Appunti, Analisi 2, prof. Pacella

Analisi 2

• Curve in Rⁿ
• Funzioni reali di più variabili
• Funzioni vettoriali
• Integrazione di funzioni reali in più variabili
• Campi vettoriali e forme differenziali
• Serie di potenze
• Funzioni olomorfe

Analisi 2

• Curve in Rⁿ
• Funzioni reali di più variabili
• Funzioni vettoriali
• Integrazione di funzioni reali in più variabili
• Campi vettoriali e forme differenziali
• Serie di potenze
• Funzioni olomorfe

Definizione di curve continue e curve regolari o regolare a tratti, vettore velocità e versore tangente, velocità scalare

Definizione di curva continua

Se I è un intervallo in R, si dice arco di curva continua, o cammino in Rⁿ, una funzione r: I → Rⁿ continua (le sue componenti sono funzioni continue). Il sostegno della curva è l'immagine della funzione ed è l'insieme dei punti di Rⁿ percorsi dal punto mobile. Se una curva si dice chiusa se r(a) = r(b), significa che non posso mai dal punto stesso.

Vi sono curve esistenti nel piano, che contiene il suo sostegno. Oltre la definizione: un arco di curva continua è la coppia costituita da una funzione (continua) r: I → Rⁿ, che chiamiamo parametrizzazione della curva, e un insieme di punti di Rⁿ (l'immagine di r), che chiamiamo sostegno della curva.

Curva regolare o regolare a tratti

Se I ⊆ R è un intervallo, si dice arco di curva regolare un arco di curva r: I → Rⁿ tale che r ∈ C¹(I). r: I(t) ≠ 0 per ogni t ∈ I. Si dice arco di curva regolare a tratti un arco di curva r: I → Rⁿ (ad es. r: I ⊆ R) tale che: r è continua e l'intervallo I può essere suddiviso in un numero finito di sottointervalli se ciascuno di quei r è un arco di curva regolare.

Vettore velocità e versore tangente, velocità scalare

Se r: I → Rⁿ e t ∈ I, si dice che r è derivabile in t₀ se esiste finito r'(t₀) = lim (r(t) - r(t₀)) / (t - t₀) (rappresenta il vettore velocità istantanea del moto). Se r è derivabile in tutto I e, inoltre, la funzione r è continua in t, si dice che r ∈ C¹(I), e si scrive r ∈ C¹(I). La derivata seconda r'(t) rappresenterà il vettore accelerazione istantanea del moto.

La velocità scalare è definita da: v(t) = ‖r'(t)‖. Il versore tangente è definito da: T = r'(t) / ‖r'(t)‖.

Grafico di funzioni

Luogo che si ottiene come grafico di funzione di una variabile y = f(x) x ∈ [a,b], che può essere scritto in forma parametrica ponendo:

• x = t {t ∈ [a,b]}
• y₁ = f(t)

Ha le seguenti proprietà:

• È continuo se e solo se f è continuo in [a,b]
• È regolare se e solo se f è derivabile con continuità in [a,b]
• Non è mai chiuso
• È sempre semplice

Forma polare

ρ = f(θ) con θ ∈ [θ₁,θ₂] è una stenografia che sta a indicare (ponendo x = ρcosθ, y = ρsinθ):

• X = f(θ)cosθ θ ∈ [θ₁,θ₂]
• Y = f(θ)sinθ

Osserviamo che:

• X'(θ) = (f'(θ)cosθ - ρ(θ)senθ)
• Y'(θ)senθ + ρ(θ)cos(θ)
• [(X'(θ)]² + [Y'(θ)]² = [ρ(θ)]²

Ha le seguenti proprietà:

• È continuo se e solo se f è continuo in [θ₁,θ₂]
• È regolare se e solo se f è derivabile con continuità in [θ₁,θ₂] e inoltre se si non se annullano contemporaneamente
• È chiuso se e solo se ρ(θ₁) = ρ(θ₂) e θ₂ - θ₁ = 2πn per qualche intero n

Lunghezza di una curva e curve rettificabili

Lunghezza di un arco di curva

Sia γ: [a,b] → ℝⁿ la parametrizzazione di un arco di curva γ continuo e consideriamo una sua suddivisione.

• P = {t₀=a, t₁, ..., t_n=b}

dell'intervallo [a,b]. A P è associata la poligonale inscritta in γ e l(P) la sua lunghezza:

l(P) = n∑_i=1 |γ(t_i) - γ(t_i-1)|

l(P) "esprime per difetto" la lunghezza quando facciamo variare P e consideriamo il maggiore fra gli l(P).

Curve rettificabili

Si dice che γ è rettificabile se sup l(P) = l(γ).

Teorema sulla lunghezza di una curva

Se γ: [a,b] → ℝ^m la parametrizzazione di un arco di curva γ regolare, allora γ è rettificabile e:

l(γ) = b∫_a |γ̇ (t)|dt

Lunghezza di un grafico

Una curva gamma è regolare se è grafico di una funzione:

• x = t
• y = g(t) T = [a, b]

La lunghezza della curva è:

l(g) = ∫_a^b √1