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NUMERI E LOGICA
Dato una definizione generale di funzione come corrispondenza tra elementi di due insiemi. Gli insiemi saranno indicati con le lettere maiuscole, i loro elementi con lettere minuscole.
Appartenenza
La notazione a ∈ A indica che a è un elemento di A, ossia che a appartiene ad A. La notazione a ∉ A esprime invece la non appartenenza di a ad A.
Inclusione
La notazione A ⊆ B indica che l'insieme A è un sottoinsieme dell'insieme B.
Se si afferma che A ⊆ B, non si esclude che A = B.
La notazione A ⊂ B indica che A è contenuto in B, ma non coincide con B.
1. Unione
Diciamo unione di due insiemi (A ∪ B), l'insieme costituito dagli elementi che appartengono ad A o B o entrambi.
2. Intersezione
Diciamo intersezione di due insiemi (A ∩ B), l'insieme costituito dagli elementi che appartengono sia ad A che a B.
Due insiemi si dicono disgiunti quando non hanno elementi in comune; la loro intersezione è l'insieme vuoto A ∩ B = Ø.
3. Differenza
Dati due insiemi A e B, si definisce differenza l'insieme A\B costituito dagli elementi di A che non appartengono a B.
L'insieme A\B è anche chiamato complementare di B rispetto ad A.
4. Prodotto cartesiano
Dati due insiemi A e B, chiamiamo loro prodotto cartesiano A × B, l'insieme delle coppie ordinate (a, b).
Simbologia
- ∀ → Per ogni
- ∃ → esiste almeno un
- ∃! → esiste un solo
- a ∈ B → appartenenza
- a ∉ B → non appartenenza
- A ⊆ B → inclusione
- A ⊂ B → inclusione propria
- ∴ → tale che
- A ⊄ B → non inclusione propria
- A ≠ B → diverso
Insiemi di Numeri
N = {0, 1, 2, 3, 4,...}
Insieme dei numeri naturali(discreto)
Z = {... -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}
Insieme dei numeri interi(discreto)
Q = {+/- m/n ..., n ≠ 0}
Insieme dei numeri razionali(denso, ma ancora discreto)
R = {... √2, π ,...}
Insieme dei numeri irrazionali(continuo)
ℵ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
[ estremi inclusi ] [ estremi esclusi ]
Teorema + Dimostrazione - √2 ∉ Q
Premessa: (n2 pari ⟹ n pari)
Supponiamo che esista per assurdo un numero r ∈ Q tale che r2 = 2.Possiamo scrivere r = m/n con n, m ∈ Z, m, n ≠ 0, già semplificati.Abbiamo dunque: (m/n)2 = 2 ⟹ n2 = 2m2 ⟹ per cui n pari en = 2k per qualche k ∈ Z
⟹ (2k)2 = 2m2 ⟹ 4k2 = 2m2 ⟹ m2 = 2k2per cui abbiamo scoperto che anche m è pari, e questo va in contrapposizione alla nostra ipotesi iniziale ossia che n, m fossero già semplificati.
Se esistono i valori di estremo superiore ed estremo inferiore sono chiamati rispettivamente massimo e minimo dell'insieme.
Asseoma di continuità: E ⊂ R non vuoto e limitato superiormente possiede un estremo superiore (stesso discorso per inferiore).
Funzioni
Una funzione è una relazione fra due insiemi non ambigui A e B che associa ad ogni elemento di A, uno e un solo elemento di B.
- A → A ∃ B
- A- variabile indipendente
- B- variabile dipendente
Il dominio di una funzione è l'insieme su cui è definita la funzione (input).
Il codominio di una funzione è l'insieme in cui sono contenute le immagini della funzione (output).
x → Funzione → ƒ(x)
input output
Una funzione è iniettiva se elementi distinti del dominio, hanno immagini distinte.
a1 ≠ a2 , a1 , a2 ∃ A → ƒ(a1) ≠ ƒ(a2)
È possibile che non tutti gli elementi di B vengano presi.
Una funzione è suriettiva se per ogni elemento del codominio, esiste almeno un elemento del dominio A cui è associato.
∀ b ∃ B ∀ a ∃ A ∃ a ∃ b: b ∃ ƒ(a) &Exist;(A) = B
Ogni elemento di B è necessariamente associato ad un a.
Una funzione è biiettiva se associa ad ogni elemento di A, almeno e al massimo un elemento di B.
È al contempo iniettiva e suriettiva ed è invertibile.
Ogni a ha un b distintivo e ogni b è associato ad un a.
Una funzione non deve necessariamente appartenere ad uno di questi gruppi. Test necessario/sufficiente:
Traccio infinite rette orizzontali se ogni retta interseca il grafico della funzione è suriettiva. Se ogni retta interseca al max 1 volta il grafico è iniettiva. Se sussistono entrambe è biiettiva.
FUNZIONI ESPONENZIALI
Chiamiamo funzioni esponenziali tutte quelle funzioni che si presentano nella forma y=ax con a numero reale positivo ≠1.
Il numero reale a è detto base della funzione esponenziale. Si esclude il caso in cui a=1 perché si avrebbe y=1 (retta).
Nel descrivere le caratteristiche delle funzioni esponenziali conviene distinguere due casi:
- 0<a<1
- a>1
CE
(-∞, +∞)
Codominio
(0, +∞)
Analogie:
- Si tratta sempre di funzioni strettamente positive
- Il grafico passa sempre per il punto di coordinate (0,1)
Differenze:
- Gli esponenziali con 0<a<1 sono strettamente decrescenti, quelli con a>1 strettamente crescenti.
- Comportamento simmetrico: ax ha il grafico simmetrico di 1/ax
Proprietà delle potenze:
an·am=an+m
an:am=an-m
(ax)n = ax·n
an=an
bm=
(a/b)n
Le equazioni esponenziali sono equazioni in cui l'incognita compare all'esponente. Le più semplici si presentano nella forma ax=b con a>0 e a≠1.
Hanno zero soluzioni se 0<0, una se b>0.
Per risolvere le equazioni esponenziali:
- Cerco di ricondurmi alla forma af(x)=ag(x) e risolvo imponendo f(x)=g(x)
- Se riconducibili a max=ubx trasformo in (m/u)x=(b/a)x
- Cambio variabile per la semplificazione dei passaggi (t)
Per la risoluzione delle disequazioni esponenziali utilizzo lo stesso metodo ricordandomi però che:
Se la base a è compresa fra 0 e 1 il verso si cambia!
Disequazioni
Intere
a2+bx+c ≥ 0 è una parabola!
La disequazione ci chiede di capire per quali valori sta al di sopra e al di sotto dell'asse x.
a > 0 (sorridente)
a < 0 (triste)
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
Δ = b2 - 4ac
Es:
x2 - 4x + 3 ≥ 0
x1 = 4 ± √(16 - 4 * 3) / 2 = 4 ± 2 / 2
= x1 = 3
x2 = 1
a > 0 sorridente
Δ > 0 2 intersezioni
Fratte:
- C.E.
- NUM ≥ 0
- DEN > 0
NUM
DEN
Es:
x2 - 4x + 3
x2 + 25 - 10x > 0
NUM ≥ 0
x2 - 4x + 3 ≥ 0 x ≤ 1 x ≥ 3
DEN > 0
x2 - 10x + 25 > 0 x ≠ 5
x ≤ 1 ∪ x ≥ 3 ∧ x ≠ 5