∫ cot x + 3 cot x dx
∫ cot x dx + 3 ∫ cot x dx
+3 ∫ -cossin dx
-ln |cos x| + 3 ln |sin x| + c
continua on [a; +∞]
- ∞ +∞ ∫ f(x) dx non possimo; allora a ∫R f(x) dx e facciamo il limite per R -> +∞
L (convergente)
+∞ / -∞ (divergente)
{non integrable
- ∞ + ∞ ∫ e x dx = lim R -> +∞ a ∫R e x dx
[- e -x]Ra + e -1 - e -R
-olim R -> +∞ 1 e - 0 = 1 e
∫tg x + 3cotg x dx
∫tg x dx + 3∫cotg x dx
+ 3∫cos⁄sin dx
-ln|cos x| + 3 ln|sin x| + t.c
Qù+ manda
Converge on [a ; + ∞]
∫a+∞f(x) dx am în pozitie₋₋a> , Avlga
∫aRf(x) dx e &
Lim ∫aR f(x) dx( convergere )+ ∞ 0 / -∞ 0(Diverge)f(x) ii prega₋₋e
∫a∞ e-x dx = Lim ∫a∞ e-x dx
→[−e-x]R+e-1 − e-R
−0Lim 1⁄e − 0 = 1⁄e
∫1+∞ (1/x) dx = limR→+∞ ∫1R (1/x) dx
limR→+∞ ln R - D ln R = +∞
∫0+∞ cos x dx = limR→+∞ ∫0R cos x dx
limR→+∞ sin R (?!?!)
CRITERIO DEL CONFRONTO
I, g: [a, +∞] f(x) ≥ 0 e f(x) ≤ g(x) allora
LA FUNZIONE PICCOLA SI COMPORTA COME QUELLA GRANDE
∫a+∞ f(x) diverge allora ∫a+∞ g(x) diverge
∫a+∞ g(x) converge allora ∫a+∞ f(x) converge
- ∫0+∞ (2 + sin x2) e-x dx
0 ≤ sin x ≤ 1 (2 + sin x2) e-x ≤ 3e-x
∫0+∞ 3e-x = [-3e-x]0+∞ 0 + 3e0 = 3
quindi converge se B allora converge oppure l'integrale diverge
N.B
criterio confronto asintotico
[a+∞]
f,g > 0
1-otto∞ f ~ g
a∫a∞ f g hanno lo stesso carattere
( )
x + sin x2
x2 + e-x
x + sin x2
= x2 -5x3/2
5 x3/2
∫5∞ 1 1
x3/2
cambia anche a limite inverso cambia
x2 = x2
-DR
∫∞ f(x)↓x converg anche ∫∞ f(x) converg ¬ vero il viceversa
∫ f(x) dx
∫-∞a f(x) dx + ∫a+∞ f(x) dx = limR→+∞ ∫-Ra f(x) dx + limR→+∞ ∫aR f(x) dx
CONVERGENO - D CONVERGE
DIVERGONO - D DIVERGONO
∫ab f(x) dx = limε→0+ ∫ab-ε f(x) dx
∫ε1 lnx dx = limε→0+ ∫ε1 lnx dx = [xlnx - x]ε1 = -1 - εlnε + ε
limε→0+ (-1 - εlnε + ε) = -1
allora ∫01 lnx dx converge ed è -1
∫ε1 1/x dx = limε→0+ ∫ε1 1/x dx = -lnε
limε→0+ -lnε - lnε = +∞
dunque diverge
∫01 xβ dx
β ≥ 1 converge
β > 1 diverge
NB
e)
se P(x) sono definite [a;b]-DR → o P(x) ≤ o g(x)
∫ab g(x) converge allora ∫ab P(x) converge
∫ac P(x) diverge allora ∫ac g(x) diverge
Ribalta ovunque il criterio del confronto asintotico
f,g [a,b]-DR
f, g → -∞ x → DBx → DB f,g∫ab p∫ac g
es)
∫12 &frac;{sin x}{√Nx5} dx
o asintoto verticale
x → DO+ &frac;{sinh}{√x3} ø x3/2 = &frac;{1}{x3} ∑(0, &frac;{1}{x3})
ek1<1 - š diverge∫ab f(x) dx = ∫ac f(x)1 + ∫cb P x dx
∑ f(k) converge
Limx→+∞ f(x)=0
∫2+∞ 1/xa dx
se a>1convergese a≤
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