Appunti di Campi Elettromagnetici

deg: 360 = rad: 2π

deg = rad 360

rad = deg π/180

RAPPRESENTAZIONE NUMERI COMPLESSI

RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA

z = a + ib

RAPPRESENTAZIONE TRIANGOLARE

• modulo = p = √(a² + b²)
• argomento/fase = θ

z = p (cos θ + i sen θ)

Ia = p cos θ

Ib = p sin θ

se θ∈[0, 2π) TR = arctan (b/a) + 2π k Re a>0, b<0

TR = θ = 0 → b = 0

θ = π/2 → a = 0, b>0

NON DEF. Re a <0 b=0

arctan (b/a) Re a>0, b>0

arctan (b/a) + π Re a<0 b>0

arctan (b/a) + π Re a<0, b<0

arctan (b/a) + 2π Re a>0, b<0

arctan (b/a) + π Re a<0, b=0

θ ∈ (-π, π] TR se a >0, b>0

TR se a<0, b=0

NON DEF. a=0, b=0

arctan (b/a) + π se a<0, b>0

arctan (b/a) + π se a>0, b>0

arctan (b/a) + π Re a<0, b=0

arctan (b/a) + π Re a<0, b=0

→Come faccio a sapere a quale intervallo appartiene θ?

RAPPRESENTAZIONE ESPONENZIALE

z = p e^iθ = p (cos θ + i sin θ) = a + ib

Riassunto incidenza obliqua con polarizzazione TM in un mezzo stratificato

θ₁: angolo d'incidenza regione 1θ₂: angolo d'incidenza regione 2θ₃: angolo di trasmissione regione 3θₑₐ: angolo di riflessione regione 1θᵣₚ: angolo di riflessione regione 2

ê̂ₓ = sinθ₁x + cosθ₁zê̂₂ = sinθ₂x + cosθ₂zê̂₃ = sinθ₃x + cosθ₃zê̂ₑₐ = -sinθₑₐx + cosθₑₐzê̂ᵣₚ = -sinθᵣₚx + cosθᵣₚz

Campo regione 1

Ĥ¹ = [Ĥ₀₁ ê̂ₓsin(ê̂ₓx + cosê̂ₓz)t + Ĥ₀₁ eⱼᵏ⁴( -sinê̂ₐx +cosê̂ₐz)t ] γ̂

Nota: Ē̂ = η₁Ĥ₀₁ x ê̂ₐ + η₁ Ĥ₀₁ x ê̂ₑₐ

e = η₁ [Ĥ₀₁ eⱼᵏ⁴ ( -sinê̂ₑₐx + cosê̂ₑₐz)t (-sinê̂ₐz + cosê̂ₑₐz) ++ Ĥ₀₁ eᵏ⁴e ( -sinê̂ₑₐx + cosê̂ₑₐz) (-sinê̂₁z +cosê̂₁z)]

+ [Ĥ₀₁ eᵏ⁴e ( -sinê̂ₑₐx + cosê̂ₑₐz) (-sinê̂ₑₐx +cosê̂ₑₐz)]

Campo regione 2

Ĥ² = [Ĥ₀₂e (sinθ₂x + cosθ₂z)ᵗ] + [Ĥ₀₂e ⱼᵏ(sinθᵣₚx+cosθᵣₚz)_ᵗ] ŷ

Ē̂² = η₂ [Ĥ₀₂e (sinθ₂x + cosθ₂z)_ᵗ ( -sinθ₂x + cosθ₂z)] ++ [Ĥ₀₂e ⱼᵏ(sinθᵣₚx+cosθᵣₚz)_ᵗ ] ( -sinθᵣₚz - cosθᵣₚz)]

+ [Ĥ₀₂e ⱼᵏ(sinθᵣₚx+cosθᵣₚz)_ᵗ ] ( -sinθᵣₚz - cosθᵣₚz)]

Campo regione 3

Ĥ³ = [Ĥ₀₃sc (sinθ₃x + cosθ₃z)_ᵗ ] ŷ

Ē̂³ = η₃ Ĥ₀₃eⱼᵏ(sinθ₃x+cosθ₃z) ] ( -sinθ₃x+cosθ₂z) [Ĥ₀₃ ]

Numero d'onda

kᵢ = ω √μᵢεᵢ veri:

Impedenza equivalente caso TM

zi:= η₁ cosθ₁ = η₀ cosθ₂ √εᵢ √εᵣ

Regole Snell

1. sinθₑₐ = sinθ₁ θₑₐ =θₐ legge sinθ della riflessione → condizioni del mezzo dielettrico
2. sinθᵣₚ = sinθ₂ θᵣₚ=θ₂ → condizioni del mezzo dielettrico
3. Veri sinθ₃ √εᵣ sinθ₂ ver sinθ₂ veri sinθ₁ legge sinθ della rifrazione → conduzione um x

Nota: se ɛ₁ = ɛ₂ - sinθ₁ = sinθ₂ →θₑₐ =θ₂

Coefficiente di Riflessione

_T1 = ^{2_z2(z₃-z₂) + i tan t (z₂2 - z₃2)}/_{E0^α z2(z3+z2) + i tan t (z3² + z2²)}

con t = k_dl cos Θ₂

Z_in = z₂² e^-2

Z_in(z₃-z₀) = Σ_n1^X L = Σ_n1¹L = i tan t (z₃²+z₂²)

z₂ = ^{(z₂+i)z₂tan}γ₂(z₂₂+z₃tanγ₂)>

Ammette

Per trovare: E₀α → E₀α = T₁ E₀α

_E0 = T₁ E₀

Quindi: _E0α⁺ + T₁E₀α⁺ = E₀₂⁺ T₁E₀₂⁺

→ E₀₁α (1+T₁α) = E₀₂(1+T₁)

→ E₀₁α = E₀₂^1+T₁/_1+T1

→ E₀₁α = E₀₂α^{e1 + 1/2 ej ej k₃cos Θ}

_H0α⁺ = E_0α⁺/_η1

Potenze

1. Densità di potenza dell'onda incidente nella regione A_i=11/2^|E0α|2/M₁
2. Densità di potenza dell'onda riflessa nella regione A

ρ_Ι - 1/2 T₁E₂ E_1|M1|²|M1

3. Densità di potenza trasmessa nella regione 2/densità di potenza dell'onda

ρT + |1 |_{E2-E1/4|2E2 | /4&sigma/|M1|²|M1/2}

4. Densità di potenza dell'onda riflessa nella regione 2

|ρ_{1 |} |ρ_{1 |}ρ₃^|E₂|-1_ns-1|Π₂f

5. Densità di potenza trasmessa nella regione O

P_Γ⁺ + | ^E₀₁|_1|PΓ,|P^П∞

Π = (1- |Π₁T1|2/2 |1</2

|E_0α|2

I= p t = p sm 107.5 kW N = 4 kW

m²

4 e₀₂

f₀₂

= 2 . 29 . 24

[mVp] f_m è sono limitati.

z0 cosθ2

3 radice di εr2 / μr

f_min = 1 N = 1 f_min = 26.62 GHz

εr1 = εr2,

Re = 1

N=1

Equazioni di Maxwell

Forma Differenziale (Locale)

• Legge di Gauss: ∇·D = ρ
• Legge di Gauss per il magnetismo: ∇·B = 0
• Legge di Faraday-Lenz: ∇×E = -∂B/∂t
• Legge di Ampere-Maxwell: ∇×H = J + ∂D/∂t

Forma Integrale (Globale)

• ∮_s D·dS = ∮_v ρdV = 0
• ∮_s B·dS = 0
• ∮_c E·dl = -∂/∂t ∫_s B·dS
• ∮_c H·dl = ∮_s J·dS + ∂/∂t ∫_s D·dS

Note:

• La legge di Gauss (o teorema di Gauss) afferma che il flusso di campo elettrico entrante ed uscente da qualunque superficie chiusa attorno ad è sempre indipendente dalla posizione delle cariche che lo generano.
• La legge di Gauss per il magnetismo (o teorema del flusso) afferma che il flusso del campo magnetico attraverso una qualunque superficie chiusa è sempre identicamente nullo.
• La legge di Faraday-Lenz afferma che un campo magnetico variabile nel tempo da origine ad un campo elettrico.
• La legge di Ampere-Maxwell.

Nota:

L'induzione elettrica (D) e l'induzione magnetica (B) sono entrambe legate fra di loro al campo attivo da quello magnetico.

D = ε (E, H) → caso particolare: D = ε₀ε_rE

B = μ (H, E) → B = μ₀μ_rH

dove: ε = permissività elettrica; μ = permeabilità magnetica

ε₀ = costante dielettrica del vuoto = 8.854 x 10⁻¹² F/m

μ₀ = permittività magnetica del vuoto = 4π x 10⁻⁷ H/m | 1.256 x 10⁻⁶ H/m

Caso generale:

• D = ε₀E + P
• B = μ₀H + μ₀M

P = polarizzazione elettrica

M = polarizzazione magnetica

Def: la polarizzazione elettrica (P) del materiale è un termine utilizzato per descrivere la formazione di dipoli elettrici all'interno di un materiale in risposta all'applicazione di un campo elettrico.

La polarizzazione di un dielettrico è la formazione di dipoli orientati in modo tale da contrastare il campo elettrico esterno.

La polarizzazione elettrica di una carica elettrica, moltiplicata dagli atomi esposti alla polarizzazione. Oppure dal loro movimento per tutta l'estesa. 2 tipi di polarizzazione: 1) polarizzazione per deformazione 2) polarizzazione per orientamento.

Il vettore di polarizzazione elettrica P è il momento di dipolo elettrico per unità di volume. È una grandezza vettoriale misurata che deriva dalla polarizzazione indotta in un materiale a causa dell'applicazione di un campo elettrico esterno. Questa è rispetto alla rimozione di un campo elettrico esterno.

Att: discorso analogo per la polarizzazione magnetica.