Appunti analisi 1 (con domande ed argomenti d'esame, esempi e controesempi)

INTRODUZIONE (PRE-CORSO)

Forma standard equazioni lineariaX + bY + c = 0

Equazione generale di una rettaY = mX + q

m = coefficiente angolareq = punto di intersezione della retta sull'asse y

Come trovo la retta passante per 2 punti?

^{Y - Y₂}/_{Y2 - Y1} = ^{X - X₂}/_{X2 - X1}

P₁ (x₁; y₁)P₂ (x₂; y₂)

Come trovo il coefficiente angolare?m = -^a/_b

Come trovo un p.to di intersezione tra 2 rette?Metto le rette a sistema

Come trovo equazione di una retta passante per un p.to?Y - y₁ = m(x - X₀)

Se m = m₁ di una seconda retta, le rette sono parallele

Ci sono casi in cui 2 rette sono sovrapposte:

• 3X - y + z = 0
• 6X - 2y +4 - z = 0

• 3X - y + z = 0
• 3X - y + 2z = 0 (in realtà sono uguali)

FASCI DI RETTE

Propri:

Insieme delle rette passanti per un punto (detto centro del fascio)

p(x₀; y₀)

f: a(x - x₀) + b(y - y₀) = 0

Permette di trovare un retta passante per un punto

Impropri:

Insieme delle rette parallele ad una retta data

y = 2x - 1y = 2x - *

f: y = mX + q

Con q variabile e m fisso

INTRODUZIONE (PRE-CORSO)

Forma standard equazioni lineari

aX + bY + c = 0

Equazione generale di una retta

Y = mx + q

• m = coefficiente angolare
• q = punto di intersezione della retta sull'asse y

Come trovo la retta passante per 2 punti?

_{Y - Y1}/_{Y2 - Y1} = _{X - X1}/_{X2 - X1}

P₁(X₁;Y₁)

P₂(X₂;Y₂)

Come trovo il coefficiente angolare?

m = -a/b

q = mx + q

Come trovo un punto di intersezione tra 2 rette?

Metto le rette a sistema

Come trovo l'equazione di una retta passante per un punto?

Y - Y₀ = m(X - X₀)

Ci sono casi in cui 2 rette sono sovrapposte:

• {3X - Y + z = 0

  {6X - 2Y + 4 = 0

• {3X - Y + Z = 0

  { 3X - Y + 2 = 0

in realtà sono uguali

FASCI DI RETTE

Propri:

• Insieme delle rette passanti per un punto (detto centro del fascio)

f: a(x - x₀) + b(y - y₀) = 0

Impropri:

• Insieme delle rette parallele ad una retta data

f: y = mx + q

CONICHE (circonferenze, ellissi, parabole, iperboli)

Equazione della conica:

ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0

Circonferenza: Luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro.

Eq. della circonferenza:

x² + y² - bx - 2by + c = 0

Per trovare la distanza fra 2 punti:

• √((x₁ - x₀)² + (y₁ - y₀)²)

Per trovare il raggio:

r = √(c - a² - b²) > 0

Per trovare i punti di intersezione della circonferenza con una retta:

• y = mx + q
• x² + y² - bx - 2by + c = 0

la si mette a sistema con la retta

Stesso cosa per 2 circonferenze

• {x² + y²...
• {x² + y²...

N.B. Se Δ dell'equazione in forma normale è negativo Δ < 0 allora non ci sono intersezioni

Per determinare l'equazione di una circonferenza conoscendo il centro e il raggio:

(x - x₀)² + (y - y₀)² = R²

Per determinare il centro

• x_c = -a/2
• y_c = -b/2

Per far prima si può usare il metodo della sottrazione

es.

{ x² + y² - 2x - 2y - 7 = 0

{-x² - y² - 4x - 4y + 7 = 0

'' 2x + 2x '' + 4y

Parabola:

Luogo dei punti equidistanti da un punto fisso detto fuoco e una retta detta direttrice

Eq. della parabola: ax² + bx + c

V = ^-b/_2a - ^∆/_4a

∆ = b² - 4ac

Funzione iniettiva:

Una funzione si dice iniettiva se per ogni coppia x₁, x₂ ∈ Domf con x₁ ≠ x₂ => f(x₁) ≠ f(x₂)

Una funzione iniettiva ha la particolarità di essere