Appunti Analisi I - 9 crediti - Citti

Valore assoluto

Se x è un numero reale, indichiamo valore assoluto di x e scriviamo |x|. Per x ∈ RPro x ∈ x

Proprietà 1

Il valore assoluto di x è dia x e poiché per x è sempre (|x| = x se x >= 0 oppure |x| = -x se x

Proprietà 2

|x| ≥ 0 ∀x ∈ R (Es |x| assume 0 sempre positivo)

|x| = 0 ⇔ x = 0 (Es solo x assumo x se 0 o - 0 = assumo zero 0)

|a| - |b| 1+x_x ∈ R

|x+y| ≤ |x| + |y|

Successione

A ⊆ R0 ∈ An ∈ A ⇒ n+1 ∈ e succ/ina (n+1 ∈ A)...

Successione

Se b ∈ N è aspetto in numero reale e n ∈ R diverso con e spiegato. Ogni successione {a(n)}n∈N

Successione (limitata)

Successione riservo compreso tra 2 valori{a(n)}n∈N successione in R, {a(n)}n ∈ dice limitato se ∃ b, c ∈ R: b

Successione convergente

Se {a(n)}n successione real. Si dice che ∃ b ∈ R: ... ... ...

Fib erri?

Successione limitata

{a(n)}n limitata se ∃ b, c ∈ R: b

Osservazione

{a(n)}n limitata ⇒ ∃ un limite

Valore assoluto

Se x è un numero reale definiamo valore assoluto di x il massimo tra -x e x.

Pro x ∈ ℝ

Proprietà 1

Te valore assoluto di x di a è tra x e polo Re x è compreso tra a e a è |x - a| ⇔ -ε

Proprietà 2

|x| ≥ 0 ∀x∈ℝ (Es. distanza e sempre positiva)

|x|=0 ⇔ x=0 (Se distanza di è da 0 = o, essom zero o)

|α| |α| ∀x∈ℝ

|x+y| ≤ |x| + |y|

Successione

A⊆ℝ0∈An∈A ⇨ n+1 ∈ successivo (n+1∈A)

Se tutte le proprietà sono verificate e l'insieme si dice Infinito

Successione

Se bn∈N e segnato un numero real a che∈ℝ den b e segnata con successione (a_n)_n∈n

Successione limitata

Successione proprio compreso tra 2 valori (a_n) non successione ℝ. Lamenti n dice eliminato se 3b, c∈ℝ b0 ∃n₀∈N ∀n≥n₀|a_n - ι|Toto de teoria, errore di approximazione

Esempio: a_n=1/n|ε_n - ι|

Successione limitata

(a_n) Limitato ∃3lex ℝ a n ℝ e_n (a) b_n e (ι)^ι=0 e successione Limitato se non che limite

Osservazione

(a_n) Limitato ⇒ ∃a_n con

Proposizione

Cammin limitato ⊆ ℝ:₀ Icam ∈ ℕ.

Dimostrazione

Ialulh vnℂℕ ⟹ ℕc∋n_m ∈ ℕcar vn_m.α _min = α - mam&sub&b (b⧻c) ∈ (b⧻c)[0]am∃2 - 1[α] ≥ -1(1- [b] -[0])α - 1 ∈ -1 (α)-1[α]α_nαsd[am] [b]αm am⌶ alultα - m2 - α₁ ≥ α1 - l^l - αminπ = -1[H] [^L/[A]][0] -1[α] A_n ℝ^c ai-m[ω] ℂ a ^b[png]

Proposizione

Cammin limitato ℝ. ⊆ a,b∈ℝ1 al

Dimostrazione

ConPresi_qns: c=lℓ ∃=1 [n={`Lorem ℛ e - ℛ,amsa-lo[cn vm≠]