Appunti di Elementi finiti

Elementi Finiti

Problema 1D - Soluzione analitica

~ Metodo degli spostamenti

• Equazione indefinita di equilibrio

dN/dx + ρ_u = 0

• Legame costitutivo

N = EA · ε_c

• Congruenza

ε_G(x) = u'(x)

EA u''(x) + ρ_u = 0 ~ Equazione di campo

u(0) = 0 ~ Condizioni al contorno

N(L) = P

u₃ - 2u₂ = c

-2u₃ + 2u₂ = -c

+ u₃ = 7

2u₂ = 3c

u₂ = 3pL² / 8EA

Ricordando la soluzione esatta:

Ovviamente, la formulazione centrale si approssima meglio alla soluzione esatta perché è stata ricavata troncando la serie di Taylor al secondo ordine invece che al primo.

Questa metodologia può essere naturalmente scritta in forma matriciale, essendo un problema algebrico. Aumentare la discretizzazione del problema diventa molto semplice.

• Si pone

u(x) = c₁ x + c₂ x²

ε_G(x) = c₁ + 2c₂ x

∫u(x) = S_c1 x + δc₂ x²

Sε_G(x) = S_c1 + 2c₂ x

PLV_s

S_lini = S_lest

∫ Sε_G(x) N(x) dx = ∫ δu(x) ρ_u dx

∫₀⁰ (δc₁ + 2δc₂ x) EA (c₁ + 2c₂ x) dx = ∫₀⁰(S_c1 x + S_c2 x²) ρu dx

∫₀⁰ S_c1 EA (c₁ + 2c₂ x) dx + ∫₀⁰ S_c2 EA (2c₂ x + 4c₂ x²) dx = ∫₀⁰ (S_c1 x + S_c2 x²) ρu dx

S_c1 EA (c₁ L + c₂ L²) + S_c2 EA (c₁ L² + 4/3 c₂ L³) = (1/2 δc₁ L² + 1/3 δc₂ L³) ρu L

δc₁ EA (c₁ L + c₂ L²) = 1/2 ρu L²

δc₂ EA (c₁ L² + 4/3 c₂ L³) = 1/3 ρu L³

c₁ + c₂ L = ρu L/2EA

c₁ + 1/3 c₂ L = ρu L/3EA

S

c₂ = -ρu/2EA

c₁ - ρu L/2EA = ρu L/2EA

c₁ = ρu L/EA

u(x) = (ρu L/EA) x - (ρu/2EA) x²

ε_G(x) = (ρu L/EA) - (ρu/EA) x

N(x) = ρu L - ρu x

Soluzione esatta

Siccome si usano di solito polinomi per interpolare lo spostamento, e abbiamo solo due dati (u_i^e, u_j^e) il polinomio dev'essere lineare.

u^e(x^e) = a₀ + a₁ x^e

{ u^e(0) = a₀ = u_i^e u'^e(L^e) = u_i^e + a₁ L^e = u_j^e

⟹ a₁ = (u_j^e - u_i^e)/L^e

u^e(x^e) = u_i^e + ^{u_je - u_ie}/_L^e x^e

Riogranmandola in funzione dei parametri nodali:

u^e(x^e) = (1 - ^xe/_L^e) u_i^e + (^xe/_L^e) u_j^e

N_i^e(x^e) N_j^e(x^e)

funzioni di forma

NB: Se si aumenta il numero di nodi per elemento, si aumenta anche l'ordine delle funzioni di forma.

E^e(x^e) = ^{d ue}/_{d x^e} = (^-1/Le) u_i^e + (^1/Le) u_j^e  = cost

N_i^e    N_j^e(x^e)

Ci saranno delle discontinuità di deformazione lungo l'elemento globale dovuto alla natura approssimata del metodo.

r^e(x^e) = EA ∙ E^e(x^e) ⟹ stessa cosa con la tensione.

rigidezza assiale

Ai nodi, l'approssimazione risulta la soluzione esatta. Se vogliamo migliorare l'andamento generale della soluzione possiamo infittire la mesh e considerare più nodi per elemento.

Di nuovo, l'equilibrio è soddisfatto in media lungo l'elemento.

Esistono altre formulazioni della matrice delle masse.

• Matrice delle masse concentrate "lumped"

Serve per fare più efficienti gli algoritmi di risoluzione. Per alcuni EF possono risultare termini negativi, che ci può fare strano.

M̃^e = [ M_ii^c - M_ij^c . . M_jj^c - M_ji^c ]

Ci sarà anche una Ke

N^e = c₀ + c_x x^e + c_y y^e →

N_i,x = c₁

N_i,y = c₂

B^e = [B_i^e B_j^e B_k^e]   con   B_i^e = c_i c₂   c₂   c₁

⇒ La matrice B^e è costante in questo caso

E^e(x^e,y^e) = B^e u^e

Le deformazioni dentro l'EF saranno costanti ( Dunque anche le tensioni )

> I EF si chiaman "Constant Strain Triangle" (CST)

requisito fondamentale

C'è una continuità degli spostamenti in funzione dei lati ma le tensioni e deformazioni saranno discontinue.

⇒ Sono elementi a continuità C⁰. ( gli spostamenti sono continui ma le deformazioni sono discontinue C¹ )

La formulazione della matrice di rigidezza si semplifica:

K^e = ∫_A B^eT E^e B^e dA^e = B^eT E^e B^e A^e

Aggregando   u^e = u_i^e u_j^e u_k^e

→ K^e = K_ii^e K_ij^e K_ik^e K_ji^e K_jj^e K_jk^e K_ki^e K_kj^e K_kk^e

forze che si generano in K dovute ad uno spostamento unitario di j.

EF Triangolari di 2^o ordine

N_i^e = C₀ + C₁ x + C₂y + C₃ x² + C₄ xy + C₅ y²

La funzione N_i^e deve

• essere quadratica
• valere 1 in i e 0 in tutti gli altri nodi

Se P = l: ξ_i = 0

• ξ_i = 1/2
• ξ_i = 1/2
• ξ_h = 0

Se P = n:

• ξ_i = 1/2
• ξ_j = 0
• ξ_h = 1/2

=> N_i^e = 2 ξ_i (ξ_i - 1/2)

• Vale 0 in l e n
• Vale 0 in j h

In i: ξ_i (ξ_i - 1/2) = 1 (1 - 1/2) = 1/2

• si deve moltiplicare per 2 affinché N_i^e = 1

Vale lo stesso per j e k:

• N_j^e = 2 ξ_i (ξ_i - 1/2)
• N_j^e = 2 ξ_j (ξ_j - 1/2)
• N_k^e = 2 ξ_k (ξ_k - 1/2)