ANALISI II
FORMULA DI TAYLOR
Approssimare una data funzione con i polinomi.
ESEMPIO.
f(x) = x2 + x + 1
xy0113V ( -b / 2a , - Δ / 4a )
V ( -1/2 , 3/4 )
f è continua e derivabile
f'(x) = 2x + 1
f'(1) = 3 = m
Retta tangente di f nel punto 1, 3
y = mx + q = f'(x0)(x - x0) + f(x0)
y = 3(x - 1) + 3 = 3x
f(x) = x2 + x + 1 = 3x = 3x + x2 + x + 1, 3x + (x2 - 2x + 1) = 3x + (x - 1)2
f(x) - 3x = (x - 1)2
lim (x-1)2 / (x - 1) = 0
x→1
f(x) - 3x = O (x - 1)
f(x) = 3x + O (x - 1)
DEFINIZIONE ("o" piccolo)
Se f, g : ℝ → ℝ, se x0 ∈ ℝ
se lim f(x) = lim g(x) = 0 (infinitesime per x → x0)
x→x0
diciamo che f = "o piccolo" di g, o scriveremo
f(x) = o(g(x)) per x→x0 se lim f(x) = 0
x→x0
g(x)
ANALISI II
FORMULA DI TAYLOR
Approssimare una data funzione con i polinomi.
ESEMPIO
f(x) = x2 + x + 1
- x:
- y | 0
- 1 1
- 2 3
V ( -b/2a | -Δ/4a )
V(-1/2 | 3/4)
f' è continua e derivabile
f'(x) = 2x + 1
f'(1) = 3 = m
retta tangente di f nel punto 1, 3
y = mx + q = f'(xo)(x-xo) + f(xo)
y = 3(x-1) + 3 = 3x
f(x) = x2 + x + 1 = 3 = 3x + x2 + x + 1, 3x + (x2 - 2x + 1) = 3x + (x-1)2
f(x) - 3x = (x-1)2
lim (x-1)2 = 0
x ⟶ 1 x-1
- f(x) - 3x = O(x-1)
- f(x) = 3x + O(x-1)
DEFINIZIONE ("o" piccolo)
Se f, g : ℝ → ℝ, se x0 ∈ ℝ
se lim f(x) = lim g(x) = 0 (infinitesime per x ⟶ x0)
x⟶x0 x⟶x0
diciamo che f = o piccolo di g, e scriveremo
f(x) = o(g(x)) per x⟶x0 se lim f(x)/g(x) = 0
x⟶x0
ESEMPIO.
f(x) = sen x x0 = 0
derivabile in ℝ f(0) = 0
eq retta tang al grafico di f in (0,0) è:
y = f'I(x0)(x-x0) + f(x0)
y = cos 0 (x - 0) + 0 = x
f(x) = sen x = x - x0 + sen x0 = x + [sen x - x]
lim (sen x - x)/(x - x0) = lim sen x/x = 0
f(x) = x + o(x)
sen x = x + o(x)
DEFINIZIONE
Sia f: ℝ->ℝ, sia x0∈ℝ. Supposto che f(x) sia derivabile in x0.
eq della retta tangente al grafico di f in (x0, f(x0))
y = f'I(x0)(x - x0) + f(x0)
g(x) = f(x0) + f'I(x0)(x - x0) + o((x-x0)) = f(x0) + f(x)
lim (f(x) - f(x0)) / (x - x0) = f'I(x0) + f(x0) / x - x0
- f'I(x0) = f'I(x0), 0
+ o(x0) = derivata della funzione nel punto.
DEFINIZIONE
Sia f: ℝ->ℝ, sia x0∈ℝ supposto che f sia m volte derivabile in x0.
Si chiama polinomio di Taylor per f in x0 di ordine m.
pm(x) = f(x0) + f'I(x0)(x - x0) + f''I(x0)(x - x0)2/2 + ... + f(m)(x0)(x-x0)m/m!
O! = 1
11! = 1 k! = 1, 2, 3 ... (k - 1)
ESEMPIO
f(x) = x2 + x + 1 derivabile per m ∈ ℕ. x0 = 1
P0(x) = x2 + x + 1 = 3
P1(x) = 3 + 3(x - 1) = 3x
P2(x) = 3 + 3(x - 1) + 2/2 (x - 1)2 = 3x + x2 + 1 - 2x = x2 + x + 1
ESEMPIO
f(x) = sen x derivabile per m ∈ ℕ x0 = 0
Calcoliamo Pm(x) per m = 1, 2, 3, 4.
f'(x) = cos x
f''(x) = -sen x
f'''(x) = -cos x
f''''(x) = sen x
f (2m)(x) = sen xf (2m+1)(x) = cos x
f(0) = sen 0 = 0
f'(0) = cos 0 = 1
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