Appunti Analisi I

Analisi I Ingegneria Roma Tre

Appunti contenenti teoremi con dimostrazioni per la parte teorica

dell’esame Analisi I tenuto dal prof. Tolli.

Lista delle domande di teoria I esonero

n

ni=1 1−q

i−1

P

6

(1) Se q = 1 allora q = (dimostrazione diretta o per induzione)

1−q

(2) Disuguaglianza di Bernoulli (dimostrazione per induzione)

√

2

(3) Irrazionalità di

||x| − |y|| ≤ |x −

(4) y|

◦ ◦

(5) Se f è pari g f è pari; se f è dispari g f ha la stessa parità di g

(6) Non esistenza del limite per la funzione di Dirichlet

(7) Teorema del confronto

sin x

(8) lim

x→0 x

(9) Non esistenza di lim sin x

x→+∞

(10) Teorema della permanenza del segno

(11) Teorema di esistenza dei valori intermedi

(12) Continuità della funzione seno

(13) Continuità delle funzioni derivabili

(14) Regola per la derivata del prodotto

(15) Regola per la derivata del quoziente

(16) Derivata di arcsin x e arctan x

(17) Caratterizzazione della linearizzazione in termini di o-piccolo

(18) Teorema di Fermat

(19) Teorema di Rolle

(20) Necessità delle ipotesi nel Teorema di Rolle

(21) Teorema di Lagrange

(22) Relazione fra monotonia e segno della derivata

(23) Caratterizzazione delle funzioni costanti (enunciato); esempio/controesempio: f (x) =

arctan(x) + arctan(1/x)

(24) II legge di Snell (o problema del bagnino di Feynman)

(25) Espressione dell’inversa del seno iperbolico

Lista delle domande di teoria II esonero

(1) Calcolo dell’area del segmento parabolico

(2) Teorema della media

(3) I Teorema fondamentale del calcolo integrale

(4) II Teorema fondamentale del calcolo integrale

(5) Formula per il cambiamento di variabile negli integrali definiti

(6) Formula per l’integrazione per parti

(7) log(xy) = log(x)+log(y) (a partire dalla definizione di log come funzione integrale)

n

(8) log(x ) = n log(x) (per induzione) −∞

(9) lim log(x) = +∞ e lim log(x) =

+

x→+∞ x→0

x

(10) Derivata di exp(x) e a x

(11) lim exp(x) e lim a

x→±∞ x→±∞

(12) Algebra degli o-piccoli: dimostrazione di due relazioni

(13) Derivata n-esima di sin x (per induzione) e polinomio di McLaurin di sin x

(14) Polinomio di Taylor di una funzione integrale: esempio di log(1 + x) e arctan x

(15) Resto di Lagrange (enunciato): esempio di stima di sin(1/10)

n

(16) lim a

n→+∞ 1

2 (17) Condizione necessaria per la convergenza di una serie

(18) Serie geometrica

(19) Espressione razionale di un numero periodico

(20) Serie telescopica

(21) Criterio integrale

(22) Criterio del rapporto

(23) Inverso e coniugato di un numero complesso: forma cartesiana e trigonometrica

(24) Formula di de Moivre

(25) Fattorizzazione di un polinomio a coefficienti reali

Note:

(1) È sempre richiesta la dimostrazione dei teoremi o lo svolgimento dettagliato degli

esempi a meno che sia riportata su UNA PARTE della domanda la dicitura ”solo

enunciato”; ad esempio nella domanda 23 (I esonero) bisogna solamente enunciare

il teorema sulla caratterizzazione delle funzioni costanti e trattare poi in dettaglio

l’esempio indicato.

(2) Sono accettate (ma fortemente sconsigliate) dimostrazioni diverse da quelle fatte in

classe, a patto che siano compatibili con lo sviluppo logico del corso. Ad esempio,

NON si può dedurre il Teorema di Rolle dal Teorema di Lagrange oppure verificare

il limite lim log x = +∞ utilizzando la funzione esponenziale (che nel corso

x→+∞

è presentata come l’inversa del logaritmo !!!!).

(3) Poiché la divisione fra I e II esonero non è simmetrica, alcune domande facenti

parte del II esonero sono state spiegate nel I periodo.

Primo Modulo

Secondo Modulo