Appunti Analisi elementi finiti

La matrice è una matrice nota che deriva semplicemente dal conoscere la matrice dell'elemento. È sicuramente una matrice invertibile (per triangoli ben fatti è sicuramente invertibile, per triangoli molto stressi si può avvicinare alla singolarità). La forma matriciale diventa: '%@$ %& '$ %B',! , >$), *>$ → ! ,A''%@%C ' %& "" A# # è la matrice delle funzioni di forma. dove Il problema si risolve più facilmente osservando gli spostamenti e in modo disaccoppiato: D DE EF F (il disaccoppiamento serve solo per ricavare le funzioni analitiche delle funzioni di forma, non è che il problema sia realmente disaccoppiato) Ne derivano due sistemi, di tre equazioni in altrettante incognite, che consentono di calcolare i valori di q separatamente 3 a 3. 1 11 1H I JG H G H I JG HG 1 1%@′ La matrice è la stessa per gli spostamenti in e in . In modo sintetico

$ %? $ %@' $ ' $L LA AE le soluzioni si ottengono invertendo le matrici:' $ $ ' $$ %@ %@L A L AA A%@ 'LL’inversa di una matrice si calcola come: 1%? ' '%∙ > @L AD L Qdet @LDove gli elementi della matrice dei cofattori cof(A’) sono dati da:@@ 1 ∙ detU@ W X Y @′> VL LL RTSRS R,S R,SSi ha quindi: 2Δdet @′ΔDove è pari all’area del triangoloLe funzioni di forma diventano dunque del tipo:%& %1 '%@ %\ '/2Δ'%@ ' 'B ] \ ] \ ]L L L A L ASu ognuna di queste caselle vi sono 3 funzioni lineari di ed .Riportando il problema al rango completo 6x6:(diagonale a blocchi)Si può scrivere come:Si ottengono 3 funzioni di forma, una per ciascun nodo: ∑ , 1C ∀ ,RR`Queste 3 funzioni rappresentano la “partizione dell’unità”C C C,La funzione vale 1 nel primo nodo e 0 negli altri nodi, così come la funzione

Sono unitari solo nel loro nodo di riferimento; la somma delle tre funzioni per ogni coppia di coordinate è pari ad 1. (le funzioni di forma sono di fatto predeterminate poiché dipendono solo dalla geometria dell'elemento – una volta definito il triangolo è possibile ricavarle anche grazie alla considerazione che una deve essere 1 in un nodo e 0 in un altro ecc.)

Si possono riscrivere gli spostamenti interni in funzione degli spostamenti nodali come:

Quindi il campo interno di spostamenti è dato dalla somma pesata di queste 3 funzioni, dove il peso i-esimo è rappresentato dallo spostamento del nodo i-esimo. → Le funzioni di forma consentono quindi di scrivere gli spostamenti come interpolazione di spostamenti nodali indispensabile per ricavare la matrice di rigidezza [K].

Il passaggio successivo è quello di legare il campo di deformazione agli spostamenti nodali tramite la matrice di deformazione. Supponendo inizialmente noti (anche se in

funzione degli spostamenti nodali) i sei coefficienti delle funzionidi approssimazione del campo di spostamento:considerando la definizione generale del vettore di deformazionef

f_a

f_b

f_c

f_d

f_e

f_f

si può dedurre fin da ora che l’elemento triangolare è caratterizzato da un campo di deformazione internocostante.(era uno dei requisiti della completezza, ovvero descrivere almeno campi di deformazione costanti – ilproblema è che può descrivere unicamente campi di deformazione costanti all’interno dell’elemento)

L’impostazione matriciale sistematica diventa:

[ C C C ]
[ ∙ ]
[ ∙ ]
[ ∙ ]
[ C C ]
[ ∙ ]
[ ∙ ]
[ ∙ ]
[ C ] /2Δ
[ \C ] /2Δ
[ \ ] /2Δ
[ \C\ ]

(dove sono dei coefficienti che dipendono dalle coordinate dei nodi)

Deriviamo rispetto ad ed per ottenere le deformazioni:

In forma matriciale:

[ 0 0 ]
[ 0 ]
[ ]
[ 1 0 0 0 ]
[ %g' ]
[ %j' ]
[ >>UC ]
[ →hY ]
[ Vi ]
[ I ]
[ J ]
[ 2Δ ]

]

]

%g' è una matrice 3x6 costante

Dove: Δ → area triangolo

I termini della matrice [B] sono delle costanti; infatti, non contengono le variabili x o y. In questo caso, dunque, lo stato di deformazione è costante in tutto l’elemento, che risulta poco adatto a rappresentare i gradienti di deformazione.

(se considerassi un elemento avente nodi anche all’interno dei lati anziché solo ai vertici, si ha un polinomio che approssima gli spostamenti interni di grado più alto, di conseguenza si possono rappresentare dei gradienti interni – ovviamente sono delle approssimazione intrinseche)

%g ':%g' #può essere pensata come concatenazione di una sottomatrice

0]1 #0%g ' k 1,2,3

I J2Δ ## ]# #%g'b$ >$ 3x1 = 3x6 * 6x1 m$

Successivamente si legano le deformazioni alle tensioni tramite la Lo stato di tensione matrice di elasticità.in un punto dell’elemento è descritto dal vettore

(anch'esso composto da 3 termini così come le deformazioni). In condizioni di comportamento elastico del materiale, tale vettore può essere espresso come:

$$%n'm$$ b$ b mo o%n' m $o

La matrice ha dimensioni 3 x 3 mentre il vettore rappresenta un eventuale stato di tensione preesistente nel materiale prima dell'applicazione del carico come, ad esempio, una tensione residua.

Il vettore è definito dalle componenti: mcmm$ G Hdpcd

Il legame con le deformazioni in campo elastico è definito dalla legge di Hooke scritta per lo stato piano di tensione: p1 1 2 1 rb rm m pb eUm V Um V cdq q qsc c d d d c cd cd

Calcoli: 1 1 r 1 rm qb rm → b rqb r m m rb → m b rbUm Vq q qc c d d d c d d c d d c

Quindi: qm rb b1 rd c dmc )(analogamente p s q r,m: per quanto riguarda basta esplicitare in funzione di e poi raccogliere il termine comune che compare anche nelle q q 1 rp se e e2 1 r 1 r 2cd cd cd cdm b.

La matrice [D] si ottiene dalle equazioni di Hooke,

ricavando le in funzione delle Nel caso di stato piano di tensione si ottiene:

Per quanto riguarda lo stato piano di deformazione la matrice si ottiene tenendo conto che1 m ' 0 → mb r m m rUm m Vqt t t t c dDalla legge di Hooke si ha: 1 1 r rb rUm m um m v→ bhm Viq 1 rqc c d t c c d1 1 r rb r m um m v→ bhm iq 1 rqd d c t d d cmtNonostante che la componente dello stato tensionale sia diversa da 0, nel caso di deformazione piana,n'bnon compie alcun lavoro (quindi non altera la distribuzione che vedo nel piano, infatti, non compare nel PLV),tm r m me, pertanto, essa non viene presa in considerazione: la matrice rimane una 3x3. Laessendo nulla lat c dbcomponente è valutata in fase di post – processing (come ). (analogamente nello stato pianotdi tensione per )Il sesto passaggio prevede di legare i carichi nodali agli spostamenti nodali tramite la matrice di rigidezzadell’elemento. g' n'I coefficienti della matrice

sono delle costanti, così come la matrice (solo se trattiamo un materiale lineare). Non va dunque svolta l'integrazione.

Indicando con w lo spessore (costante) dell'elemento e con A la sua area, si può scrivere:

%y' %n' %g'Y| %'j'%g' %~' %j'{ → w€z Q • •} w D →

Per lo stato piano di deformazione, si può considerare i risultati dell'analisi (in termini di forza) saranno per unità di larghezza. (andranno moltiplicate poi, ovviamente questo non vale per e per ε in quanto saranno espresse nel loro sistema di riferimento) (ricordiamo che noi stiamo studiando le sezioni, per poi estrudere)

Seguono le espressioni più dettagliate che esplicitano i termini di [K] nel caso di stato piano di tensione. ƒ

Come si è visto per l'elemento triangolare a deformazione costante i coefficienti della matrice [B] sono delle costanti. L'integrazione è dunque