Analisi 1 - Appunti

DEFINIZIONE DELL'INSIEME DEI NUMERI REALI

Un insieme grande con struttura astratta - insieme generico

1. A parte un insieme A - serie di operazioni
2. A → A × A → A
3. A × A → A
4. A → A

Per definire l'insieme dei numeri reali è sufficiente definire queste strutture:

1. Proprietà commutativa a + b = b + a
2. Proprietà associativa (a + b) + c = a + (b + c)
3. Proprietà distributiva a (b+c) = ab + ac

Con queste proprietà con poco lavoro si definisce chi sono gli insiemi ℝⁿ in quanto possono essere isomorfi ad esempio nel campo dimensionale per chiami la traslazione risultando c ad esempio in ℕ, ℂ.

L'ELEMENTO NEUTRO

Esiste un elemento di A che esegue la sua specifica rivelazione indicato con il simbolo 0 che viene detto elemento neutro della somma tale che:

a + 0 = a per ogni a ∈ ℝ

Esiste altresì un elemento di A diverso da 0 indicato con il simbolo 1 di elemento neutro del prodotto tale che:

a • 1 = a per ogni a ∈ ℝ

L'ELEMENTO OPPOSTO O INVERSO

Per ogni a ∈ R esiste un elemento di A denominato a detto opposto di a, tale che:

a + (-a) = 0

Per ogni a ≠ 0 esiste un elemento a, detto reciproco, tale che:

a • a^-1 = 1

Con l'introduzione dell'elemento opposto non è necessario che tutta l'operazione esegua l'elemento identico di ℤ e ℚ.

Un insieme con queste proprietà e operazioni è chiamato CAMPO.

DEFINIZIONE DELL'INSIEME DEI NUMERI REALI

Per iniziare, prendiamo una struttura astratta A e minima geometrica al campo delle operazioni:

A × A → R

A × A → R

Per definire il l'insieme dei numeri reali, è quindi possibile sovrapporre a questa struttura un assioma che permette di trattare la somma e la moltiplicazione, vale a dire per esempio:

1. Proprietà commutativa
2. Proprietà associativa
3. Proprietà distributiva

Con queste proprietà, con poca modifica si organizzano una serie di operazioni sufficienti per l'insieme dei numeri reali, i punti si possono disporre lungo una retta, e vi possono applicare come minimo, ad esempio, N. C. bisogni, ad altre operazioni.

4. ELEMENTO NEUTRO

Esiste un elemento di A, detto elemento neutro della somma, indicato con il simbolo "0", che viene detto elemento neutro relativo alla somma tale che:

a + 0 = a

Appartiene a GR

Esiste allo stesso modo un elemento di A, A ≠ 0, indicato con il simbolo "1", che viene detto elemento neutro del prodotto tale che:

a × 1 = a

A × G. R.

5. ELEMENTO OPPOSTO O INVERSO

Per ogni a ∈ R, esiste un elemento di A detto elemento opposto "a¯", tale che:

a + (−a) = 0

Per ogni a ∈ R, esiste un elemento, detto elemento inverso, indicato con "a⁻¹", tale che:

a×a⁻¹=1

Un insieme con queste proprietà e prescrition, si dice CAMPO

Introduzione della Relazione d'Ordine

Si considera un sottoinsieme B ⊆ A × A (prodotto cartesiano)

Si dice che B è una relazione d'ordine su A se soddisfa ciascuna delle proprietà che andiamo ad elencare:

1. Proprietà riflessiva: ∀ a ∈ A, (a, a) ∈ B
2. Proprietà antisimmetrica: ∀ a, b ∈ A, se (a, b) ∈ B e (b, a) ∈ B allora a = b
3. Proprietà transitiva: ∀ a, b, c ∈ A, se (a, b) ∈ B e (b, c) ∈ B allora (a, c) ∈ B

Esempi:

• a = a
• a ≠ b.
• ab > 0 allora a = b.

Con l’impostazione della relazione d’ordine, ma è importante dare compatibilità con le operazioni oltre che... chiamato ordine totale.

Da qui possiamo dimostrare le cose della matematica più comuni:

• 0 ∙ a = 0
• ab ≤ 0 allora a = 0.
• a, b ≥ 0

Operazione √2 non è possibile in Q

Assumiamo per vero la tesi:

• p² = 2q²
• p = 2a

Considerando che se il quadrato di un numero è pari, anche il numero è pari, p sarà pari.

• p = 2_m e quindi q = n

©

Definiamo alcuni ... anch'essa un'estensione della ... unico elemento...

Elementi di logica

• ⇒ : implica.
• ⇔ : doppia implicazione.

A implica B:

A ⇒ B

Se A è vero B è vero.

Se non B è vero allora non A è vero.

Quelle v a leggere al testo del linguaggio comune e degli affermazioni che distribuiscono congiunzioni o disgiunzioni si chiamano anche base linguistica di una logica. Le variabili proposizionali sono assegnate dai valori veri o falso. Queste variabili si denotano con lettere maiuscole del nostro alfabeto e con v si indica una congiunzione tra due proposizioni. Se il numero di proposizioni che interpretano una congiunzione sono strategicamente equivalenti all’interno di una vasta condiscendenza, ivi compreso il principio di identità logica, ma equivalenti con l