Analisi 2 (parte 2) - Appunti

Applicazioni vettoriali di piu variabili

f: D ⊆ ℝⁿ → ℝ^m

n, m ≥ 1

Limiti, continuità: chiamare le definizioni discusse più in generale per applicazioni tra spazi metrici:

p: X → Y (X, dx) (Y, dy)

Qui la metrica è la metrica euclidea.

Differenziabilità

Def. Sia data una funzione f definita in un sottoinsieme D di ℝⁿ a valori in ℝ^m e sia x₀ ∈ D.

Si dice che f è differenziabile in x₀ se esiste un'applicazione lineare L: ℝⁿ → ℝ^m (che dipende da x₀) tale che valga la formula:

f(x₀ + h) = f(x₀) + L(h) + o(||h||), h → 0 (4)

Oss. (i) È facile mostrare che f è differenziabile se e solo se le sue componenti sono differenziabili in x₀:

f(x) = (f₁(x), f₂(x), ..., f_m(x₀)) ciascuna f_j(x) è differenziabile in x₀, j = 1, 2, ..., m.

(ii) È quindi facile mostrare che

U(h) = Df(x₀)h,

dove Df(x) indica la matrice Jacobiana le cui righe sono i vettori ∇f_j(x₀), j = 1, 2, ..., m.

→ m x n

DIREZIONI DI MASSIMA e MINIMA CRESCITA

(per funzioni di più variabili) Vi ricordo che, data f : D _Rⁿ → R, se f è differenziabile in x₀ ∈ D, esistono tutte le derivate direzionali di f in x₀ e si ha: lim ^{f(x₀ + hv) - f(x₀)}_h = ⟨∇f(x₀), v⟩ ∀v ∈ Rⁿ, |v| = 1 (5)

Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si ha: |^∂f_∂v(x₀)| ≤ ||∇f(x₀)|| (6) Si osserva che se ||∇f(x₀)|| = 0, si ha ^∂f_∂v(x₀) = 0, se ∇f(x₀) ≠ 0 da (6) segue che: |∇f(x₀)|| ≤ ^∂f_∂v(x₀) ≤ |∇f(x₀)| ∀v ∈ Rⁿ, |v| = 1 (7)

Le vale l'uguaglianza in (7) quando, rispettivamente, v₁ = - ∇f(x₀) / ||∇f(x₀)|| e v₂ = ∇f(x₀) / ||∇f(x₀)||

Si conclude che v₂ realizza la massima crescita di f in x₀ e v₁ la minima crescita

CALCOLO INTEGRALE per FUNZIONI di Più VARIABILI

• caso funzioni limitate su un rettangolo n = 2

f limitata su un rettangolo R = [a,b] x [c,d]

Si introduce una suddivisione degli intervalli [a,b] ad esempio dividendolo [c,b] in N intervalli di uguale ampiezza d x₀ = a, x₁ = a + d, ..., x_N = b ovvero x_i = a + i·d_i, i = 0,...,N individuando N intervalli: T_i = [x_i-1, x_i] i = 1,2,...,N

Si procede allo stesso modo per l'intervallo [c,d], i punti: y_j = c + j·Δj , j = 0,...,m

L'integrale più interno è un integrale dipendente da un parametro, si può provare che se f , g continue in R sono continue le funzioni.

^b ∫_a f(x,y) dx      y ε [c,d] ^d ∫_c f(x,y) dy      x ε [a,b]

Vale il seguente TEOREMA Se f è continua in un rettangolo R: [a,b] x [c,d] allora ^{b d} ∫∫_ac f(x,y) dx dy = ^d∫_c(^b∫_af(x,y) dy) dx =       (3) ^{b d} ∫∫_ac f(x,y) dx dy = ^b∫_a(^d∫_cf(x,y) dx) dy          (4)

Oss. Il calcolo dell'integrale doppio richiede il calcolo di due integrali di funzioni di una variabile eventualmente dipendenti da un parametro.

Esempio Calcolare ^3π/2∫∫_π/2 xy sin(xy) dx dy, se R = [0, π/2] x [0, π/2].

Sia f(x,y) = xy sin(xy)    risulta continua in R ed è pertanto integrabile. Per il Teorema enunciato con la formula (4) si ha:

^{3π/2 π/2} ∫∫_π/20 xy sin(xy) dx dy = ^π/2∫₀(^π/2∫₀xy sin(xy) dx) dy = ^π/2∫₀(^π/2∫₀ x sin(xy) dx) dy =

- ^π/2∫₀x cos(xy)|_0 x + ^π/2∫₀ cos(xy) dx ^π/2dy = -^π⁄₂ cos(^πy) + ^πsin(^πy)^⁄y + ^πsin(xy)^⁄y

^π⁄₂sin(^πy)^⁄y dy = -^π⁄₂sin(1)^⁄y)^⁄y)^⁄y) dy

^π⁄₂*sin(y) dy

Oss. (i) Si noti che la funzione | si estenderebbe con continuità in y= ^π⁄₂ dunque l'integrale _ultimo è un integrale secondo Riemann

poiché f(x,y) = 0 per y ∈ [b,a(x)] ∪ [β(x),d]

la formula (3) è dimostrata.

Per gli insiemi x-semplici la formula è

Esercizio

Si consideri una piastra solida (di spessore trascurabile) che ha la forma dell'insieme Ω contenuto in IR² delimitato dall'asse y, dalla circonferenza di eq. x²+y²= 25 e dalla retta di eq. x = 3/4 y. Se la densità di massa ρ (x,y) = xy , calcolare massa totale della piastra.

Svolgimento La massa totale è data da

Si osservi che ρ (x,y) = xy è una funzione continua su tutto IR ¹ (e un polinomia)

Ω e non y-semplice che x-semplice

Ω = {(x,y)∈IR² : 0≤y≤3, 4/3 x ≤ √25-y²}

Ω₁ = {(x,y)∈IR² : 0≤x≤5 α(x)≤y≤β(x)}, ∉ dove β(x) min[3/4 x, √25-x²]

(per il teorema di derivazione delle funzioni composte)

1.

₀^ADT^-1(y) = DT^-1DT(y) = I

anche DT(y)·DT^-1(y) = I

Facilmente si ottiene che

DT^-1(y) = [DT(x)]^-1_x=T^-1(y)          ∀y∈T(A)      (5)

Si conclude che se T è un diffeomorfismo (globale) di A in T(A) allora

det DT(x) ≠ 0          ∀x∈A      (6)

TEOREMA (cambiamento di variabili negli integrali multipli)

Sia Ω⊂ℝⁿ un insieme limitato misurabile secondo Peano- Jordan e sia f una funzione a valori reali integrabile in Ω

Sia T un diffeomorfismo (globale) da un aperto A⊂ℝⁿ a valori in T(A)=Ω

Allora

∫_Ωf(k) dx₁... dx_n = ∫_Af(T(α)) det DT(α) du₁... du_n      (7)

n=2

∬_Ωf(x,y) dxdy = ∬_T^-1(Ω) f(x(u,v), y(u,v))   x_uy_v - y_ux_v dudv

Esempio 1.

∬ e^-x2-y2 dxdy =

Considero l'integrale all'aperto

A=[0,+∞) x (0,2π)

T(ρ,θ)=(ρcosθ, ρsinθ) ρ>0, θ∈[0,2π]

è iniettivo? No, perchè se θ0 triang. da semipiano, se θ0 inclusi solo 0 e π rimarrebbero per 0,0 θ=π/2 eliminabili tali valori

in tale modo si elimina dalle immagini il semipiano positivo

det T(λ) = 1/ρ² * [(x,y) €1/2 * x3,y]

di chiusura del settore colonne che non influisce nel calcolo integrale perché è di misura nulla.

Chiamiamo E := {(x,y)| el