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CAMPI ELETTROMAGNETICI
Gradiente di un campo scalare
Data \( f(x, y, z) : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} \), considero le due "superfici" a distanza infinitesima
\( f_o + df \) (cambiamento infinitesimo)
\( f(x, y, z) = f_o \)
— \(\frac{df}{dl}\) derivata di \( f(x, y, z) \) nella direzione \( \hat{i} \)
— \(\frac{df}{dn}\) derivata di \( f(x, y, z) \) nella direzione \( \hat{n} \) (considerando dn = dl cosa)
— \( \frac{df}{dl} = \frac{df}{dn} \cdot \frac{dn}{dl} \cdot \text{cos} \alpha \) — la derivata nella direzione \( \hat{n} \) (con α : 0) è quella massima
Il gradiente della funzione scalare \( f(x, y, z) \) è il vettore che rappresenta l'ampiezza e la direzione della variazione spaziale massima. \( \bigtriangledown f \cdot \hat{n} = \frac{d f(x, y, z)}{dn} \) (∃ significa "è per definizione")
\( \bigtriangledown f \cdot \hat{i} \cdot \frac{df}{dn} \cdot \text{cos} \alpha \cdot \frac{df}{dl} \)
Considero il seguente grafico
\( f(x, y) \) Considero il seguente integrale tra P₁ e P₂:
\( \int_C \bigtriangledown f(l) \cdot \hat{i} \cdot dl, \quad \int_C \frac{df}{dl} dl = f(P_2) - f(P_1) \)
CIRCUITAZIONE DELLA FUNZIONE \( g = \int_C g(\vec{l}) \cdot \hat{i} \cdot dl \)
— se \( g(\vec{l}) = \bigtriangledown f(l) \) otteniamo: \[ \oint_C \bigtriangledown f(l) \cdot \hat{i} \cdot dl = \int_{P_1}^{P_2} \bigtriangledown f \cdot \hat{i} \cdot dl \cdot [f(P_2) - f(P_1)] = 0\]
Gradiente in coordinate cartesiane:
\(\frac{dp}{dz} \cdot \frac{df}{dx} \cdot dl = \frac{df}{dx} \cdot \frac{df}{dy} \cdot dy \cdot \frac{df}{dz} \cdot dz \) \(\left(\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial f}{\partial z}\right) \cdot (dx \cdot \hat{x} + dy \cdot \hat{y} + dz \cdot \hat{z})\)
\(\bigtriangledown f \cdot \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{df}{dz} \cdot \frac{d}{dl} = df \cdot \text{per definizione} \cdot \bigtriangledown d\)
Operatore Nabla:
- ∂∂x ∂∂y ∂∂z in coordinate cartesiane
- ∂∂r 1r∂∂φ ∂∂z in coordinate cilindriche
- ∂∂r 1r∂∂θ 1rsinθ∂∂φ in coordinate sferiche
In generale, per un qualsiasi sistema di coordinate ortogonali Σ (u1, u2, u3), l'operatore nabla può essere espresso così:
1h1∂∂u1 + 1h2∂∂u2 + 1h3∂∂u3- Solo in coordinate cartesiane ∇ si comporta effettivamente come un vettore e può essere quindi considerato come tale.
Rotore di un campo vettoriale
Considero al punto P, una superficie aperta dS (con contorno c1 normale ĵ) che contiene P ed il campo vettoriale ã(x,y,z):
ĥ⋅∇×ã(x,y,z) = limdS→0 ∮cã(x,y,z)⋅dĥdS
rappresenta la "rotazione" del campo vettoriale ã(x,y,z) rispetto alla normale ĥ (che può essere scelta arbitrariamente entrante o uscente da dS) nel punto P.
- Se ã(x,y,z) = ∇p ⟹ ∮c ã⋅dĥ = ∫∫S ∇p⋅dĥ = 0 ⟹ ∇×ã(x,y,z) = 0
Campo irrotazionale:
quando ∇×ã(x,y,z) = 0 ⇒ esiste una φ(x,y,z):{∇(x,y,z) = φ(x,y,z)}
Cioè la funzione φ è definita a meno di una costante c. Infatti: ∇φ (∇(φc)) = ∇φ = ∇(0)⊖∇c
Considero un sistema di coordinate ortogonali u1, u2, u3 definito dai coefficienti metrici gij = (sup>∂xi∂uj)(sup>∂yj∂uj)(sup>∂zj∂uj), i,j = 1,2,3 – â(u1, u2, u3)+aiûi + ajûj + akûk
In coordinate cartesiane può essere interpretato come segue:
∇×ã: 1√g11g22g33- ∂ãi√g22∂uj (sup>∂ak√g11∂ui) √g11∂uj √g22∂uk
In coordinate cartesiane può essere interpretato come segue:
- ∇×ã = del ∂∂x
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