Appunti Campi Elettromagnetici

F

G G G

9 : 8

=% ) = I

= + ∙ ;̂ ⟹ ML

J

> Œ

‹

G /

9 9 9 )

= − I% +< M

=

F • Ž

/ / /

Considerando 9 : 8

‹

1

La densità di energia trasportata dalla sola onda progressiva è data da:

| | )

• = = I% + M

< =

⎧ :G 8G

2 2

•

1 1

⎨ | | ) ) )

• = = I% + M = I% + M = I% + M = •

< < <

= = =

G G G G G G

2 2 2 2

`

⎩ ’ : 8 : 8 : 8 •

| |

=

2•

•

oppure

⟹ • = • + • = >

“ • ’ | |

2• =

’

⎧ | | = ∙`∙ =n ∙ ∙ = K

⎪

⎛ ⎞

oppure

• = , considerando = = ∙ ;̂

⎜ ⎟

G

⎨

“ 9 9

1̀

⎪ | | = ∙ ∙ =n ∙ ∙ = K

⎩

⎝ ⎠

%∇ ) %− )∙

∇× =− ∙ × =

• TEOREMA DI POYNTING NEL DOMINIO DEL TEMPO

⟹ ⟹

š š

̅+ ̅ )∙

%∇ ) %

∇ × = ∙ × = +

| | | |

̅∙

%∇ ) %∇ )

⟹ ∙ × − ∙ × = − − − ⟹

2 2 6

| | | | ̅∙

∇∙% )=− g− ⟹

⟹ × +

a 2 2

⟹ # ⟹

| | | |

integro in un volume generico ̅∙

% )

⟹ * ∇ ∙ × -# = * + g− -# ⟹

‡− a ˆ

2 2

. . | | | | ̅∙

⟹ * ∇ ∙ -# = − * + -# − * -#

‡ ˆ

2 2

. . .

∇ ∙ -# = * -› , › = superficie del volume #g

a*

. œ ̅

Può anche essere riscritta come:

*∇ ∙ -# = − * • + • -# − * ∙ -# ⟹

• ’

. . . ̅

⟹ * • -# = − * ∇ ∙ -# − * ∙ -#

“

. . .

Il teorema di Poynting esprime la conservazione dell'energia del campo

elettromagnetico nel caso in cui i campi e siano accoppiati, cosa che non avviene in

•

generale nel caso stazionario. Il teorema afferma che la diminuzione nel tempo della

“ ̅

= × ∙

densità di energia elettromagnetica in un punto dello spazio è dovuta alla

divergenza del vettore di Poynting e/o alla potenza dissipata sulle

cariche per unità di volume in quel punto (ad esempio per effetto Joule).

5 1 5 5

1 5 ∙ × = ∙

<∇ = <−|2 =

• ∇ × = −|2

TEOREMA DI POYNTING NEL DOMINIO DEI FASORI

∗ ∗

? ⟹ ⟹

ž

5 { 1 1 5 { 1 1

∇ × = − |2 ∙ × = − |2 ∙

<∇ = J L

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

5 1 1 5 5 { 1 1

⟹ ∙ × − ∙ × = −|2 − ∙ − |2 ⟹

<∇ = <∇ = Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ

∗ ∗ ∗

⟹ # ⟹

1 5 5 1 { 1

integro in un volume generico

⟹ * ∇ ∙ × -#

-# = −|2 * I + M -# − * ∙

< Ÿ Ÿ

= Ÿ Ÿ

∗ ∗

. . .

-CONTINUITÀ DEI CAMPI

∇× =− ⟹ *∇ × -› = − * -› = 0 ⟹

œ œ

% )

⟹ *∇ × -› = -ℓ = − ∙ ∆ℓ = 0 ⟹ =

F F

œ )

% − ∙ ∆ℓ = 0 ⟹ =

-ℓ =

∮ F F

− =

Analogamente: F œ

Nel caso ci sia una corrente superficiale: 7

% )

− ∙ ∆› = ∙ ∆› ⟹ − =

¤F ¤ ¤F ¤

= 0 ⟹ = ⟹ ∙ = ∙

¤F ¤ F ¤F ¤

Se % )

− = ⟹

∙ ∆› = 0 ⟹

¤F ¤ ¤F ¤

⟹ ∙ = ∙

Analogamente: F ¤F ¤

-INCIDENZA NORMALE DI ONDE PIANE

• IN UN MEZZO INFINITO

1 1

1

= ∙ q ∙ N3 = ∙ q ∙ N3

= ∙ q ∙ N3

G G

/su 9 /su 9

/ Gsu 9

© Ž

©

¥¤¦¥§¨¤ ¨ ª®-•¨--®

F ª¥«¬¨--® F

> > >

/

G G

5

5 5

= − ∙q ∙ H3

= ∙q ∙ H3 = ∙ q ∙ H3

F

F Gsu 9

/su 9 /su 9

`

` `

©

© Ž

ª¥«¬¨--®

¥¤¦¥§¨¤ ¨ ª®-•¨--®

F

F ⁄

n

= 2n , ` =

Jm L

¥ @ @ ¥ ¥ @ @ ¥

1 5

; = 0,

+ =

G G

/

Dalle equazioni di continuità dei campi, in essendo e tangenziali:

1 1

%; ) %; ) − +

= 0 = = 0 F

F G G

/ /

/ G − ⟹ = ⟹

? ⟹ > F F

“ “ F F

G G

/

5 5 ` `

%; ) %; ) =

= 0 = = 0 F

F

/ G ` ` F

“ “ F

1 1 1 1 ` − `

/

⟹ ∙ − = ∙ + ⟹ = Γ =

O ^ O ^ F

F

G / ` + `

` ` ` ` F

F

F G

F F F

F

/

La relazione che c’è tra le onde nei due mezzi è quindi:

= Γ = ∙ Γ

F G

/

⟹ š

> F F

F F

G )

%1

= ∙ + Γ

F G G

+ = F

F

G G

/

F

F

• IN UN MEZZO CONDUTTORE

{=° 1 5 5 1

%° )

− = + |2

Considerando il secondo mezzo come conduttivo, le equazioni di Maxwell diventano:

8 9 9 8 :

5 5 1

1 5 5 1 %° )

%° ) − = + |2

⟹ ∇ ×

∇ × = −|2 = + |2 ⟹

7 7 9 : : 9 8

5 { 1 5 5 1

%° )

= + |2

∇ × − = + |2

: 8 8 : 9 8

1 1 5

− = −|2

8 9 9 8 :

1 1 5

1 5 − = −|2

= −|2 ⟹

∇ × 7 9 : : 9 8

1 1 5

− = −|2

Allo stesso modo: : 8 8 : 9

= = 0,

: 8

5 1 1 5

%° )

= + |2 = |2

−

Siccome è un’onda piana, prendiamo il caso in cui quindi:

9 8 : 9 8 :

5 1 1 5

%° )

= + |2 = −|2

7 7

9 : 8 9 : 8

1 5

%° )

0 = + |2 0 = −|2

9 9

1 1 1

%° )

= |2 + |2 = ± ⟹

9 : : :

1

⟹ = ∙ q + ∙ q

L’equazione d’onda diventa: /²9 G²9

:G :/

:

%° )

± = + |2 = + =

n|2 J1 L

b−2 ³

st´ (± costante di fase)

≫ 1 ⟹ ± ≃ n|2 ° = √2 ° ∙ =

³ FGs FGs

st´ ·

√

1

Nel caso di buon conduttore:

¸ = ¹ °

nzE profondità di penetrazione

1 1 ±

Calcolo dell’impedenza d’onda per la sola onda progressiva:

5 % )

= − = − ∙ ∙ q ∙ ∙ q ⟹

=

9 : :G /²9 :G /²9

|2 |2

|2

8 9

1 |2 ¸

⟹ `= = = |2 ∙

:

5 ± 1+|

8

• IN UN MEZZO STRATIFICATO

1 = ∙ q + ∙ q ∙ N3

< =

FG F/

/su 9 Gsu 9

© ©

F 1

> 5 = ∙ ∙ q − ∙ q ∙ H3

=

< FG F/

/su 9 Gsu 9

` © ©

F F

1 = ∙ q + ∙ q ∙ N3

< =

G /

/su 9 Gsu 9

Ž Ž

1

> 5 = ∙ ∙ q − ∙ q ∙ H3

< =

G /

/su 9 Gsu 9

` Ž Ž 9

1 = ∙ q ∙ N3

< =

!G /su 9

º

! 1

> 5 = ∙ ∙ q ∙ H3

< =

!G /su 9

` º

! ! 1 5

, m , `

G ¥ ¥

F + = +

G G

/ /

, dalle equazioni di continuità dei campi e tangenziali:

Noti ⎧ F

F

1 1

%; ) %; )

= 0 = = 0 − −

/ G G G

/ /

⎪

⎧ =

⎪

“ “ F

F

⎪ 5 5

%; ) %; )

= 0 = = 0 ` `

/ G ⟹

“ “ F

1 1 ∙q + ∙ q = ∙ q

%; ) %; )

= - = = -

⎨ ⎨ G !G

/

/su § Gsu § /su §

/ G Ž Ž º

⎪ “ “ ⎪

5 5 ∙q − ∙ q ∙q

%; ) %; )

= - = = -

⎩ ⎪ G G

/

/su § Gsu § /su §

/ G =

Ž Ž º

!

“ “ ` `

⎩ !

/

Dalle equazioni (3) e (4) ricaviamo che: 1+ ∙ q G su §

`

∙ q − ∙ q ∙ q + ∙ q Ž

G G

/ /

/su § Gsu § /su § Gsu § G

= ⟹ = ⟹

Ž Ž Ž Ž !

` ` ` /

1− ∙ q

! G su §

Ž

G

` `

− ` − `

/ /

⟹ ∙q = ⟹ = ∙ q = Γ ∙ q

! !

G su § / su § / su §

` + ` ` + `

Ž Ž Ž

G G

! ! /

Ora, dividendo l’equazione (1) con la (2) trovo che: ⎧

/ / = Γ

1+ 1+ F

F ⎪

`

+ + F

G G /

/ G G

G

` ∙ =` ∙ ⟹ ∙ = ⟹ ⟹

F

F

F F F

`

− − ⎨ /

/ /

F G G

/ / 1− 1− = Γ ∙q

F ⎪

F / su §

F Ž

G G G

⎩

F ` 1 + Γ ∙ q / su §

∙ −1

Ž

` 1 + Γ 1 + Γ ∙ q ` 1 − Γ ∙ q

/ su § / su §

⟹ ∙ = ⟹ Γ = ⟹

Ž

F F F Ž

`

` 1 − Γ 1 + Γ ∙ q

1 − Γ ∙ q F / su §

/ su § ∙ +1

Ž

Ž

F ` 1 − Γ ∙ q / su §

F Ž

) %` )

%`

` + | ∙ ∙ (»¼%m

∙ − ` − ` ∙ ` ∙ -)

/ = Γ =

⟹ ! F ! F

F %` ) %` )

` ∙ + ` + | ∙ + ` ∙ ` ∙ (»¼%m ∙ -)

F

G ! F ! F

F

∙ -

[m ritardo di fase dall’interfaccia 1-2 all’interfaccia 2-3]

1 + Γ

Dalle equazioni (1) e (3) ricaviamo quindi che:

= ∙ F

G FG 1 + Γ ∙ q

> / su §

Ž

%1 )

= ∙ q ∙ + Γ

)§

G G /s%u /u

Ž º

! 10

%½

½-esimo + 1)-esimo

L’impedenza d’ingresso tra il mezzo e quello è data dal rapporto

½-esimo,

tra la componente elettrica e la componente magnetica dell’onda che viaggia nel mezzo

/

1 calcolato nel punto di intersezione tra i due mezzi: 1+ ∙ q

∙ N3

= ∙ q + ∙q =

< ¥

G / G su 9

/su 9 Gsu 9 1 ¾

¾ ¾ G

¥ ¥

¥

1̀ ⟹ ` = = ` ∙

> ¥

%¥) ¥

5

5 ∙ H3

= ∙ ∙ q − ∙ q =

< /

¥

¥¤

¥G ¥/

/su 9 Gsu 9 1− ∙ q

¥

¾ &