Appunti analisi matematica 2

ANALISI II

prof.

FORMULA DI TAYLOR

Approssimare una data funzione con i polinomi.

ESEMPIO.

f(x) = x² + x + 1

f è continua e derivabile

f'(x) = 2x + 1

f'(1) = 3 = m

Retta tangente di f nel punto 1, 3

y = mx + q = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀)

y = 3(x - 1) + 3 = 3x

f(x) = x² + x + 1 = 3x = 3x + x² + x + 1 = 3x + (x² - 2x + 1) = 3x + (x - 1)²

f(x) - 3x = (x - 1)²

lim_x→1 (x - 1)² / (x - 1) = 0

f(x) - 3x = O(x-1)

f(x) = 3x + O(x - 1)

DEFINIZIONE ("o" piccolo)

Se f, g: ℝ→ℝ , se x₀ ∈ ℝ

se lim_x→x0 f(x) = lim_x→x0 g(x) = 0 (infinitesime per x → x₀)

diremo che f è "o piccolo" di g e scriveremo

f(x) = o(g(x)) per x→x₀ se lim_x→x0 f(x)/g(x) = 0

ESEMPIO.

f(x) = sen x

x₀ = 0

derivabile in ℝ

f'(0) = 0

eq retta tangente al grafico di f, in (0,0) è:

γ = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

γ = cos (0) · (x - 0) = x

f(x) = sen x = x + [sen x - x]

sen x - x &quad; x - (sen x - x)

errore nell'approssimazione

lim_{x → 0} (sen x - x)/(x - 0) = lim_{x → 0} (sen x)/x - 1 = 1 - 1 = 0

f(x) = x + o (x - 0)

sen x = x + o(x)

DEFINIZIONE

Sia f: ℝ → ℝ, sia x₀ ∈ ℝ supposto che f(x) sia derivabile in x₀.

eq. della retta tangente al grafico, di f in (x₀, f(x₀))

γ = f'(x₀) (x - x₀) + f(x₀)

f(x) - f(x₀) = f'(x₀) (x - x₀) + f(x₀)

errore

lim_{λ → x0} (Errore)/(λ - x₀) = lim_{x → x0}[f(x) - f(x₀)/(x - x₀)] - f'(x₀) (x - x₀) = 0

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) + f''(x₀)[(x - x₀)²/2] + ...

funzione derivata nel punto.

f (x) = f (x₀)(x - x₀) + f''(x₀/2!)(x - x₀)² + . . . + f^(m)(x₀)((x - x₀)/m!)^m

1. 0! = 1
2. 1! = 1

k! = 1 · 2 · 3 · (k - 1)k

3)

f(x) = log(1 + x)

x = 0

f(0) = log 1 = 0

f'(x) = 1 / (1 + x)

f'(0) = 1

f'(x) = 1 / (1 + x) = 1

f''(x) = (-1) (1 + x)^-2 ⇒ f''(x₀) = -1

f(2) (x + x) ⇒ f'''(x₀) = 2

f(m) (x) = (2) (x)

f(m) (x) = (-1)^m (m - 1) (m - 2)... (m - n + 1)

log(1 + x) = 0 + x - x²/2 + 2/3 x³ + o(1 x³)

lim (log(1 + x)) = lim x

x → 0 x x → 0 x

2/3 x³/x³ + o(x³)/x³ = x² = 1.

CALCOLO DEI LIMITI

lim (sen x - x e^x + x² cos x = 0

x → 0 x³ 0

lim (cos x - (e^x + e^x) - 2x cos x) - x² sen x = 0

x → 0 3x² 0

sen x = x - x³/3! + o(x³)

e^x = 1 + x + x²/2 + 4/3 x³ + o(x³) ⇒ x^ex = x + x² + x³/2 + x⁴/3! + o(x⁴)

cos x = 1 - x²/2 + o(x³) ⇒ 2x cos x = x² - x⁴/2 + o(x⁵)

lim (x - x³/6 + o(x³) - x²/2 x² - 3/6) -(x lim x → 0) = x³

lim x → 0 (2/6 + 4/6 - 4/6 + o(x³)) - -2/3 x → 0 x³

TEOREMA DEL RESTO NELLA FORMA DI LAGRANGE

sia f ∶ [a,b]→ℝ derivabile n volte in (a,b) con derivate continue

sup x₀ ∈(a,b) ∀ x ≠ x₀ ∃ f(m+1)(x)

Allora ∀x ∈(a,b) ∃ x₀ ∃ c ∈(a,b) , squisita all'intervallo di sfemminente I_a,b

f(x) ≈ p_m(x) + p_m+1(x) (x - x₀)^m+1

DEFINIZIONE

A = [a,b] -> R f limitato in [a,b]

A = { } partizione di [a,b]

P = { x₀, x₁, ..., x_m } x₀ = a, x_m = b

s(P) = ^m∑_k=1 (x_k - x_k-1) inf f(x) x ∈ [x_k-1, x_k]

s(P)

B = { } S(P) partizione di [a,b]

S(P) = ^m∑_k=1 (x_k - x_k-1) sup f(x) x ∈ [x_k-1, x_k]

S(P)

f si dice integrabile se sup s(P) = inf S(P) al variare delle partizioni inf S(P) = sup s(P) = ∫_a^b f(x) dx

ESEMPIO

f: [3,4] -> R f(x) = −1 ∀ x ∈ [3,4] funzione costante => e' limitato

f è integrabile?

sia P = {x₀, x₁, ..., x_m}

x₀ = 3 x_m = 4

I_k = [x_k-1, x_k]

sup f(x) = −1 = inf f(x)

s(P) = ^m∑_k=1 (x_k - x_k-1) (−1) = ^m∑_k=1 (x_k - x_k-1) = x₀ - x_m + x_k+1 + x_k + ... + x_m - x_m = x₀ - x_m = 3-4 = -1

S(P) = ^m∑_k=1 (x_k - x_k-1) (-1) = ^m∑_k=1 (x_k - x_k-1) - 1 = s(P)

ESEMPIO

Se f(x) = c, c ∈ ℝ, x ∈ [a, b]

Area R = ∫_a^b c dx = c(b-a)

Area rettangolo

ESEMPIO

f(x) = x, x ∈ [0,2]

Area R = ∫₀² x dx = [x²]₀² = 2²/2 - 0²/2 = 2

Area triangolo: b·h/2 = 2·2/2 = 2

DEFINIZIONE

Se f: [a, b] → ℝ definiamo ∫_a^b f(x) dx = -∫_b^a f(x) dx

inversione degli estremi di integrazione

ESEMPIO

∫₁³ 3 dx = -∫₃¹ 3 dx = -3(2-1) = -3

DEFINIZIONE

Se f: [a, b] → ℝ integrabile

f(x) ≤ 0 ∀ x ∈ [a, b] integrabile

S = {(x, y) ∈ ℝ² | a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ 0}

Area S = -∫_a^b f(x) dx

DEFINIZIONE

Se f: [a, b] → ℝ integrabile

f(c):= f(d) = 0

R = {(x, y) ∈ ℝ² | a ≤ x ≤ b, min(f(x), 0) ≤ y ≤ max(g(x), 0)}

min(f(x), 0) = {0 se f(x) > 0; f(x) se f(x) ≤ 0}

max(f(x), 0) = {0 se f(x) ≤ 0; f(x) se f(x) ≥ 0}

Dimostrazione

Dobbiamo dimostrare che fissato t ∈ [a,b]:

\(\lim_{{h \to 0}} \frac{{F(t+h) - F(t)}}{h} = f(t)\)

\[ \frac{1}{h} \left[ \int_{a}^{t+h} f(x) \, dx - \int_{a}^{t} f(x) \, dx \right] = \]

\[ = \frac{1}{h} \int_{t}^{t+h} f(x) \, dx \]

\[ = \frac{1}{h} \int_{t}^{t+h} f(x) \, dx \]

valore medio nell'intervallo di estremi t e t+h.

Teorema della media

\[ \exists \, c \, \text{nell'intervallo di estremi} \, t, t+h \, (c = c(h) \to c \text{ dipende da } h) \, t.c. \]

\[ \frac{1}{h} \int_{t}^{t+h} f(x) \, dx = f(c(h)) \]

\[ \frac{1}{h} [F(t+h) - F(t)] = \frac{1}{h} \int_{t}^{t+h} f(x) \, dx = f(c(h)) \] \; \cdot \]

se \( h > 0 \)

se \( h < 0 \)

Quando \( h \to 0 \, c(h) \to t \, (c(h) \to t) \)

\( f(t) \) perché \( f \) è continua in \( [a,b] \)

Conseguenza

Sia \( f: [a,b] \to \mathbb{R} \) continua in \([a,b]\) \(\Rightarrow f\) ammette una primitiva, detta da

\( F(t) = \int_{a}^{t} f(x) \, dx \), ogni altra primitiva di \( f \) è data da \( F + \text{cost}. \)

Sia \( c \in \mathbb{R} \).

\( G(t) = \int_{a}^{t} f(x) \, dx + c \)

\( (G(b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + c \to \int_{a}^{b} f(x) \, dx = G(b) - c \)

\( G(a) = \int_{a}^{a} f(x) \, dx + c = c \)

\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = G(b) - c = G(b) - G(a) \)

\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = G(b) - G(a) \) dove \( G \) è una qualunque primitiva di \( f \).