................... 22

Funzione logaritmo

................................................................................................................................................................. 22

Funzioni trigonometriche

..................................................................................................................................................... 23

Funzioni trigonometriche inverse

....................................................................................................................................... 24

Operazioni con i grafici

.............................................................................................................................................................. 24

Limiti di successioni numeriche

.................................................................................................................................................... 25

Successioni numeriche

............................................................................................................................................................... 25

Definizione di limite di successione

........................................................................................................................................ 25

Successioni limitate e monotone

............................................................................................................................................. 27

Legame tra successioni regolari e limitate, regolari e monotone, e convergenza

................................................. 27

Limite del modulo di una successione

................................................................................................................................... 28

Teorema della permanenza del segno

................................................................................................................................... 28

Teorema del confronto (o dei carabinieri)

........................................................................................................................... 28

Operazioni algebriche tra limiti

....................................................................................................................................... 29

Seno e coseno di infinitesime

.............................................................................................................................................. 29

Forme indeterminate delle operazioni tra limiti

............................................................................................................. 30

Limiti notevoli

.............................................................................................................................................................................. 31

Gerarchie di infiniti e criterio rapporto-radice

................................................................................................................... 33

Criterio rapporto-radice

...................................................................................................................................................... 33

Gerarchia di infiniti

................................................................................................................................................................. 34

Infinitesimi

................................................................................................................................................................................. 34

Successioni estratte

.................................................................................................................................................................... 34

Serie numeriche

............................................................................................................................................................................... 35

Serie basilari

............................................................................................................................................................................. 35

Serie telescopiche

................................................................................................................................................................... 36

Serie armonica

......................................................................................................................................................................... 36

Proprietà

........................................................................................................................................................................................ 37

Esclusione delle serie irregolari

.......................................................................................................................................... 37

Condizioni necessarie per la convergenza

....................................................................................................................... 37

Operazioni con le serie

......................................................................................................................................................... 37

Criteri del confronto

............................................................................................................................................................. 38

Serie armonica generalizzata

................................................................................................................................................ 38

Criterio degli infinitesimi

...................................................................................................................................................... 39

Criteri del rapporto e della radice per le serie

.............................................................................................................. 39

Serie a segni alterni

..................................................................................................................................................................... 40

Criterio di Leibniz

.................................................................................................................................................................. 40

Convergenza assoluta

............................................................................................................................................................ 41

Limiti di funzioni reali

...................................................................................................................................................................... 42

Punti di accumulazione

............................................................................................................................................................... 42

Punti di accumulazione degli insiemi numerici

................................................................................................................ 42

Insieme derivato, punti interni, e insiemi aperti e chiusi

.............................................................................................. 42

Insieme compatto e teorema di Heine-Borel

.................................................................................................................. 42

Definizione di limite di funzioni

............................................................................................................................................... 43

Mediante successioni

............................................................................................................................................................. 43

Senza successioni

.................................................................................................................................................................... 43

Equivalenza delle due definizioni

......................................................................................................................................... 44

Limite sinistro e destro

......................................................................................................................................................... 44

Teoremi dei limiti per le funzioni

............................................................................................................................................ 44

Teoremi dei limiti di successioni per le funzioni

............................................................................................................. 44

Limite delle funzioni composte e limiti notevoli associati

............................................................................................ 45

Funzioni continue

........................................................................................................................................................................ 46

Punti di discontinuità

............................................................................................................................................................. 46

Teoremi per le funzioni continue

....................................................................................................................................... 47

Punti di discontinuità per funzioni monotone

................................................................................................................ 48

Criterio di continuità per funzioni monotone

................................................................................................................. 49

Continuità funzioni inverse

.................................................................................................................................................. 49

Asintoti

.......................................................................................................................................................................................... 49

Derivate

.............................................................................................................................................................................................. 51

Interpretazione geometrica

.................................................................................................................................................. 51

Relazione tra derivabilità e continuità

............................................................................................................................... 52

Derivata destra e sinistra

...................................................................................................................................................... 52

Operazioni tra derivate

......................................................................................................................................................... 52

Derivate comuni

.......................................................................................................................................................................... 53

Derivata funzione composta

..................................................................................................................................................... 54

Derivata funzione inversa

.......................................................................................................................................................... 54

Derivate trigonometriche inverse

...................................................................................................................................... 55

Punti di non derivabilità

............................................................................................................................................................. 55