Appunti Analisi I - 9 crediti - Citti

Valore Assoluto

Se x è un numero reale, indichiamo valore assoluto di x e scriviamo |x|. Per x ∈ R

Pro x ∈ x

Proprietà 1

Il valore assoluto di x è dia x e poiché per x è sempre (|x| = x se x >= 0 oppure |x| = -x se x < 0)

Proprietà 2

• |x| ≥ 0 ∀x ∈ R (Es |x| assume 0 sempre positivo)
• |x| = 0 ⇔ x = 0 (Es solo x assumo x se 0 o - 0 = assumo zero 0)
• |a| - |b| 1+x_x ∈ R
• |x+y| ≤ |x| + |y|

Successione

• A ⊆ R
• 0 ∈ A
• n ∈ A ⇒ n+1 ∈ e succ/ina (n+1 ∈ A)

...

Successione

Se b ∈ N è aspetto in numero reale e n ∈ R diverso con e spiegato. Ogni successione {a(n)}n∈N

Successione (limitata)

Successione riservo compreso tra 2 valori

{a(n)}n∈N successione in R, {a(n)}n ∈ dice limitato se ∃ b, c ∈ R: b < a < c ∀n ∈ N

Successione Convergente

Se {a(n)}n successione real. Si dice che ∃ b ∈ R: ... ... ...

Fib erri?

Successione Limitata

{a(n)}n limitata se ∃ b, c ∈ R: b < a ≤ c ∀n ∈ N N[a,b] = {a(n)} successione limitata se non è limite

Osservazione

{a(n)}n limitata ⇒ ∃ un limite

VALORE ASSOLUTO

Se x è un numero reale definiamo valore assoluto di x il massimo tra -x e x.

Pro x ∈ ℝ

PROPRIETÀ 1

Te valore assoluto di x di a è tra x e polo Re x è compreso tra a e a è

|x - a| ⇔ -ε < ε - x < ε

PROPRIETÀ 2

• |x| ≥ 0 ∀x∈ℝ (Es. distanza e sempre positiva)
• |x|=0 ⇔ x=0 (Se distanza di è da 0 = o, essom zero o)
• |α| |α| ∀x∈ℝ
• |x+y| ≤ |x| + |y|

SUCCESSIONE

• A⊆ℝ
• 0∈A
• n∈A ⇨ n+1 ∈ successivo (n+1∈A)

Se tutte le proprietà sono verificate e l'insieme si dice INFINITO

SUCCESSIONE

Se bn∈N e segnato un numero real a che∈ℝ den b e segnata con successione (a_n)_n∈n

SUCCESSIONE LIMITATA

Successione proprio compreso tra 2 valori (a_n) non successione ℝ. Lamenti n dice eliminato se 3b, c∈ℝ b0 ∃n₀∈N ∀n≥n₀

|a_n - ι|< ε

• Toto de teoria, errore di approximazione
• Esempio: a_n=1/n
• |ε_n - ι|< ε

SUCCESSIONE LIMITATA

(a_n) Limitato ∃3lex ℝ a < i_n ℝ e_n (a)

b_n e (ι)^ι=0 e successione Limitato se non che limite

OSSERVAZIONE

(a_n) Limitato ⇒ ∃a_n con

Proposizione

Cammin limitato ⊆ ℝ:₀ Icam ∈ ℕ.

Dimostrazione

Ialulh vnℂℕ ⟹ ℕc∋n_m ∈ ℕcar vn_m.

α _min = α - m

• am&sub&b (b⧻c) ∈ (b⧻c)[0]
• am∃2 - 1[α] ≥ -1(1- [b] -[0])
• α - 1 ∈ -1 (α)
• -1[α]α_n
• αsd[am] [b]

αm am⌶ alul

• tα - m2 - α₁ ≥ α1 - l^l - α
• minπ = -1[H] [^L/[A]]
• [0] -1[α] A_n ℝ^c ai
• -m[ω] ℂ a ^b

[png]

Proposizione

Cammin limitato ℝ. ⊆ a,b∈ℝ1 al

Dimostrazione

Con

• Presi_qns: c=l
• ℓ ∃=1 [n={`
• Lorem ℛ e - ℛ,
• amsa-lo[cn vm≠]