Appunti Campi Elettromagnetici

Dominio del tempo

̅+ ̅=∇∙ =0 = + ∇× =• Equazioni di Maxwell∇∙ = = + ∇× =−= ⁄= induzione magnetica= campo magnetico ⁄= polarizzazione magnetica ⁄= permeabilità magnetica ⁄= densità di corrente elettrica !⁄= "densità di carica elettrica ⁄= #induzione elettrica= campo elettrico ⁄= $polarizzazione elettricapermittività elettrica∇∙ =0 = ∇× =

In assenza di sorgenti: ∇∙ =0 = ∇× =− =− Considerando la polarizzazione elettrica, se il mezzo è lineare, si ha:

%&̅ %&̅ ) %&̅, () = * * ̅ , &̅ , (, ( ∙ , () -( -&+ + + + +/0

Se il mezzo è anche stazionario:

%&̅ %&̅ ) %&̅, () = * * ̅ − &̅ , ( − ( ∙ , () -( -&+ + + + +/0

Trasformandolo nel caso di sorgenti armoniche: 1 1%&̅ %&̅, 2) = * * 3%&̅ − &̅ , 2) ∙ , 2) -&+ + +/0

1 1 5 1%&̅ %&̅ %&̅ ̂%&̅ %&̅, 2) = 3%&̅ , 2) ∙ , 2) ⟹ , 2) = , 2) ∙ , 2) E se il mezzo è non dispersivo: %&̅ % ) %&̅, () = ̅ &̅ ∙ , ()

Se i mezzi sono lineari, senza memoria e omogenei:

Onde piane

− =− Dalle equazioni di Maxwell nel caso di assenza di sorgenti:

8 9 9 8 :− =−⟹∇× =− 7 9 : : 9 8− =−: 8 8 : 9 2− =8 9 9 8 :− =∇× = ⟹ 7 9 : : 9 8− =: 8 8 : 9; = = 0=:< : 8=− =0− Ipotizzando variazioni solo sulla coordinata 9 8 : 9 8 :⟹ ⟹∇× =− > >−0=− =−9 : 8 9 : 80−0=− 0=9 9= =0− −9 8 : 9 8 : ∇× = ⟹ ⟹> >−0= =9 : 8 9 : 80−0= 0=9 9=? ⟹9 8 :=

Mettendo insieme le equazioni, ad esempio 9 : 8% )= ⟹⟹ ⟹ = = =< = < =9 9 8 9 : 9 8 9 : @ 8 9 8 8=⎧ 9 : :⎪ =9 8 8=⎨⎪ L’equazione vale per tutte e quattro le componenti dell’onda: 9 : :=⎩ 9 8 8 La formula prende il nome di equazione d’onda.

Relazione tra campo elettrico e campo magnetico

9 8 : ; ; Considerando la relazione, e assumendo l’onda con una forma del tipo:

%;, %;, %;, − + + ∙ H3() = E () + E () ∙ H3 = I J( L J( LMG / 8G 8/K K8 FF7 ; ; %;, %;, %;,() = E () + E () ∙ N3 = I − + + ∙ N3J( L J( LMG / :G :/K K:

1= velocità di fase^OK ∙√; ; ; ; Si ha che: ) % )= I − + + = I% − + +J( L J( LM J( L J( LMG / G + / +K K K K: : : : : ⟹7 ; ; 1 ; ;= I − + + = − ∙ I< − − +J( L J( LM = J( L < = J( LM+ +G / G /K K K K K 9 8 9 8 8 8 81 ; ; ; ; ) % )⟹ − ∙ I< − − + = ∙ I−% − + + ⟹= J( L < = J( LM J( L J( LM+ +8G 8/ :G + :/ +K K K K K; ; 1 ; ; ) % )⟹ I% − + + = − ∙ I< − − + ⟹J( L J( LM = J( L < = J( LM+ +:G + :/ + 8G 8/K K ∙K K K ; ; ; ;) L+% )− + = −_ ∙ I< − L−< + ⟹⟹ I% J( J( LM = J( = J( LM+ +G + / + G /K K K K : : 8 8 3⎧ G= −_ ∙ =− 8G G⎪ `: 8 b⟹ = impedenza d ondaga` +⎨ /=_ ∙ =⎪ 8/ / `: 8⎩ =−9 : 8 Allo stesso modo, considerando la relazione , e assumendo l’onda con; ;una forma del tipo: %;, %;, %;,() = () + () ∙ N3 = I − L+ + ∙ N3J( J( LMG / G /K K: : :FF7 ; ; %;, %;, %;,() = () + () ∙ H3 = I − + + ∙ H3J( L J( LMG / 8G /K K8 8 Si ha che: ⎧ G=_ ∙ = :G G⎪ `8 :⎨ /= −_ ∙ =−⎪ :/ / `8 :⎩ Quindi, la relazione che c’è tra le onde del campo elettrico e del campo magnetico è: GG⎧ =− =` onde progressive8:⎪ G G8 :⎨ //− = =` onde regressive8:⎪⎩ / /8 : %;, %;,-

Dominio della frequenza

() = () ∙ N3 = − ∙ N3J( L9G G: :F j; = 0 Considerando solo un’onda progressiva %; %;= 0, () = = 0, () ∙ N3 = ∙ cos%2( + Φ) ∙ N3 Supponiamo che vari con legge sinusoidale. In avremmo: G G: :F k; ; Mentre in ogni altro punto di avremmo: %;, %;,() = () ∙ N3 = ∙ cos ∙ − ∙ cos%2( − m; + Φ) ∙ N3+ Φ L ∙ N3 =J2 J( LG G GK: : :F 2 k k= = 2n ∙ numero d onda , Φ = fase LJm +K 1%;, %2,() = ∙ cos%2( − m; + Φ) ∙ N3 = pqr ∙ q ∙ N3 = pqr ;) ∙ q ∙ N3w w Quindi: G G s%t /u9Gv) st: : : :1k k%2,⟹ ;) = ∙ qG /s%u9/v): :k è detto fasore 42z Kx= =m E lunghezza d’onda nel vuoto1 5 { 5 { 1=0 ∇ × = =∇∙ + + |2• Equazioni di Maxwell nei fasori 5 1 1 5∇∙ = ∇ × = − = −|21 5 1=0 ∇ × = |2∇∙ In assenza di sorgenti: 5 1 5∇∙ =0 ∇ × = −|21 1 5 1 5− = −|2 = |2 Dalle relazioni tra campo elettrico e campo magnetico in assenza di sorgenti: 8 9 9 8 : 9 8 :1 1 51 5 1 5} •} •@− = −|2= −|2 ⟹∇ × •‚‚‚‚‚ƒ = −|27 7~ €9 : : 9 8 9 : 81 1 5 5− = −|2 0 = −|2: 8 8 : 9 95 5 1 5 1− = |2 − = |28 9 9 8 : 9 8 :5 5 15 1 5 1} •} •@− = |2= |2 ⟹ •‚‚‚‚‚ƒ = |2∇ × 7 7~ €9 : : 9 8 9 : 85 5 1 1− = |2 0 = |2: 8 8 : 9 91 1= −2Possiamo trovare l’equazione d’onda nei fasori, che è del tipo: ⎧ 9 : :1 1⎪ = −29 8 85 5= −2⎨⎪ 9 : :5 5= −2⎩ 9 8 81 5= −|2• Relazione tra campo elettrico e campo magnetico nei fasori 9 : 8 Considerando l’equazione, e avendo nel fasore un’onda progressiva e1 %2, ∙ N3;) = ∙ q + ∙ q„ † un’onda regressiva, si ha che: G /s%u9/…) / /s%/u9/…): : :1 k k> %2, ;) 1̀5 %2, ;) = ∙ H3 = ∙ q − ∙ q ∙ H3„ †: G /s%u9/…) / /s%/u9/…)`8 : :k k 51 5= |29 8 :1 %2, ∙ H3;) = ∙ q + ∙ q †„

Allo stesso modo, con l’equazione: G /s%u9/…) / /s%/u9/…)8 8 81 k k7 %2, ;) 1̀5 %2, ;) = ∙ H3 = − ∙ q − ∙ q ∙ N3„ †8 G /s%u9/…) / /s%/u9/…)`: 8 8k k

Poynting

= × = + × + = − =< = < = < =• Vettore di Poynting : 8 : 8 : 8 8 :„% )< =% )†= + + − + + ∙ ;̂ == <:G :/ 8G 8/ 8G 8/ G /: :G /G /‡% )= + − g−< + + ∙ ;̂ =a = a− gˆ8 8: :G / G /` ` ` `: : 8 81̀ % ) −% )= − I−< +< MŠ ∙ ;̂ =‰ = =G / G /: : 8 81̀ ‰I% ) )= +< M − I% +< MŠ ∙ ;̂= =G G / /: 8 : 8 )= I% +< M=FG G G9 : 8=% ) = I= + ∙ ;̂ ⟹ MLJ> Œ‹G /9 9 9 )= − I% +< M=F • Ž/ / /Considerando 9 : 8‹1 La densità di energia trasportata dalla sola onda progressiva è data da:| | )• = = I% + M< =⎧ :G 8G2 2•1 1⎨ | | ) ) )• = = I% + M = I% + M = I% + M = •< < <= = =G G G G G G2 2 2 2`⎩ ’ : 8 : 8 : 8 •| |=2••oppure⟹ • = • + • = >“ • ’ | |2• =’⎧ | | = ∙`∙ =n ∙ ∙ = K⎪⎛ ⎞oppure• = , considerando = = ∙ ;̂⎜ ⎟G⎨“ 9 91̀⎪ | | = ∙ ∙ =n ∙ ∙ = K⎩⎝ ⎠%∇ ) %− )∙∇× =− ∙ × =• Teorema di Poynting nel dominio del tempo ⟹ ⟹š š̅+ ̅ )∙%∇ ) %∇ × = ∙ × = +| | | |̅∙%∇ ) %∇ )⟹ ∙ × − ∙ × = − − − ⟹2 2 6| | | | ̅∙∇∙% )=− g− ⟹⟹ × +a 2 2⟹ # ⟹| | | |integro in un volume generico ̅∙% )⟹ * ∇ ∙ × -# = * + g− -# ⟹‡− a ˆ2 2. . | | | | ̅∙⟹ * ∇ ∙ -# = − * + -# − * -#‡ ˆ2 2. . .∇ ∙ -# = * -› , › = superficie del volume #ga*. œ ̅ Può anche essere riscritta come:*∇ ∙ -# = − * • + • -# − * ∙ -# ⟹• ’. . . ̅⟹ * • -# = − * ∇ ∙ -# − * ∙ -#“. . . Il teorema di Poynting esprime la conservazione dell'energia del campo elettromagnetico nel caso in cui i campi e siano accoppiati, cosa che non avviene in • generale nel caso stazionario. Il teorema afferma che la diminuzione nel tempo della“ ̅= × ∙ densità di energia elettromagnetica in un punto dello spazio è dovuta alla divergenza del vettore di Poynting e/o alla potenza dissipata sulle cariche per unità di volume in quel punto (ad esempio per effetto Joule). 5 1 5 51 5 ∙ × = ∙<∇ = <−|2 =• ∇ × = −|2

Teorema di Poynting nel dominio dei fasori

∗ ∗? ⟹ ⟹ž5 { 1 1 5 { 1 1∇ × = − |2 ∙ × = − |2 ∙<∇ = J L∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗5 1 1 5 5 { 1 1⟹ ∙ × − ∙ × = −|2 − ∙ − |2 ⟹<∇ = <∇ = Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ∗ ∗ ∗⟹ # ⟹1 5 5 1 { 1integro in un volume generico⟹ * ∇ ∙ × -#-# = −|2 * I + M -# − * ∙< Ÿ Ÿ= Ÿ Ÿ∗ ∗. . .-Continuità dei campi

∇× =− ⟹ *∇ × -› = − * -› = 0 ⟹œ œ% )⟹ *∇ × -› = -ℓ = − ∙ ∆ℓ = 0 ⟹ =F Fœ )% − ∙ ∆ℓ = 0 ⟹ =-ℓ =∮ F F− = Analogamente: F œ Nel caso ci sia una corrente superficiale: 7% )− ∙ ∆› = ∙ ∆› ⟹ − =¤F ¤ ¤F ¤= 0 ⟹ = ⟹ ∙ = ∙¤F ¤ F ¤F ¤ Se % )− = ⟹∙ ∆› = 0 ⟹¤F ¤ ¤F ¤⟹ ∙ = ∙ Analogamente: F ¤F ¤

Incidenza normale di onde piane

In un mezzo infinito

1 11= ∙ q ∙ N3 = ∙ q ∙ N3= ∙ q ∙ N3G G/su 9 /su 9/ Gsu 9© Ž©¥¤¦¥§¨¤ ¨ ª®-•¨--®F ª¥«¬¨--® F> > >/G G55 5= − ∙q ∙ H3= ∙q ∙ H3 = ∙ q ∙ H3FF Gsu 9/su 9 /su 9`` `©© Žª¥«¬¨--®¥¤¦¥§¨¤ ¨ ª®-•¨--®FF ⁄n= 2n , ` =Jm L¥ @ @ ¥ ¥ @ @ ¥1 5; = 0,+ =G G/Dalle equazioni di continuità dei campi, in essendo e tangenziali: 1 1%; ) %; ) − += 0 = = 0 FF G G/ // G − ⟹ = ⟹? ⟹ > F F“ “ F FG G/5 5 ` `%; ) %; ) == 0 = = 0 FF/ G ` ` F“ “ F1 1 1 1 ` − `/⟹ ∙ − = ∙ + ⟹ = Γ =O ^ O ^ FFG / ` + `` ` ` ` FFF GF F FF/ La relazione che c’è tra le onde nei due mezzi è quindi: = Γ = ∙ ΓF G/⟹ š> F FF FG )%1= ∙ + ΓF G G+ = FFG G/FF

In un mezzo conduttore

{=° 1 5 5 1%° )− = + |2 Considerando il secondo mezzo come conduttivo, le equazioni di Maxwell diventano:

8 9 9 8 :5 5 11 5 5 1 %° )%° ) − = + |2⟹ ∇ ×∇ × = −|2 = + |2 ⟹7 7 9 : : 9 85 { 1 5 5 1%° )= + |2∇ × − = + |2: 8 8 : 9 81 1 5− = −|28 9 9 8 :1 1 51 5 − = −|2= −|2 ⟹∇ × 7 9 : : 9 81 1 5− = −|2 Allo stesso modo: : 8 8 : 9= = 0,: 85 1 1 5%° )= + |2 = |2− Siccome è un’onda piana, prendiamo il caso in cui quindi: 9 8 : 9 8 :5 1 1 5%° )= + |2 = −|27 79 : 8 9 : 81 5%° )0 = + |2 0 = −|29 91 1 1%° )= |2 + |2 = ± ⟹9 : : :1⟹ = ∙ q + ∙ q L’equazione d’onda diventa: /²9 G²9:G :/:%° )± = + |2 = + =n|2 J1 Lb−2 ³st´ (± costante di fase)≫ 1 ⟹ ± ≃ n|2 ° = √2 ° ∙ =³ FGs FGsst´ ·√1 Nel caso di buon conduttore: ¸ = ¹ °nz E profondità di penetrazione 1 1 ± Calcolo dell’impedenza d’onda per la sola onda progressiva: 5 % )= − = − ∙ ∙ q ∙ ∙ q ⟹=9 : :G /²9 :G /²9|2 |2|28 91 |2 ¸⟹ `= = = |2 ∙:5 ± 1+|8

In un mezzo stratificato

1 = ∙ q + ∙ q ∙ N3< =FG F//su 9 Gsu 9© ©F 1> 5 = ∙ ∙ q − ∙ q ∙ H3=< FG F//su 9 Gsu 9` © ©F F1 = ∙ q + ∙ q ∙ N3< =G //su 9 Gsu 9Ž Ž1> 5 = ∙ ∙ q − ∙ q ∙ H3< =G //su 9 Gsu 9` Ž Ž 91 = ∙ q ∙ N3< =!G /su 9º! 1> 5 = ∙ ∙ q ∙ H3< =!G /su 9` º! ! 1 5, m , `G ¥ ¥F + = +G G/ /, dalle equazioni di continuità dei campi e tangenziali: Noti ⎧ FF1 1%; ) %; )= 0 = = 0 − −/ G G G/ /⎪⎧ =⎪“ “ FF⎪ 5 5%; ) %; )= 0 = = 0 ` `/ G ⟹“ “ F1 1 ∙q + ∙ q = ∙ q%; ) %; )= - = = -⎨ ⎨ G !G//su § Gsu § /su §/ G Ž Ž º⎪ “ “ ⎪5 5 ∙q − ∙ q ∙q%; ) %; )= - = = -⎩ ⎪ G G//su § Gsu § /su §/ G =Ž Ž º!“ “ ` `⎩ !/ Dalle equazioni (3) e (4) ricaviamo che: 1+ ∙ q G su §`∙ q − ∙ q ∙ q + ∙ q ŽG G/ //su § Gsu § /su § Gsu § G= ⟹ = ⟹Ž Ž Ž Ž !` ` ` /1 − ∙ q! G su §ŽG` `− ` − `/ /⟹ ∙q = ⟹ = ∙ q = Γ ∙ q! !G su § / su § / su §` + ` ` + `Ž Ž ŽG G! ! / Ora, dividendo l’equazione (1) con la (2) trovo che: ⎧/ / = Γ1+ 1+ FF ⎪`+ + FG G // G GG` ∙ =` ∙ ⟹ ∙ = ⟹ ⟹FFF F F`− − ⎨ // /F G G/ / 1− 1− = Γ ∙qF ⎪F / su §F ŽG G G⎩F ` 1 + Γ ∙ q / su §∙ −1Ž` 1 + Γ 1 + Γ ∙ q ` 1 − Γ ∙ q/ su § / su §⟹ ∙ = ⟹ Γ = ⟹ŽF F F Ž`` 1 − Γ 1 + Γ ∙ q1 − Γ ∙ q F / su §/ su § ∙ +1ŽŽF ` 1 − Γ ∙ q / su §F Ž