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ANALISI
- LOGICA e INSIEMISTICA 1-3
- ASSIOMI 3
- MAX, MIN, SUP, INF 3-5
- MODULO 5
- FUNZIONI e PROPRIETA 7-11
- INSIEME SIMMETRICO 12
- SUCCESSIONI 12-17
- LIMITI DI FUNZIONI 18-24
- FUNZIONI CONTINUE e TEOREMI 24-26
- SIMBOLI LANDAU e ES. NOTEVOLI 27
- ALGEBRA DEGLI o 28-29
- INFINITI e INFINITESIMI 30
- ASINTOTI 31-32
- DERIVATA 32-33
- ALGEBRA DELLE DERIVATE 34-35
- PUNTI DI NON DERIVABILITA 35
- TEOREMA PARIVICARDO e TAPARUSHI 36
- MASSIMI e MINIMI 36
- TEO. DI FERMAT 37
- TEO. DI ROLLE 37
- TEO. DI LAGRANGE 37-39
- SECONDA FORMULA DEL FINITO 40
- CLASSIFICAZIONE DI UN ESTREMO 40
- DERIVATE SUCCESSIVE 43
- CONNESSTA 41
- P. TO DI FLESSO 41-42
- Teo. di de l'Hôpital 42
- Taylor 42-45
- Teorema 8o di riesto 45
- Teo. classificaz. di un punto stazionario 45-46
- Teo. tesi derivate successive 46
- Numeri complessi 47-51
- Rappresentazione 48
- Rotaz. e varie 49
- (Tra+0) 50
- Forma esponenziale 50
- Teorema fondamentale dell'algebra 51
- Integrale indefinito 54-55
- Primitive elementari 54
- Integrale per parti 54
- Integrali per sostituzioni 55
- Integrale definito 55-63
- Definizione 55-56
- Proprietà 56
- Media integrale 57
- Calcolo integrali 57-58
- Area 59
- Int. impropri 59-60
- Int. di funzioni 61
- Edo 63-73
- Metodo di Eulero 63
- Edo a variabili separabili 63-64
- Esistenza e unicità in piccolo 65
- Edo lineari del 1o ordine 66-67
- Esistenza e unicità "in grande" 66
- Edo lineari del 1o ordine 67-73
- Sistemi associati 67-68
- Codici numerici 69-72
⟷ (P ⇒ Q) ⇒ ¬P ⇒ ¬Q ⇒ P) ⟷ CONTROPOSITIVO
DIMOSTRAZIONE
F V F V V F
V V F V V V
V F V F F V
DIMOSTRAZIONI PER ASSURDO
↔ [ (P ∧ ¬Q) ⇒ ¬P ]
V V F V F F V V V
(RICHIMI SUGLI INSIEMI)
si indicano con lettera maiuscola A, B, X, Y, ...
A = per elenco
A = {a, b, c, }
X = per proprietà
X = { x ∊ N : x > 5 }
⊂∊A ∉A
[] ↔ appartiene A
[] ↔ non appartiene A
[] ↔ elemento D
[] ↔ non è elemento D
INSIEME VUOTO
Ø = {}
NOTA → a ∊ { }
RELAZIONI TRA INSIEMI -
(Una relazione confronta 2 insiemi tra loro)
① INCLUSIONE
A⊂B ⟷ (X ∊ A) ⇒ (X ∊ B) X∊A
PROPRIETÀ
∀X: A⊂A
∀A B: A⊂B ∧ B⊂A ⟶ A = B
∀A B D: A⊂B ⟷ A⊂D
→ RIFLESSIVA
→ ANTISIMMETRICA
→ TRANSITIVA
OSS: (Q, +, .) e le proprietà
-> Q è CAMPO TOTALMENTE ORDINATO
Perché inseriamo i reali R?
?
m/n E Q -> P esiste in Q
P è netto -> m/n E Q CORRISPONDENTE?
OSS.1 se m2n = cn E N -> m E N -> m = 2k E N
OSS.2 (2k)2 = 2n -> 2k - 2k E N -> m E N, n
ASSURDO {m, n} SONO PARI
{m, n} SONO PRIMI TRA LORO
Quindi c'è rete Q avrebbe infiniti buchi
RE è campo TOTALMENTE ORDINATO nel quale esiste
la corrispondenza biunivoca
V A E R -> P E R Q
V P E R Q -> E X E R
ULTERIORI CONSIDERAZIONI
m/h -> (m*h)
Il numero razionale m si può anche scrivere come "allineamento"
1. Negazione quantificatori:
¬(∀x∈A ∃y∈A : P(x, y)) = ∃x∈A ∀y∈A : ¬P(x, y)
2. ¬(∀y ∀x∃z : P(x, y) ∧ g(z)) = ∃y ∃x ∀z: ¬(P(x, y) ∧ g(z))
= ∃y ∃x ∀z : ¬P(x, y) ∨ ¬g(z)
SURIETTIVITÀ
Sia f: X⊆R → Y⊆R
f è suriettiva ⇔ Y = f(X)
∀y∈Y, ∃x∈X: y = f(x)
es.1: ℝ → ℝ
x → y = x²
X = ℝ, Y = (X)
(X)⊆(ℝ) ≠ (Y)
NON È SURIETTIVA
es. 1: ℝ⁺ → ℝ
x → y = x²
Y = (0; +∞)
Lo è suriettiva
INIEITTIVITÀ
Sia f: X⊆R → Y⊆R
f è iniettiva su X ⇔ ∀ x₁, x₂ ∈ ℝ ∧ x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)
es: ℝ → ℝ
x → y = x³
È iniettiva
es: ℝ → ℝ
x → y = x²
NON È INIEITTIVA
BIJEITTIVITÀ
Sia f: X⊆Y
f è biettiva ⇔ f è iniettiva e suriettiva su X
MONOTONIA
Sia f: X⊆R → Y⊆R
- f è (monotona) crescente su X ⇔ ∀x₁, x₂ ∈ X ∧ x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)
- f è (monotona) strettamente crescente su X ⇔ ∀x₁, x₂ ∈ X ∧ x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
CRESCENTE NON STRETT. CRESCENTE
CRESCENTE STRETT. CRESCENTE
CRESCENTE SU ℝ DECRESCENTE SU ℝ
MA NON STRETTAMENTE
TEOREMA DI REGOLARITÁ
Sia an una successione, i) an monotona (o definitivamente monotona)
TH an è regolare (converge e diverge)
COROLLARIO
Sia an una successione MONOTONA CRESCENTE. Allora:
- Sn sup. limitato → an = sn
- Sn sup. limitato → an → + ∞
DIM
- L'unione sn ⊂ ℝ sup. limitato ∅ → ∃ per l'assioma di COMPLETEZZA
- Sn sup. limitato → an = sn
Quindi abbiamo notato che ε >0, ∃n0 ∈&Naturals;: ∀n≥n0 |an-n|<ε
OSS una successione ¿ detta:
- Limit. sup ⇔ ∃ M ≥&Naturals;: ∀ n∈&Naturals;, an = 3 ≤ K
- Limitata ⇔ ∃ M ≥&Naturals; ⇒ |an| ≤ K
CASO NOTEVOLE
an = (1 +1/n)n
i) è strett.a crescente: an ⇒ ∞, ∀ n
ii) è sup. limitata: 3 ≤ an ≤ 3 ∀n
→ lim n→∞ (1 + 1/n)n = e
- (n° IRRAZIONALE) x'(t) = x(t)
TEOREMA (UNICITÁ)
Sia an una successione, la esiste lim an→∞, l→ℝ -ℝ → ±∞
TEOREMA
Sia an una successione CONVERGENTE ad c→ℝ, allora {an} ∈ LIMITATA
(LIMITATA)
Continuità Locale
f è definita (almeno) su I(x0)si continua in x0 ⟺ ∀ε>0, ∃δ>0 : x∈dom f ∧ |x-x0|0 : f(x)∈Iε(f(x0))
f(x)∈Iε(f(x0))
Limite Finito
f è definita (almeno) su I(x0) = I( 1! 1 lim sinx = 0 x→0 x 1 cosx = 1 4=1 Sia g una funzione definita su A⊆R e tale che: lim g(x)=l∈R x→c TH ESISTE un I(c) sul quale g è LIMITATA ∀ε>0, ∃δ>0: x∈A ∧ x∈Iδ(c): l-ε < g(x) < l+ε SCELGO ε=1 m=l-ε < f(x) < l+ε=M, ∀x∈Iδ(c) Siano ẞ : A⊆R→R e g : A⊆R→R tali che: i) ẞ : è limitato su I(c) i)i) lim g(x)=0, CEA x→c TH lim ẞ(x) * g(x)=0 x→c lim x2sin =0 x→0 x 1 x 1 x 1 ∞ lim x3=∞ x→100 lim 1x+sinx x→0 lim x-5 (M+2) +∞ x→∞TEOREMA DI LIMITATEZZA LOCALE
DIM
COROLLARIO
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