Appunti analisi2 prof. Codegone

Lezione 22-11-2018

∫_S g(x₁,y₁,z) dS

Integrando

Se S è rappresentato in modo esplicito z = h(x,y)

rappresentazione della superficie

I = ∫∫_A g(x,y,h(x,y)) ||N|| dx dy

z = h(x,y)

e (∂h/∂x, ∂h/∂y)

( 1 ) ( 0 ) ( ∂h/∂x )

vettore tangente a S nella direzione x

( 0 ) ( 1 ) ( ∂h/∂y )

vettore tangente a S nella direzione y

+N = ( 1, 0, -∂h/∂x ) ∧ ( 0, 1, -∂h/∂y )

||N|| = √(1+ (∂h/∂x)² + (∂h/∂y)²)

Esempio 1 (compito del 6 febbraio 2010)

Sia Σ = { (x,y,z) ∈ ℝ³, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, z = x √(y² + 1/2 x²) }

sup. descritta in modo esplicito

Calcolare I = ∬_Σ √(1 + 2x + x² + z² + 6x² + x⁴) dσ

Integrando

Discutiamo Σ

z = xy² + ¹/₃ x³

‖∇‖ = √(1 + ( ∂z/∂x)² + (∂z/∂y )²) =

= √(1 + (y² + 3x²)² + (2xy)² ) =

= √(1 + y⁴ + 3x²y² + ⁹/₄ x⁴ + 4x²y² ) =

La funzione integranda

g(χ, y, z̅) = x/√(1+2x⁴+x²y²+6x²y²) =

g(x ,y, x² + y² + ¹/₂ x³) = ^4x/√(1+2x⁴ + (x² + y²).¹/₂ + ¹/₄ + 6x²y²) =

= ‖∇‖

I = ∬ Σ (g(χ, x¹) ‖∇‖ dσ = ∬ Σ ( ^4x/√(1+2x⁴+ x²+z²+6x²)‖∇‖ dχ) )

= ∬_A (x²dχdγ = ∬₀¹ ∫₀^y=x ( [4xy] - 0 dx = ∫_o¹ 4x [x² dx =] ^4x/ ¹/₃) =⁴/₃) )

Esercizio 1

Σ: { (x,y,z) ∈ ℝ³ : z=7 - 9(x²+y²), z≥-1 e

sia F il campo

F = (z+u, y, y² - (z+u)x)

Calcolare il flusso del rotore di F attraverso la superficie Σ, orientata in modo tale che il verso normale formi un angolo ottuso con l'asse z

Svolgimento:

L'esercizio chiede

I = ∬ rot F • dσ

Σ:

{ z = 7 - 9(x²+y²) => z ≤ 7 - 9(x²+y²)

z ≥ -1

Il sistema { z = 7 - 9(x²+y²)

z = -1

-1 = 7 - 9x² - 9y²

x² + y² = 8/9 è una circonferenza di raggio 2√2/3

F(x,y,z) = ((z+u)y, y² = (z+u)x, z = e^x²y) ∈ C¹

∬ rot F • dσ = ∬ F • d²

STOKES

= \[ \int_{0}^{ \sqrt{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3 \sin^2 \varphi \cos \varphi \left[-\frac{\cos^6 \theta}{6} \right]_{\frac{\pi}{2}}^0 d \varphi \right] dr = \]

= -\frac{1}{6} \int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[ \sin^8 \varphi \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} dr = -\frac{1}{6}\frac{1}{8} \left[ r \right]_{0}^{\sqrt{2}} = \frac{1}{48} \sqrt{2}

Esercizio 6/2/2018

Σ = \{ (x,y,z) ∈ \mathbb{R}^3 ; z = 4 - 2 \sqrt{x^2 + y^2} , z \geq 3 \}

\(\vec{F} (x,y,z) = (-y^7, x^7, xyz^3) \)

Calcolare il flusso del rotore di \(\vec{F}\) attraverso Σ come vettore normale orientato nel verso delle z positive.

Svolgimento:

\(\int_{\Sigma} \text{rot} \vec{F} \cdot \vec{v} \right) = \int_{\Sigma} \vec{F} \cdot \vec{ψ} \right)\)

Noi sappiamo che essendo \(\vec{F} ∈ C^1\)

\(\int_{\Sigma} \text{rot} \vec{F} \cdot \vec{v} = \int_{\mathcal{S}} \vec{F} \cdot \vec{ψ} \right)\)

Scegliamo di fare il secondo integrale dopo aver considerato Σ e \(\DeltaΣ\)

\(\DeltaΣ = \{z=3

\((3-4)z = 4(x^2+y^2) \Rightarrow x^2+y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)

z ≤ 3

Serie

• Serie a termini positivi
• Serie numeriche:
  • Serie a segni alterni
  • Serie di segno qualunque
• Serie di potenze e serie di Taylor
• Serie di Fourier

Serie Numeriche

\( a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + a_{n+1} + \ldots = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \)

\( a_n \in \beta \)

Per definizione noi introduciamo \( S_n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \sum_{k=0}^{n} a_k \)

Che viene detta ridotta della serie

Per definizione \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n = \epsilon \lim_{n \to +\infty} S_n = \epsilon \sum_{k=0}^{n} a_k \)

\( a_n \) é detto termine n-esimo della Serie

Ridotta n-esima

\(\sum_{n=0}^{+\infty} a_n = \epsilon \lim_{n \to +\infty} S_n = \begin{cases} +\infty \\ -\infty \\ \text{non esserci} \, (\text{indeterminato} \times \text{oscillante}) \end{cases}\)

Esempio 1: Serie geometrica

Premessa: Progressione geometrica di ragione \( r \) e \( 1 + r + r^2 + r^3 + r^5 + r^n = \)

Vediamo di ricavare in modo semplice la somma

\((1+r+r^2+r^3+\ldots+r^n) (1-r) = 1 + r + r^2 + r^3 + r^4 + r^5 + \ldots + r^n + r^{n+1} + \ldots \)

\( - r - r^2 - r^3 - r^4 - r^5 - \ldots - r^n - r^{n+1} - r^{n+2} - \ldots \)

\( = 1 - r^{n+1} \)

\( \Leftrightarrow s = 1 + r + r^2 + \ldots + r^n = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r} \)

Fine richiamo.

x² + y² = z

x + y + z = 1

x² + y² - 2z + 1 = 0

z² - 2z + 1 = 0 (z-1)² = 0

{ z = 1 x² + y² = 1

{ x² + y² ≤ z z² ≤ z {₁ e z ≤ 1 ¹}

Sotto le paraboloide e sopra: ie cono

∭_E 3√x² + y² dx dy dz

E = E₁ + E₂

E₁ = {(x₁, y₁, z) ∈ ℝ³ : x² + y²≤ z ≤ 1 ²} E₂ = {(x₁, y₁, z) ∈ ℝ³

{ ξ = (z-1) x² + y² ≤ ξ²

∭_A 3√x² + y² dx dy dz = = ∭_E1 3√x² + y² dx dy dz + ∭_E2 3√x² + y² dx dy dz

= 3√∬ x² + y² dy dx

Per strati parassie: ae piano (x, y)

=∬₀^1/2∭_A (3√x² + y² dx dy dz) dz + ∬_1/2¹ (3√x² + y²) dx dy dz

A sono le circonferenze di raggio z

A' = {(r, θ) ∈ ℝ² : 0 ≤ 0 ≤ z, 0 ≤ θ ≤ 2π} |det J| = z

B sono le corone circolari di raggio rispettivamente √2(z-1) < z

B' = {(r, θ) ∈ ℝ² : √2(z-1) < r ≤ r, 0 ≤ θ ≤ 2π}

0z² + y² dx dydz =∬∬₀^1/2 3√r₁ dr₂ dθ dz +∬∬^{π2₀ 3√r₁ dr dθ dz}

∬∬^{1/n0 [∫2π3 dθ] dz}

= [2π*r³/3] dz = 2π* [r³ 3] dz + r₂⁴ dπ

0 = [2π*r₁/4) - (2π)]

=5 [(2(2)^3/2) dz = ∫¹₁ - x + 1= 2/(5²) ^1/2

I = π/4

- π/32 + ππ.4/2 - 2/(53/2)= 1] + π/32 = π/2π/5/32 = π/10

Per fili piu semplice

Compito 18-06-2018

f(x,y) = 1 - √(4-x²-y²)

Ques delle seguenti affermazioni è falsa?

1. Le dom di f è chiuso e limitato
2. Il grafico di f è una semifora
3. f non ha punti di massimo

∇f(x₁, x₂) = (1/√2, 1/√2)

∇f = ( 1 -2x / 2√4-x²-y² , 1(-2x) / 2√4-x²-y² )

∇f = 0 ⇒ (x,y) = (0,0)

4-x²-y² ≥ 0

4 ≥ x² - y²

w + z = √4-x²-y²

w-1+z = -√4-x²-y²

(w-1)² = 4-x²-y²

(x²+y²+(w-1)²) = 4

Sfera di raggio 2 e centro