Appunti completi Analisi matematica I

A

Sia e sia si dice punto di minimo per e si chiama minimo di se è il

(̲ ) (̲ )

∶ → ̲ ∈ , ̲ =

minimo di quindi Il minimo si denota con ,

(̲ ) (̲ ) ( ) ()

, ≥ ∀ ∈ . min ∈ , min min

A

(Punti di massimo e minimo sono spesso segnati rispettivamente anche come e )

I punti di massimo e minimo possono non essere unici, nonostante massimo e minimo (assoluti) lo siano.

Esempio di studio di funzione dal grafico: { 0}

= > = ]0; +∞[

= ] − 4; +∞[

sup = +∞, ∄ max

inf = −4, ∄ min

Funzioni monotone e strettamente monotone

Sia si dice:

∶ → , ( ) ( )

≤ ≤

1 2 1 2

Monotòna crescente/decrescente se ∀ , ∈ ∶ ⇒

1 2 ≥ ( ) ( )

≥

1 2 1 2

( ) ( )

< <

1 2 1 2

Strettamente monotòna crescente/decrescente se ∀ , ∈ ∶ ⇒

1 2 > ( ) ( )

>

1 2 1 2

Funzione composta

Date ( ))

, ∶ ∃ ∘ = ( ⇒

1. e

↑ ↑ ⇒ ∘ ↑

2. e

↓ ↓ ⇒ ∘ ↑

3. e

↑ ↓ ⇒ ∘ ↓

4. e

↓ ↑ ⇒ ∘ ↓

(È simile alla moltiplicazione tra i segni)

Osservazione: se è strettamente monotona allora è iniettiva e quindi invertibile (perché assumiamo che

=

)

()

Il grafico di una funzione inversa è esattamente speculare al grafico della funzione di partenza rispetto alla sua

bisettrice.

Equazioni e disequazioni di secondo grado

Equazioni

2

+ + = 0, > 0 − ± √Δ , il grafico interseca l'asse x in due punti

Δ > 0 ⇒ =

1,2 2

2

Δ = − 4 ⇒ − , il grafico interseca l'asse x in un punto

Δ = 0 ⇒ = =

1 2 2 il grafico non interseca l'asse

Δ < 0 ⇒ ∄ , ∈ ℝ,

{ 1 2

2 ( )( )

+ + = − −

1 2

In generale, l'applicazione ad entrambi i membri di una funzione dispari, o una funzione pari quando entrambi i

membri hanno lo stesso segno, non fa perdere di significato l'uguaglianza.

Disequazioni

2

+ + ≠ 0, > 0 Δ>0 Δ=0 Δ<0

> < ∨ >

1 2 ≠− ∀ ∈ ℝ

2

≥ ≤ ∨ ≥ ∀ ∈ ℝ ∀ ∈ ℝ

1 2

< < < ∄ ∈ ℝ ∄ ∈ ℝ

1 2

≤ ≤ ≤ ∄ ∈ ℝ

1 2 =− 2

In generale, data una disequazione, l'applicazione di funzioni decrescenti ad entrambi i membri fa variare il segno

della disuguaglianza, mentre con funzioni crescenti resta invariato.

Funzioni elementari

Funzione lineare e affine

Funzione lineare: ( )

= , ∈ ℝ

Funzione affine (così chiamata perché differisce da una lineare per una costante): ( ) = + , , ∈ ℝ

Le due funzioni hanno proprietà pressoché identiche, dato che la funzione lineare è una funzione affine con

costante nulla.

∶ℝ→ℝ

Se si riduce ad una funzione costante.

= 0,

Per tracciarne il grafico si usa il postulato di Euclide, secondo il quale per due punti passa una e una sola retta.

Es: ( )

= 2 + 1

Per è strettamente monotona crescente; è strettamente monotona decrescente.

> 0 < 0

è invertibile:

∀ ≠ 0 −

−1 ()

=

Le rette con equazione sono parallele all’asse x, quelle con equazione sono invece parallele all’asse

= =

y, mentre le rette e sono le bisettrici dei quadranti.

= = −

Valore assoluto

Siano la distanza reciproca è se se Per non specificare l’ordine dei due

, ∈ ℝ, − ≥ , − ≤ . se ≥ 0

numeri, si utilizza la funzione valore assoluto o modulo: . È un esempio di funzione

( ) | | {

= = − se < 0

definita a tratti.

∶ ℝ → [0, +∞[

Proprietà:

1. | | ≥ 0 ∀ ∈ ℝ

2. | | = 0 ⇔ = 0

3. È pari

4. | | | || |

= ∀ , ∈ ℝ

1 2 1 2 1 2

| |

5. 1 1 {0}

| | = ∀ ∈ ℝ, ∀ ∈ ℝ −

1 2

| |

2 2

6. | | ≥ ⇔ ≤ − ∨ ≥

7. | | ≤ ⇔ − ≤ ≤

8. Disuguaglianza triangolare: | | | | | |

+ ≤ +

1 2 1 2

Dimostrazione: . Scrivendola per e :

| | | |

∀ ∈ ℝ − ≤ ≤

1 2

e sommando −(|

−| | | | −| | | |, | | |) | | | |

≤ ≤ ≤ ≤ → + ≤ + ≤ + ⇒

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

Funzione potenza

( ) ( ( ) 1), ( ( ) )

= , ∈ ℕ = 0, = = 1, =

Grafici della funzione

:

pari non è invertibile perché per è decrescente, mentre per è

→ ∶ ℝ → [0, +∞[, ] − ∞, 0[ ]0, +∞[

crescente.

Proprietà:

1.

≥ 0 ∀ ∈ ℝ

2. È pari

3. Non è invertibile

dispari è invertibile perché strettamente crescente (è quindi sempre possibile trovare tutte le

→ ∶ ℝ → ℝ,

soluzioni mediante la funzione inversa).

Proprietà:

1. È dispari

2. È invertibile.

Proprietà comuni:

= 0 ⇔ = 0

+ −

( ) () | | | |

⋅ = , = , = , = , =

La funzione potenza può essere estesa anche per i numeri negativi, quindi all'insieme dei numeri interi, infatti per

1

con se e

−

, ∈ ℤ; > 0 ≠ 0, = ( )

I grafici della funzione sono:

−

Definizione di funzione ristretta: Sia e sia |

∶ → , ⊆ , ∶ →

L’inversa di con pari può essere definita solo se la funzione è ristretta nel dominio:

|

∶ [0, +∞[→ [0, +∞[

[0,+∞[

Funzione radice n-esima

È l’ ”inversa”(nel caso pari è inversa solo della restrizione) della funzione potenza n-esima.

pari | |

→ √ ∶ [0, +∞[→ [0, +∞[, √ = ⇔ ≥ 0

dispari

→ √ ∶ ℝ → ℝ, √ = ∀ ∈ ℝ

Proprietà: ∀, ≥ 0 è

1. ( )

√ ⋅ √ = √ ∀, ∈ ℝ è

2. ( )

√ = √

3. √ √ = √

4.

√ = √ =

È quindi possibile definire la funzione potenza per l'insieme dei numeri razionali se

( )

= , ∈ ℚ, =

come

= √

Equazioni e disequazioni irrazionali

dispari:

√( ) ( ) ( ) ( )

>≤ ⇒ >≤

pari: con con

√( ) √( ) ( )

≤ < 0 ⇒ ∄ ∈ ℝ; ≥ < 0 ⇒ ≥ 0

con con

√( ) ( ) √( ) ( )

≤ > 0 ⇒ 0 ≤ ≤ ; ≥ > 0 ⇒ ≥

( ) ( )

≥ 0 ≥ 0

√( ) √( ) ( ) √( )

{ √ {

≤ ⇒ ; ≥ ⇒

( ) ( ) ( ) ( )

≤ ≥ ( )

≥ 0

( ) ( )

< 0 ≥ 0

√( ) ( ) √( ) ( ) ( )

{ ∪{

≥ ⇒ ; < ⇒ { > 0

( ) ( )

( ) <

≥ 0

( ) ( )

<

Funzione esponenziale

Potenza con esponente reale

Non è stata ancora definita la potenza con esponente irrazionale; quindi, definire una funzione esponenziale

come con non è così immediata, a differenza di con

( ) ( )

= , ∈ ℝ = , ∈ ℚ.

Se , e , con si può definire evidenziandolo come

{ } { }

= , ∈ ℚ; < = , ∈ ℚ; > ∈ ℝ,

elemento separatore degli insiemi separati e contigui e

.

Limitando il dominio a valori della base strettamente positivi, si ottiene quindi che:

(se è ammesso che

( )

= , ∈ ℝ ∶ ]0, +∞[ → ]0, +∞[ > 0 ∈ [0, +∞[)

Es: √2

(√ 2

( )

= − 4 − + 1)

√ √

2 2

−4− +1 ≥ 0 −4−+1 >0

{ {

> 0 ⇒ , < 0 ⇒

2 2

− 4 ≥ 0 − 4 ≥ 0

Definita la potenza con esponente reale, si può quindi definire la funzione esponenziale.

Definizione