Esame Analisi agli elementi finiti

Analisi Matriciale delle Strutture

In ambito delle moderne "strutture", sono di recente naturalità lo sviluppo di problemi matematici complessi e molto difficili a svolgere manualmente.

I concetti di base si potrebbero racchiudere in un ridotto e semplice nucleo di nozione e ipotesi, si assumono semplificazione.

Risoluzione della struttura

Introduciamo i concetti di risposta a partire da quello di una molla che ha un comportamento lineare T-sulla necessità di applicativa k che moltiplica per lo spostamento s produce la forza F.

Considerando che uno strutture si parliamo già assommendo, che essa può assumere a fronte di un sistema di forze applicant.

Se si acquistione l’ipotesi di possiamo inesolvimenten.

Si possono esprimere

dismolto squtaene come una K = ^F/_s (assominici.

K_S11 = ^U_i/_Yj K_S12 = ^U_i/V_i K_S13 = ^U_j/Θ_j K_L11 = ^U_j/U_j K_S15 = ^U_j/U_j

Aggiungiamo alle unione di foo V_i, U_i, SI, V_j e di K_S per vi, per sequenza N di relazione e ovalo spec ^pri per il tech.

Obiettivo di risoluzione dettagliata.

Vettore (cause) di forze = Matrice di rigidezza × Vettore (effett.) di spostamento

Imponendo uno spostamento nodale unitario nel generico DOF i massimo nodale. Si trovano le forze nodali equivalenti Ui e Uj.

Dai legami costitutivi e le equazioni di equilibrio si ottiene:

• σ = Eε
• ε = ui/L
• F = σA

Quindi: Ui = εA/L * ui

Uj = -εA/L * ui

Allo stesso modo se imponiamo uno spostamento sul nodo j

• Ui = -εA/L * uj
• Uj = εA/L * uj

Il forma matriciale diventa:

• [Ui] = [εA/L -εA/L][ui]
• [Uj] = [-εA/L εA/L][uj]

i | 0 0 0 | u₁ |

cj (2l) 0 0 0 0 | u₂ |

cAj 12(l) -12(l) 0 | 0 | uᵢ |

... -12(l) 12(l) | |- | vᵢ |

xx 6(l,2) 0 | 2(l) | 0 | ... ... | vⱼ |

1 xe (6e) -36(g)j | ... ... | m | mᵢ | ...

[k']

[k] = [L]ᵀ[k'][L]

d = arctan (yⱼ-yᵢ) / (xⱼ-xᵢ)

dove [L] = { cosα senα 0 -senα cosα 0 0 0 1 }

Soluzione Generale

F = { Fᵢ Fₑ } forze dei nodi sede di concavo esterni

f = { fᵥ fₑ } spostan nodi sede di vincol (sol)

dall' 2 ep - {eff}[Kᵉᶜ] (Fₑ - [K₍][l₀]}[Fᵢ])

Legame il campo di deformazioni agli spostamenti noti

Le deformazioni derivano da operazioni di differenziazione spaziale degli spostamenti. Ad esempio:

• Per elementi lagrangiani: (assi, piani, solidi)

  Le equazioni si derivano dello spostamento rispetto alle coordinate.

• Per elementi hermitian: (nave, piastre)

  Le equazioni si derivano con l’operazione di differenziazione generica.

Ricordando:

{δ(xni)} = [N(nni)] {δq}

⇒ diff {δ(xni)} = [d+ht(N(kni))] {qfn} = [d+ht(φ(nni)) [A]^−1] {q}

⇒ {ε(xni)} = [B] {qfn} dove [B] è la differenziazione di [N]

S: Legare le tensioni alle deformazioni

Come conseguente della presenza di deformazioni, il materiale è sottoposto a tensioni:

{δ(xni)} = [D] {ε(xni)} dove [D] = matrice di rigidezza o elasticità del materiale

Nel caso siano presenti tensioni residue o distorsioni termiche, si aggiungono i termini:

{δ(xni)} = [D] ({ε(xni)−{εo}} + {σo})

Le distorsioni termiche

{εo} e {σo} possono essere costanti o funzioni di punto

3. Metodo del residuo pesato di Galerkin

Il precedente metodo di Rayleigh-Ritz è applicabile a sistemi conservativi per i quali si può definire un potenziale e non sottostà a condizioni di ortogonalità.

Il metodo di Galerkin invece può essere usato per sistemi non conservativi (presenza di attriti), fa uso di equazioni differenziali in forma debole.

1. Consideriamo:
• x = variabile indipendente (coordinata di un punto)
• M = M(x) = variabile dipendente (spostamento)
• ŭ = ŭ(x) = soluzione approssimata oltre a esatta g(x) + c_i B_i(x)
• t = punte di x
• D = operatore differenziale

Elementi Piani e Assialsimmetrici

Elemento Piano a 3 Nodi

• Più semplice tra quelli trattati, una anche il meno utilizzato.
• È questo elemento piano di soprattutto sotto casi di piano

σ_x è un piano sforzi (ossia si sta sollecitando sui piani e

una nuova sollecitazione (stress) diverse furori dei

Piano e ultimi z_i oppure non si hanno deformazioni nel piano tensione t:

Definizione elementare necessaria è definire le coordinate dei 3 nodi:

nodo | coordinate 1 | x₁, y₁ 2 | x₂, y₂ 3 | x₃, y₃

Si scrivono poi le funzioni che approssimano e descrivono nel campo ai spostamenti intero all'elemento:

polinomio lineari →

{ζζ = μ = q₁ + q₂x + q₃y v = q₄ + q₅x + q₆y}

dove: q_i = costante dipendente dalle coordinate nodali dell’elemento

Rappresentando i 3 spostamenti nodali si ha:

μ₁ μ₂ μ₃ rappresentano 3 possibili spostamenti nodali

Se si seguono polinomi di ordine superiore servono vu numeroso rapporti dei nodi e di coefficienti q_i

Matrice di deformazione

Dopo le funzioni di forma possiamo scrivere la matrice di deformazione:

→ Procedendo inizialmente non i coefficienti e considerando

{ε} = [ε_x] [ε_y] [γ_xy]

con U = q₁ + q₂ x + q₃ y V = q₄ + q₅ x + q₆ y

dove: {ε} = [q₂] [q₆] [q₅ + q₃]

→ Si osserva che il campo di deformazione

• (i N₁, N₂, N₃ sono costanti oppure termini x o y)

Scrivendo u e v utilizzando le funzioni di forma abbiamo:

• u = N₁u₁ + N₂u₂ + N₃u₃
• v = N₁v₁ + N₂v₂ + N₃v₃

con N₁ = 1/2Δ (a₁ + b₁ x + c₁ y) N₂ = 1/2Δ (a₂ + b₂ x + c₂ y) N₃ = 1/2Δ (a₃ + b₃ x + c₃ y)

Le deformazioni diventano:

• ε_x = ∂/∂x N₁u₁ + ∂/∂x N₂u₂ + ∂/∂x N₃u₃
• ε_y = ∂/∂y N₁v₁ + ∂/∂y N₂v₂ + ∂/∂y N₃v₃
• γ_xy = ∂/∂y (N₁u₁ + N₂u₂ + N₃u₃) + ∂/∂x (N₁v₁ + N₂v₂ + N₃v₃)

ε_x = 1/2Δ (b₁u₁ + b₂u₂ + b₃u₃) ε_y = 1/2Δ (c₁v₁ + c₂v₂ + c₃v₃) γ_xy = 1/2Δ (c₁u₁ + c₂u₂ + c₃u₃ + b₁v₁ + b₂v₂ + b₃v₃)

Gobbiamo recuperare in forma matrice per scrivere:

{ε} = [B] {q}

quindi: