Appunti Campi elettromagnetici

Articolazione del corso

Si riporta nuovamente l’articolazione del corso di Campi Elettromagnetici:

1. Equazioni di Maxwell
2. Propagazione guidata delle onde elettromagnetiche
3. Teoria della radiazione

a cui si precede con delle conoscenze matematiche propedeutiche al corso.

Parte I - Equazioni di Maxwell

Riassumendo, la parte I è strutturata con il seguente indice:

1. Conoscenze matematiche propedeutiche e richiami
2. Le equazioni di Maxwell nel dominio del tempo
3. Le equazioni di Maxwell nel dominio dei fasori
4. Relazioni costitutive (o relazioni materiali)
5. Onde piane nel dominio del tempo
6. Onde piane nel dominio dei fasori, velocità di fase e di gruppo
7. Esercizi e complementi relativi alle lezioni 1 – 6
8. Condizione dei campi elettromagnetici all'interfaccia tra mezzi
9. Trasmissione e riflessione di un'onda piana: incidenza normale su un mezzo stratificato
10. Coefficienti di riflessione e trasmissione di Fresnel per le onde piane
11. Energia associata ad un campo elettromagnetico
12. Approfondimenti tematici: i collegamenti ionosferici

Forma Differenziale OT:

• ∇ × e(r⃗ , t) = - ∂b(r⃗ , t)/∂t
• ∇ × h(r⃗ , t) = j(r⃗ , t) + ∂d(r⃗ , t)/∂t
• ∇ · d(r⃗ , t) = ρ(r⃗ , t)
• ∇ · b(r⃗ , t) = 0

Sintetizzate:

Vengono introdotte una densità di carica magnetica ρ_m e una densità di corrente magnetica j_m.

• ∇ × e(r⃗ , t) = - ∂b(r⃗ , t)/∂t
• ∇ × h(r⃗ , t) = j(r⃗ , t) + ∂d(r⃗ , t)/∂t
• ∇ · d(r⃗ , t) = ρ(r⃗ )
• ∇ · b(r⃗ , t) = ρ_m(r⃗ )

F. Differenziale ⇒ F. Integrale

Si applica alle prime due leggi il teorema di Stokes:

∬_S (∇ × a)̂ · n̂ ds = ∮_C a · dc

Si applica alle seconde due equazioni il teorema di Gauss - Ostrogradskij:

∰_V ∇ · a dv = ∬_S a · n̂ ds

REAZIONI COSTITUTIVE:

Essendo troppe le incognite delle eq. di Maxwell si introducono le reazioni costitutive così da evidenziare delle relazioni tra le incognite.

Nel vuoto valgono:

B = μ₀ H

E = ε₀ D

• Mezzo lineare: in un mezzo lineare vale la sovrapposizione degli effetti.
• Mezzo non lineare: non esiste relazione lineare che leghi i campi alle induzioni.
• Mezzo spazialmente omogeneo: le caratteristiche del mezzo variano con la coordinata.
• Mezzo temporalmente omogeneo: le caratteristiche del mezzo non dipendono dal tempo.
• Mezzo isotropo: mezzo caratterizzato da una matrice di permittività uguale alla matrice identità.
• Mezzo anisotropo: mezzo caratterizzato da una matrice di permittività diversa dalla matrice identità.
• Mezzo dispersivo nel tempo: il valore di d nell’istante t dipende potenzialmente da tutti i valori.

Es. vuoto

∂h_y/∂z = ε₀ ∂e_x/∂t

∂h_x/∂z = ε₀ ∂e_y/∂t

∂e_x/∂t = 0 — e_z(z,t) è costante nel tempo

Considero adesso le relazioni ≠0 e le derivo nuovamente:

∂/∂t

• ∂_th_x = ε₀ ∂_ze_y
• ∂_th_y = ε₀ ∂_ze_x
• ∂_ze_x = -μ₀ ∂_th_y

Considsero solo le equazioni che contengono h_x ed e_y, sostituendone una nell’altra ottengo:

∂_t²h_x - μ₀ε₀ ∂_t²h_x = 0 → C = 1/√(μ₀ε₀) ≈ 300'000 km/s

∂_z²h_x - 1/c² ∂_t²h_x = 0

Eq. di D'Alembert:

• □ h(z,t) = 0 con □ = ∂_z² - 1/c² ∂_t²

D'Alembertiano

- Sapendo che t₁ = t₂ n^ e che n(bxc) = b: (cxn) = c:(nxb):

(h₁ - h₂)t₁ = (h₂ - h₁)(E_i x n^) = t₂[n^ x (h₁ - h₂)] = J_s t₂

n^ x (h₂ - h₁) = J_s --- (la componente tangente alla superfice è discontinua e la discontinuità è pari alla densità di corrente superficiale)

Operando con il campo elettrico si arriva al "prestino" risultato:

n^ x (E₂ - E₁) = - J_ms ← Partendo dalla legge di Faraday-Neumann-Lenz

Continuità componente normale di d e b

Stavolta ho un volume contenuto in parte in un mezzo e in parte in un altro.

- Applico la legge di Gauss:

∯ d₂∙n^ ds + ∯ d₂∙n^ ds + ∯ d₁∙n^ ds + ∯ d₁∙n^ ds =

= ∬∬ ρ dV

- I contributi del piano pensato si semplificano:

d₂∙n^ Δs - d₁∙n^ Δs

- Al secondo membro abbiamo:

ρ₂ Δs Δ₂ + ρ₁ Δs Δ₂ + ρ_s Δs

- Semplifico Δs e valuto Δh→0:

(d₂ - d₁)∙n^ = ρ_s

Operando con il vettore induzione magnetica si arriva allo stesso risultato:

(b₂ - b₁)∙n^ = ρ_ms ← Con eq. sinetizzate partendo dalla legge di Gauss per b

Polarizzazione Perpendicolare (TE)

( trasferito elettrica

Si procede come nel caso di polarizzazione parallela. Le condizioni sui campi in z=0 portano al sistema:

(E₁₊ + E_1- = E₂₊

E₁₊ cosθ₁ - E_1- cosθ₁ = E₂₊ cosθ₂

Da cui si ottengono i coefficienti di rif. e tras. di Fresnel:

E_1- = Γ_⊥ E₁₊

E₂₊ = τ_⊥ E₁₊

Coeff. di riflessione ⊥ di Fresnel

Γ_⊥ = ^{Z₂cosθ₁ - Z₁cosθ₂}/_{Z2cosθ1 + Z1cosθ2} = ^{Z₂ - Z₁}/_{cosθ2 + cosθ1} = ^{Z₂+ - Z₁+}/_{Z2⁺ + Z1⁺}

Coeff. di trasmissione ⊥ di Fresnel

τ_⊥ = ^{2 Z₂cosθ₁}/_{Z2cosθ1 + Z1cosθ2} = ^{2 Z₂cosθ₂}/_{cosθ2 + cosθ1} = ^{2 Z₂₊}/_{Z2⁺ + Z1⁺}

Casi particolari

1. θ = 0 → Incidenza normale → θ₁ = θ₂

⇒ Γ = Γ_∥ = Γ_⊥ = ^{Z₂ - Z₁}/_{Z2 + Z1} τ = τ_∥ = τ_⊥ = ^{2 Z_Z}/_{Z2 + Z1}

Valutiamo la divergenza di S:

∇.S = ∇.(S_x + S_i) = ∇.S_R + ∇.S_I = ∇.(1/2 [E x H^*]) = 1/2 [H^*.(∇ x E) - E.(∇ x H^*)]

Nelle HP di mezzo con l'onte, delle EQ. di Maxwell nel DF:

[∇ x H = J_o + jωε ε'_rE] e [∇ x E = -jωμ μ'_rH]

Le e sostituendo in S e aggiungendo i prodotti scalari ottengo:

Re[∇.S_R] + ωε'_r|E|² + ωμ'_r|H|² + σ|E|² = -Re[1/2 E. J_o^*]

∇.S_I

Im[∇.S_I] + (- ωε'_r/2|E|² + ωμ'_r/2|H|²) = -Im[1/2 E. J_o^*]

Esemmiamo termine a termine:

A), E):

Sappiamo già che S_R = = Re[S_R + jS_I]

B):

<e.J_o> = 1/T ∫₀^T e.J_o dt = Re[1/2 E. J_o^*] [E. J_o] = W/m³

C):

<σe.e> = 1/T ∫₀^T σ e.e dt = 1/2 σ|E|²

B):

<e.∂b/∂t> + h.∂d/∂t = 1/T ∫₀^T (e.∂d/∂t + h.∂b/∂t)dt =

= <e.∂d/∂t> + <h.∂b/∂t> = 1/2 ω ε"_r|E|² + 1/2 ω μ"_r|H|²

Integrando le due equazioni su volume V e suga sepp. S di normale n e applicando il teorema di Gauss:

∫∫_P S.dσ + = ∫∫∫_P2 |E|²|E^*| + μμ'|H|²dν + 1/2 ∫∫∫_V |E|²dν +

+ ∫_P2.[1/2|H|²|H| + μ'/ 1/3|E|²]dν - ∫∫_S 1/2 E. J_o^*dν