Appunti analisi2 prof. Codegone

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appunti di analisi 2 presi nell'anno 2018/2019 basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Codegone dell’università degli Studi delPolitecnico di Torino - …

Esame Analisi Matematica 1

Facoltà Ingegneria i

Dal corso del Prof. Codegone Marco

Università Politecnico di Torino

A.A. 2018-2019

61 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Lezione 22-11-2018

∬_S g(x, y, z) dS INTEGRANDO se S è rappresentato in modo esplicito z = h(x, y) (x, y, h(x, y)) rappresentazione della superficie

I = ∬_A g(x, y, h(x, y)) ||N|| dx dy^{z=R(x, y)} e ^∂h/∂y

Vettore tangente

^{(x)_(R(x, y)) = (a, 0)(∂/∂x)_(R(x, y)) = (0, ∂h/∂x)} vettore tangente a S nella direzione x

^{(x)_(R(x, y)) = (a, 0)(∂/∂y)_(R(x, y)) = (0, ∂h/∂y)} vettore tangente a S nella direzione y

N = ^{(x)_(∂u/∂x) ∧(∂h/∂x)} ||N|| = √(1+(∂h/∂x)²+(∂h/∂y)²)

Esempio 1 (compito del 6 febbraio 2010)

Sia Σ = { (x, y, z) ∈ ℞³ : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y = x, z = x y² + 1/2 x³ } sup. descritta in modo esplicito

Calcolare I = ∬_⌈∪⌉ ^{∫ ∪ x √1+2x+z² + 3x⁴⋃5/2∫ σ} _∪ dσ integrando

Lezione 22-11-2018

∫_S g(x, y, z) dS INTEGRANDO se S è rappresentato in modo esplicito z = h(x, y)

I = ∫_A g(x, y, h(x, y)) ||N|| dx dy

z = R(x, y) ∂h/∂x e ∂h/∂y (||N|| = √(1 + (∂h/∂x)² + (∂h/∂y)²))

Esempio 1 (compito del 6 febbraio 2010)

Sia Σ = {(x, y, z) ∈ ℝ³ : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y = x, z = x y² + 1/2 x³}

Discutiamo Σ

z = x y² + ¹/₂ x³ ‖∇z‖ = √(1 + ( ^∂z/_∂x )² + ( ^∂z/_∂y )² )

== √(1 + (y² + ³/₂ x²)² + (2xy)²) == √1 + y⁴ + 3 x² y² + ⁹/₄ x⁴ + 4 x² y²

La funzione integranda g(x₁, y₁, z) = ^ux/_{√1 + 2 x⁴ + x²y² + ¹/ ₄ x⁴ + 6 x² y²} == ^ux/‖∇N‖

I = ∬_Σ ^ux/ _{√1 + 2 x⁴ + x²y² + 6 x² y} dσ = ∬_A ^ux/_‖∇N‖ ⋅ ‖∇N‖ dx dy

= ∫₀¹ ( ∫₀^y=x u x dy ) dx = ∫₀¹ [uxy]_y=0^y=x dx = ∫₀¹ u x² dx = [ ^{u x³}/₃ ]₀¹ = ^u/₃

Integrali di flusso

Sia Σ una superficie e F un campo vettoriale

F ⋅ nΣ F^o(x,y,z) ⋅ nz = R(x, y) e

a descrizione di Σ ^n =^t N = -∂z/∂x-∂z/∂y1 e

a descrizione di Σ z = R(x, y) (x,y) ∈ A ⊆ β³

I = ∬Σ F^o(x, y, z) ⋅ ^n = ∬AF₂(x, y, R(x, y))F₃(x, y, R(x, y))⋅-∂h/∂x-∂h/∂y∂z/∂z dx dy

Esempio

Calcolare il flusso del campo F(x,y,z) = -y/x//z attraverso la superficie z = √1 - x² + y^{2>(x, y) ∈ A ⊆ β ove A = { (x, y): x² + y² ≤ 4 }}

e la normale alla superficie forma un angolo acuto con l'asse z.

Svolgimento

I = { ∫_S ( ^y⁄_z ) v }±N = ±( ^-2τ⁄_∂y/∂x ) = ( ^-1⁄_{2√1-x²-y²} )( ^-2x⁄_√1-x²-y² ) d_xd_y

= A = {( ^xy⁄_√1-x²-y² ) - ( ^xy⁄_√1-x²-y² ) + √1-x²-y² ) } d_xd_y

= Φ = { x = r cos t y = r sen t }

A' = { 0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ t ≤ 2π }

|det J Φ| = r = ∬_A' √1-r² r dr dt = ( ∫₀^2π ∫₀¹ √1-r² ) r dr dt == 2π [ ( 1-r²)^1/2 . ²⁄₃ ( ^-r⁄₂) ]₀¹ = 2π ¹⁄₃

Superficie parametrica

Se la superficie è espressa in modo parametrico σ(μ,ν) = ( σ₁)

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