Appunti Calcolo numerico

CALCOLO NUMERICO

MODALITÀ ESAME:

Quiz. 14 domande: 10 Algebra lineare e geometria 4 Calcolo numerico

ARITMETICA, ERRORI

CALCOLO NUMERICO: disciplina della matematica che propone e analizza metodi che consentono di ottenere una soluzione numerica di problemi matematici per i quali metodi di risoluzione analitica non esistono

Viene utilizzato il software MATLAB

Per ottenere la soluzione numerica si utilizzano ALGORITMI eseguibili da un calcolatore e dedotti dai metodi stessi.

I risultati numerici ottenuti dal calcolatore possono presentare errori.

RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI:

Def: Si definisce RAPPRESENTAZIONE FLOATING-POINT di un numero reale α la seguente espressione:

α = (−1)^s p N^q, s ∈ {0,1}, p ≥ 0 reale, q intero.

dove N rappresenta la base del sistema di numerazione

Def: La rappresentazione floating-point α = (−1)^s p N^q del numero reale α si dice NORMALIZZAZIONE se p soddisfa la condizione:

N⁻¹ ≤ p < 1

In tal caso, p e q sono univocamente determinati.

Il numero reale non negativo p si definisce MANTISSA di α

L'intero q si definisce ESPONENTE di α

Fissata la base N del sistema di numerazione: i valori s, p, q della rappresentazione floating-point normalizzata α = (−1)^s p N^q individuano univocamente il numero reale α.

CALCOLO NUMERICO

(Adriano Festa)

MODALITÀ ESAME:

Quiz: 14 domande - 10 Algebra lineare e geometria, 4 Calcolo numerico

ARITMETICA, ERRORI

CALCOLO NUMERICO: disciplina della matematica che propone e analizza metodi che consentono di ottenere una soluzione numerica di problemi matematici per i quali metodi di risoluzione analitica non esistono

Viene utilizzato il software MATLAB

Per ottenere la soluzione numerica si utilizzano ALGORITMI eseguibili da un calcolatore e dedotti dai metodi stessi.

I risultati numerici ottenuti dal calcolatore possono presentare errori.

RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI:

Def. Si definisce RAPPRESENTAZIONE FLOATING-POINT di un numero reale α la seguente espressione:

α = (-1)^spN^q, s ∈ {0,1} , p ≥ 0 reale, q intero

dove N rappresenta la base del sistema di numerazione

Def. La rappresentazione floating-point α = (-1)^spN^q del numero reale α si dice NORMALIZZAZIONE se p soddisfa la condizione:

N^-1 ≤ p < 1

In tal caso, p e q sono univocamente determinati

- il numero reale non negativo p si definisce MANTISSA di α

- l'intero q si definisce ESPONENTE di α

Fissata la base N del sistema di numerazione, i valori s,p,q della rappresentazione floating-point normalizzata α = (-1)^spN^q individuano univocamente il numero reale α.

Il calcolatore può memorizzare solo mantisse con un numero finito di cifre ed esponenti appartenenti a un certo intervallo.

⇒ NON TUTTI I NUMERI REALI SONO ESATTAMENTE RAPPRESENTABILI SU DI UN CALCOLATORE

• Le mantisse p possono avere al massimo t cifre.
• L’esponente q deve soddisfare L≤q≤U con L<0 e U>0

Def: Si definiscono NUMERI DI MACCHINA i numeri con mantissa ed esponente esattamente rappresentabili negli spazi a loro riservati dal calcolatore.

L’insieme dei numeri macchina è costituito da un numero finito di elementi:

F = {0} ∪ {-1}^{^}0.q₁q₂…q_t ⋅ N^{^}q | 0≤q_i<N q₁≠0 | L≤q≤U}

• N: base del sistema di numerazione
• s: valore 0 (segno +) o 1 (segno -)
• q₁, q₂…q_t: sono interi minori o uguali a N-1 e rappresentano le cifre della mantissa
• t: è il massimo numero di cifre delle mantisse rappresentabili
• q: è l’esponente

La limitazione inferiore L≤q sull’esponente q comporta che il più piccolo numero positivo rappresentabile come numero di macchina, sia:

m = 0.1…0 ⋅ N^{^}L(t cifre)

Def: Si definisce REGIONE DI UNDERFLOW l’insieme dei numeri reali diversi da zero e appartenenti a (−m, m)

La limitazione superiore q≤U sull’esponente q comporta che il più grande numero positivo rappresentabile come numero di macchina, sia:

M = 0.N-1…N-1;0 ⋅ N^{^}U(t cifre)