Appunti, Analisi 2, prof. Pacella

Analisi 2

1. Curve in Rⁿ
2. Funzioni reali di più variabili
3. Funzioni vettoriali
4. Integrazione di funzioni reali di più variabili
5. Campi vettoriali e forme differenziali
6. Serie di potenze
7. Funzioni olomorfe

4) Lunghezza di un grafico. Calcolo della lunghezza di una curva regolare e regolare a tratti.

Lunghezza di un grafico

Una curva piana regolare che sia grafico di una funzione:

• x = t
• y = g(t)
• t ∈ [a,b]

La lunghezza della curva è: l(γ) = ∫_a^b √1+g'(t)²dt

Calcolo della lunghezza di una curva regolare e regolare a tratti

Se γ : I → ℝ², I = [a,b] è la parametrizzazione di un arco di curva γ regolare. Allora γ è rettificabile :

l(γ) = ∫_a^b |γ'(t)| dt

Se una curva γ è unione di due curve rettificabili γ₁ e γ₂, allora γ è rettificabile e l(γ) = l(γ₁) + l(γ₂).

In generale.

Se una curva γ regolare è a tratti, allora è rettificabile e la sua lunghezza si calcola mediante la (〇).

Limiti e continuità per funzioni di più variabili

Definizione limite di successione

Dato una successione {x_n}_n∈N* di punti di Rⁿ e un punto x_o∈Rⁿ, si dice

x_n → x_o per n → ∞ se ||x_n - x_o|| → 0 per n → ∞

Intorno

(gli intorni sono dei punti) x_o sono le periferie centrali in x_o. Dato un punto x ∈Rⁿ si dice intorno sferico di x_o un insieme del tipo:

U_r(x_o) = {x ∈Rⁿ : ||x - x_o|| < r}

con qualche r>0, raggio dell'intorno x_o centro dell'intorno

Definizione successionale di limite di funzione

Sia f : Rⁿ → R definita almeno in un intorno sferico di x_o∈Rⁿ escluso al più x_o,

stesso, e sia l∈R oppure l=±∞. Diremo che

lim_x→xof(x)=l

se per ogni successione {x_n}_n∈N* di punti di Rⁿ tale che x_n → x_o per n → ∞ (con x_n≠x_o∀n), si

ha che:

lim_n→∞f(x_n)=l

(Ε-δ) Definizione di limite di funzione

Sia f : R→R definita almeno in un intorno sferico di x_o ∈Rⁿ escluso al più x_o,

stesso, e sia l∈R. Si dice che:

lim_x→xof(x)=l

se per ogni ε>0 esiste un δ>0 tale che 0<||x-x_o||<δ ⇒ |f(x) - l| < ε

Si dice che

lim_x→xof(x)= +∞ (o -∞)

se per ogni M>0, esiste un δ>0 tale che 0<||x-x_o||<δ ⇒ f(x) > M (o f(x) < -M)

Funzione continua

Una funzione f è continua in x_o se lim_x→xof(x)=f(x_o)

Definizione di differenziale di f

Se f è differenziabile in x₀, si dice differenziale di f calcolato in x₀ la funzione lineare ∇f(x₀)·h-h definita da:

df(x₀), h = ∇f(x₀)·h

Nel caso n=2, il numero ∇f(x₀)·h rappresenta l'incremento della funzione nel passare da x₀ ad x₁, calcolato lungo il piano tangente al grafico di f in x₀.

Definizione di iperpiano tangente

Se f è differenziabile in x₀ (x₀¹, x₀², ... , x₀ⁿ), si dice iperpiano tangente al grafico di f in x₀ l'ipersuperficie:

z = f(x₀) + ∇f(x₀)·(x-x₀) = f(x₀) + ∑_i=1ⁿ ∂f/∂x_i (x₀)(x_i-x₀ⁱ)

Riassumendo

La differenziabilità ⟺ la derivabilità

• la continuità
• l'esistenza dell'iperpiano tangente

La continuità della funzione

Formula per calcolare le derivate direzionali

Se f: A ⊂ Rⁿ → R con A aperto di Rⁿ, e f differenziabile in x ∈ A, allora per ogni verso v esiste la derivata direzionale D_vf(x) e vale l'identità:

D_vf(x) = ∇f(x) ∙ v = ∑_i=1ⁿ(∂f/∂x_i)(x) v_i

La derivata direzionale è in questo caso il prodotto scalare del gradiente con il verso nella cui direzione si deriva.

Schema riassuntivo

• f ∈ C¹(A) ⇔ f differenziabile in A (cioè f ha gradiente legato)
• f continua in A ⇔ f derivabile in A
• f le derivate direzionali, e vale la formula del gradiente

Invece

• f continua, derivabile, dotata di tutte le derivate direzionali -/-> f differenziabile
• f derivabile, dotata di tutte le derivate direzionali -/-> f continua

Studio dei punti critici ed estremi relativi - Teorema di Fermat

Definizione di massimo e minimo relativi e assoluti

Sia g: A ⊆ ℝ → ℝ e x ⊆ A. Diciamo che:

1. x è punto di massimo (minimo) assoluto per g in A se g(x) è il massimo (minimo) assoluto globale di g in A se:
   • per ogni x ⊆ A si ha g(x) ≤ g(x) (rispettivamente g(x) ≥ g(x))
2. x è punto di massimo (minimo) locale o relativo per g e che g(x) è un massimo (minimo) relativo locale di g se esiste un intorno U di x tale che:
   • per ogni x ⊆ U si ha g(x) ≤ g(x) (rispettivamente g(x) ≥ g(x))

Se le disuguaglianze sono strette (), i punti di estremo e gli estremi si dicono forti, altrimenti si dicono deboli.

Esistenza

Non sempre esistono massimo e minimo. Il teorema di Weierstrass è un buon strumento: se A è chiuso e limitato ed g è continua in A, allora g ha massimo e minimo su A.

Unicità

Se m = g(x) è un massimo globale in A esso è unico. Non è unico il punto in cui presenta il valore m (es: sin x, max = 1).

Teorema di Fermat

Sia g: A ⊆ ℝ → ℝ con A aperto e x₀ ⊆ A un punto di massimo o minimo locale per g. Se g è derivabile in x₀, allora ∇g(x₀) = 0.

Funzioni e vettori vettoriali (a una e più variabili): limiti e continuità

Definizione di funzioni di più variabili a valori vettoriali

Le funzioni di più variabili a valori vettoriali sono funzioni.

f: A⊆Rⁿ→R^m

Per studiare una funzione di più variabili a valori vettoriali si può ragionare componente per componente usando le nozioni per funzioni reali di più variabili. Esempio:

Definizione di limite e di componenti di f

Sia f: A⊆Rⁿ→R^m definita almeno in un intorno del punto x₀ escluso il punto x₀ stesso, x→x₀∈Rⁿ. Si dice che

lim_x→x0f(x)=l

se

lim_x→x0|f(x)−l|=0

dove quest'ultimo limite è il limite di una funzione reale di più variabili.

Se f: A⊆Rⁿ→R^m possiamo scrivere:

f(x)=(f₁(x),...,f_m(x)) con f_j: A⊆Rⁿ→R per j=1,...,m

Le funzioni f_j si dicono componenti di f e sono funzioni reali di più variabili. Il limite si calcola per componenti:

lim_x→x0f₁(x)=lim_x→x0f_m(x)

Definizione di continuità

f è continua se e solo se lo sono tutte le sue componenti.