Appunti Completi di Analisi Matematica I

NUMERI E LOGICA

Data una definizione generale di funzione come corrispondenza tra elementi di due insiemi.

Gli insiemi saranno indicati con le lettere maiuscole, i loro elementi con lettere minuscole.

APPARTENENZA

La notazione a ∈ A indica che a è un elemento di A, ossia che a appartiene ad A. La notazione a ∉ A esprime invece la non appartenenza di a ad A.

INCLUSIONE

La notazione A ⊆ B indica che l’insieme A è un sottoinsieme dell’insieme B. Si afferma che A ⊆ B non esclude che A = B. La notazione A ⊂ B indica che A è contenuto in B, ma non coincide con B.

1. UNIONE

Diciamo unione di due insiemi (A ∪ B), l’insieme costituito dagli elementi che appartengono ad A o B e tuttavia

2. INTERSEZIONE

Diciamo intersezione di due insiemi (A ∩ B), l’insieme costituito dagli elementi che appartengono sia ad A che a B. Due insiemi si dicono disgiunti quando non hanno elementi in comune; la loro intersezione è l’insieme vuoto A ∩ B = ∅

3. DIFFERENZA

Dati due insiemi A e B, si definisce differenza l’insieme A \ B costituito dagli elementi di A che non appartengono a B. L’insieme A \ B è anche chiamato complementare di B rispetto ad A

4. PRODOTTO CARTESIANO

Dati due insiemi A e B, chiamiamo loro prodotto cartesiano A x B, l’insieme delle coppie ordinate (a, b)

SIMBOLOGIA

• ∀ → per ogni
• ∃ → esiste almeno un
• ∃! → esiste un solo
• a ∈ B → appartenenza
• a ∉ B → non appartenenza
• A ⊆ B → inclusione
• A ⊂ B → inclusione propria
• ∴ → tale che
• A ⊄ B → non inclusione propria
• A ≠ B → diverso

Numeri e Logica

Data una definizione generale di funzione come corrispondenza tra elementi di due insiemi.

Gli insiemi saranno indicati con le lettere maiuscole, i loro elementi con lettere minuscole.

Appartenenza

La notazione a ∈ A indica che a è un elemento di A, ossia che a appartiene ad A. La notazione a ∉ A esprime invece la non appartenenza di a ad A.

Inclusione

La notazione A ⊆ B indica che l’insieme A è un sottoinsieme dell’insieme B. Si afferma che A ⊆ B non esclude che A = B. La notazione A ⊂ B indica che A è contenuto in B, ma non coincide con B.

Diciamo unione di due insiemi (A ∪ B), l’insieme costituito dagli elementi che appartengono ad A o B e talvolta

Diciamo intersezione di due insiemi (A ∩ B), l’insieme costituito dagli elementi che appartengono sia ad A sia che a B. Due insiemi si dicono disgiunti quando non hanno elementi in comune: la loro intersezione è l’insieme vuoto. A ∩ B = ∅

Dati due insiemi A e B, si definisce differenza l’insieme A \ B costituito dagli elementi di A che non appartengono a B. L’insieme A \ B è anche chiamato complementare di B rispetto ad A.

Dati due insiemi A e B, chiamiamo loro prodotto cartesiano A × B, l’insieme delle coppie ordinate (a, b).

Simbologia

• ∀ → per ogni
• ∃ → esiste almeno un
• ∃! → esiste un solo
• a ∈ B → appartenenza
• a ∉ B → non appartenenza
• A ⊆ B → inclusione
• A ⊂ B → inclusione propria
• ∴ → tale che
• A ⊈ B → non inclusione propria
• A ≠ B → diverso

INSIEMI DI NUMERI

N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} Insieme dei numeri naturali (DISCRETO)

Z = {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...} Insieme dei numeri interi (DISCRETO)

Q = {+/− m/n, n ≠ 0} Insieme dei numeri razionali (DENSO, MA ANCORA DISCRETO)

R = {√2, π, ...} Insieme dei numeri irrazionali (CONTINUO)

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

[estremi inclusi] (estremi esclusi)

TEOREMA + DIMOSTRAZIONE - √2 ∉ Q

PREMESSA: (n² PARI ⇒ n PARI)

Supponiamo che esista per assurdo un numero r ∈ Q tale che r² = 2. Possiamo scrivere r = m/n con m, n ∈ Z, m ≠ 0, già semplificati.

Abbiamo dunque:

(m/n)² = 2 ⇒ m²/n² = 2 ⇒ m² = 2n² ⇒ m² PARI ⇒ m PARI e n = 2k per qualche k ∈ Z

(2k)² = 2m² ⇒ 4k² = 2m² ⇒ m² = 2k²

per cui abbiamo scoperto che anche m è pari e questo va in contrapposizione alla nostra ipotesi iniziale ossia che m, n fossero già semplificati.

Proprietà Sommatore

• ∑ (c∙a_k) = c ∑ a_k
• c = c∙n c.n (numero di addendi della somma)
• ∑ a_k + ∑ b_k = ∑ (a_k + b_k)
• ∑_k=1ⁿ a_k = ∑_k=1^h a_k + ∑_k=h+1ⁿ a_k
• ∑_k=1ⁿ a_k = ∑_k=n+1^m a_k-n
• ∑_k=0^n-1 a