Analisi 2 (parte 2) - Appunti

APPLICAZIONI VETTORIALI DI PIÙ VARIABILI

f : D ⊆ Rⁿ → Rᵐ

n, m ≥ 1

limiti, continuità: richiamare le definizioni discusse più in generale per applicazioni tra spazi metrici.

P : X → Y (X dᵪ) (Y, dᵧ)

Qui la metrica è la metrica euclidea.

Differenziabilità

Def Sia data una funzione f, definita in un sottoinsieme D di Rⁿ a valori in Rᵐ, e sia x₀ ∈ Ď.

Si dice che f è differenziabile in x₀ se esiste un'applicazione lineare L : R → Rᵐ (che dipende da x₀) tale che valga la formula:

f(x₀+h) = f(x₀) + L(h) + o(||h||), h → 0.

(4)

Oss (i) È facile mostrare che f è differenziabile se e solo

se le sue componenti sono differenziabili in x₀, cioè

f(x) = (f₁(x), f₂(x), ..., fₘ(x)) ciascuna f_j è differenziabile in x₀, j = 1, 2, ..., m.

(ii) È quindi facile mostrare che

L(h) = D f(x₀) h,

dove D f(x) indica la MATRICE JACOBIANA le cui righe

sono i vettori ▽f_j(x) j = 1, 2, ..., m → m x n

Applicazioni Vettoriali di Più Variabili

f: D=Rⁿ → Rⁿ n, m > 1Limiti, continuità: richiamare le definizioni discusse più in generale per applicazioni tra spazi metrici:p: X → Y (X dx) (Y, dy)Qui la metrica è la metrica euclidea

Differenziabilità

Def. Sia data una funzione f, definita in un sottoinsieme D di Rⁿ a valori in R^m e sia x₀ ∈ DSi dice che f è differenziabile in x₀ se esiste un'applicazione lineare L: Rⁿ → R^m (che dipende da x₀) tale che valga la formula:

f(x₀+h) = f(x₀) + L(h) + o(||h||), h → 0 (∗)

• (i) È facile mostrare che f è differenziabile se e solo se le sue componenti sono differenziabili in x₀; sef(x) = (f₁(x), f₂(x), ..., f_m(x)) ciascuna f_j(x) è differenziabile in x₀, j=1, 2, ..., m

• (ii) È quindi facile mostrare cheU(h) = Df(x₀)h, dove Df (x₀) indica la Matrice Jacobiana le cui righe sono i vettori ∇f_j(x₀) j=1, 2, ..., m

DIREZIONI DI MASSIMA e MINIMA CRESCITA

(per funzioni di più variabili)

Vi ricordo che data f: D ⊂ Rⁿ ⟶ R, se f è differenziabileb1 ∈ x₀ e ∂ esistono tutte le derivate direzionali di fin x₀ e si hab2 ∃ x₀ e si hax₀ ^∂f(x₀) = ∇f(x₀)v ∀v ∈ Rⁿ, ||v|| = 1 (5)

Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si ha|| _∂f∂v (x₀) || ≤ || ∇f(x₀) || (6)

Si osserva che se ∇f(x₀) = 0 si ha _∂f(x0) = 0, se ∇f(x₀) ≠ 0d oc segue che| ∇f(x₀) || ∈ _∂f(x0) ≤ || ∇f(x₀) || ∀v ∈ Rⁿ ||v|| = 1 (7)

∃, e1e vale l'uguaglianza in (7) quando, rispettivamente,v_R^* = ∇f(x₀) e v_*: \(\frac{∇f(x₀)}{||∇f(x₀)||}

Si conclude che v_* rappresenta la massima crescita di f, inx₀ e ∇ la minima crescita

CALCOLO INTEGRALE

per FUNZIONI di PIÙ VARIABILI

• caso funzioni limitate a un rettangolo n=2
• f limitata in un rettangolo R=[a,b]×[c,d]

Si introduce una suddivisione dell'intervallo [a,b] ad esempio dividendo[a,b] in N intervalli di uguale ampiezzaΔx:x_i = a + i((c_i) × (x_i - _1ix - b

Averso x_i = a_i + (3q_j)+i_1,i=...N

costruiscono N intervalli

• T_i,j: _i,j=1,2,...N

Si procede allo stesso modo per l'intervallo [c,d], i punti_yj : c + d_i,j=1...N

Individuano N intervalli:

j=1,2,...,N

Per costruzione R è ripartito in N² rettangoli R_ij = [x_i-1,x_i]×[y_j-1,y_j]

Se p_ij è un punto del rettangolo R_ij, si costruisce la somma (di Riemann)

S_N = ΣΣ f(p_ij)|R_ij|, dove con |R_ij| si intende l'area del rettangolo R_ij

DEFINIZIONE

Una funzione limitata in un rettangolo R si dice INTEGRABILE (secondo Riemann) in R