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NUMERI E LOGICA

Dato una definizione generale di funzione come corrispondenza tra elementi di due insiemi. Gli insiemi saranno indicati con le lettere maiuscole, i loro elementi con lettere minuscole.

Appartenenza

La notazione a ∈ A indica che a è un elemento di A, ossia che a appartiene ad A. La notazione a ∉ A esprime invece la non appartenenza di a ad A.

Inclusione

La notazione A ⊆ B indica che l'insieme A è un sottoinsieme dell'insieme B.

Se si afferma che A ⊆ B, non si esclude che A = B.

La notazione A ⊂ B indica che A è contenuto in B, ma non coincide con B.

1. Unione

Diciamo unione di due insiemi (A ∪ B), l'insieme costituito dagli elementi che appartengono ad A o B o entrambi.

2. Intersezione

Diciamo intersezione di due insiemi (A ∩ B), l'insieme costituito dagli elementi che appartengono sia ad A che a B.

Due insiemi si dicono disgiunti quando non hanno elementi in comune; la loro intersezione è l'insieme vuoto A ∩ B = Ø.

3. Differenza

Dati due insiemi A e B, si definisce differenza l'insieme A\B costituito dagli elementi di A che non appartengono a B.

L'insieme A\B è anche chiamato complementare di B rispetto ad A.

4. Prodotto cartesiano

Dati due insiemi A e B, chiamiamo loro prodotto cartesiano A × B, l'insieme delle coppie ordinate (a, b).

Simbologia

  • ∀ → Per ogni
  • ∃ → esiste almeno un
  • ∃! → esiste un solo
  • a ∈ B → appartenenza
  • a ∉ B → non appartenenza
  • A ⊆ B → inclusione
  • A ⊂ B → inclusione propria
  • ∴ → tale che
  • A ⊄ B → non inclusione propria
  • A ≠ B → diverso

Insiemi di Numeri

N = {0, 1, 2, 3, 4,...}

Insieme dei numeri naturali(discreto)

Z = {... -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}

Insieme dei numeri interi(discreto)

Q = {+/- m/n ..., n ≠ 0}

Insieme dei numeri razionali(denso, ma ancora discreto)

R = {... √2, π ,...}

Insieme dei numeri irrazionali(continuo)

ℵ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

[ estremi inclusi ] [ estremi esclusi ]

Teorema + Dimostrazione - √2 ∉ Q

Premessa: (n2 pari ⟹ n pari)

Supponiamo che esista per assurdo un numero r ∈ Q tale che r2 = 2.Possiamo scrivere r = m/n con n, m ∈ Z, m, n ≠ 0, già semplificati.Abbiamo dunque: (m/n)2 = 2 ⟹ n2 = 2m2 ⟹ per cui n pari en = 2k per qualche k ∈ Z

⟹ (2k)2 = 2m2 ⟹ 4k2 = 2m2 ⟹ m2 = 2k2per cui abbiamo scoperto che anche m è pari, e questo va in contrapposizione alla nostra ipotesi iniziale ossia che n, m fossero già semplificati.

Se esistono i valori di estremo superiore ed estremo inferiore sono chiamati rispettivamente massimo e minimo dell'insieme.

Asseoma di continuità: E ⊂ R non vuoto e limitato superiormente possiede un estremo superiore (stesso discorso per inferiore).

Funzioni

Una funzione è una relazione fra due insiemi non ambigui A e B che associa ad ogni elemento di A, uno e un solo elemento di B.

  • A → A ∃ B
  • A- variabile indipendente
  • B- variabile dipendente

Il dominio di una funzione è l'insieme su cui è definita la funzione (input).

Il codominio di una funzione è l'insieme in cui sono contenute le immagini della funzione (output).

    x → Funzione →     ƒ(x)

  input                        output

Una funzione è iniettiva se elementi distinti del dominio, hanno immagini distinte.

a1 ≠ a2 ,   a1 , a2 ∃ A → ƒ(a1) ≠ ƒ(a2)

È possibile che non tutti gli elementi di B vengano presi.

Una funzione è suriettiva se per ogni elemento del codominio, esiste almeno un elemento del dominio A cui è associato.

∀ b ∃ B  ∀ a ∃ A  ∃ a ∃ b: b ∃ ƒ(a)  &Exist;(A) = B

Ogni elemento di B è necessariamente associato ad un a.

Una funzione è biiettiva se associa ad ogni elemento di A, almeno e al massimo un elemento di B.

È al contempo iniettiva e suriettiva ed è invertibile.

Ogni a ha un b distintivo e ogni b è associato ad un a.

Una funzione non deve necessariamente appartenere ad uno di questi gruppi. Test necessario/sufficiente:

Traccio infinite rette orizzontali se ogni retta interseca il grafico della funzione è suriettiva. Se ogni retta interseca al max 1 volta il grafico è iniettiva. Se sussistono entrambe è biiettiva.

FUNZIONI ESPONENZIALI

Chiamiamo funzioni esponenziali tutte quelle funzioni che si presentano nella forma y=ax con a numero reale positivo ≠1.

Il numero reale a è detto base della funzione esponenziale. Si esclude il caso in cui a=1 perché si avrebbe y=1 (retta).

Nel descrivere le caratteristiche delle funzioni esponenziali conviene distinguere due casi:

  • 0<a<1
  • a>1

CE

(-∞, +∞)

Codominio

(0, +∞)

Analogie:

  • Si tratta sempre di funzioni strettamente positive
  • Il grafico passa sempre per il punto di coordinate (0,1)

Differenze:

  • Gli esponenziali con 0<a<1 sono strettamente decrescenti, quelli con a>1 strettamente crescenti.
  • Comportamento simmetrico: ax ha il grafico simmetrico di 1/ax

Proprietà delle potenze:

an·am=an+m

an:am=an-m

(ax)n = ax·n

an=an

bm=

(a/b)n

Le equazioni esponenziali sono equazioni in cui l'incognita compare all'esponente. Le più semplici si presentano nella forma ax=b con a>0 e a≠1.

Hanno zero soluzioni se 0<0, una se b>0.

Per risolvere le equazioni esponenziali:

  1. Cerco di ricondurmi alla forma af(x)=ag(x) e risolvo imponendo f(x)=g(x)
  2. Se riconducibili a max=ubx trasformo in (m/u)x=(b/a)x
  3. Cambio variabile per la semplificazione dei passaggi (t)

Per la risoluzione delle disequazioni esponenziali utilizzo lo stesso metodo ricordandomi però che:

Se la base a è compresa fra 0 e 1 il verso si cambia!

Disequazioni

Intere

a2+bx+c ≥ 0 è una parabola!

La disequazione ci chiede di capire per quali valori sta al di sopra e al di sotto dell'asse x.

a > 0 (sorridente)

a < 0 (triste)

Δ > 0

Δ = 0

Δ < 0

Δ = b2 - 4ac

Es:

x2 - 4x + 3 ≥ 0

x1 = 4 ± √(16 - 4 * 3) / 2 = 4 ± 2 / 2

= x1 = 3

x2 = 1

a > 0 sorridente

Δ > 0 2 intersezioni

Fratte:

  1. C.E.
  2. NUM ≥ 0
  3. DEN > 0

NUM

DEN

Es:

x2 - 4x + 3

x2 + 25 - 10x > 0

NUM ≥ 0

x2 - 4x + 3 ≥ 0 x ≤ 1 x ≥ 3

DEN > 0

x2 - 10x + 25 > 0 x ≠ 5

x ≤ 1 ∪ x ≥ 3 ∧ x ≠ 5

Dettagli
Publisher
A.A. 2019-2020
57 pagine
3 download
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Erika.Valle di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Milano - Bicocca o del prof Uderzo Amos.