Appunti analisi 1 (con domande ed argomenti d'esame, esempi e controesempi)

INTRODUZIONE (PRE-CORSO)

Forma standard equazioni lineari

aX + bY + C = 0

Equazione generale di una retta

y = mx + q

m = coefficiente angolare

q = punto di intersezione della retta sull'asse y

y₁ - y₂

x₁ - x₂

x₂ - x₁

y₂ - y₁

Come trovo un punto di intersezione tra 2 rette?

Metto le rette a sistema

Come trovo l'equazione di una retta passante per un punto P₀?

y - y₀ = m(x - x₀)

Ci sono casi in cui 2 rette sono sovrapposte:

• Primo caso: { 3x - y + 2 = 0
• Secondo caso: { 3x - y + 2 = 0
• 3x - y + z = 0 in pratica sono uguali
• 6x - 2y + 4 = 0

FASCI DI RETTE

Propri:

Insieme delle rette passanti per un punto (detto centro del fascio)

• F: a (x - x₀) + b (y - y₀) = 0

Impropri:

Insieme delle rette parallele a una retta data

• f: y = mx + q con q variabile e m fisso

CONICHE (circonferenze, ellissi, parabole, iperboli)

Equazione della conica:

a x² + 2 b x y + c y² + 2 d x + 2 e y + f = 0

Circonferenza: Luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro

Eq. della circonferenza: x² + y² - b x - 2 b y + c = 0

• Per trovare la distanza fra 2 punti:
• √(x₁-x₀)² + (y₁-y₀)²
• Per trovare il raggio:
• r = √(c - a² - b² > 0)

Per trovare i punti di intersezione della circonferenza con una retta:

1. y = m x + q
2. x² + y² - b x - 2 b y + c = 0

la si mette a sistema con la retta

Stessa cosa per 2 circonferenze

1. x² + y²
2. x² + y²

• N.B. se △ dell'equazione in forma normale risulta < 0 allora non ci sono intersezioni

Per determinare l'equazione di una circonferenza conoscendo il centro e il raggio:

• (x-x₀)² + (y-y₀)² = R²

Per determinare il centro

• x_c = -_d/²
• y_c = -_b/²

Per far prima si può

usare il metodo della sostituzione

es.

1. x² + y² - 2x - 2y - 7 = 0
2. (x² + y² - 4x - 4y + 7) = 0

2x + 2y = 4

Teorema di Carnot:

a² = b² + c² - 2bc · cos α

Permette di trovare la lunghezza di un lato conoscendo gli altri 2 lati e l'angolo compreso tra questi 2.

• a² = b² + c² - 2bc · cos α
• b² = a² + c² - 2ac · cos β
• c² = a² + b² - 2ab · cos γ

Teorema dei Seni:

a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R

Il rapporto tra la lunghezza di un lato ed il seno dell'angolo opposto è uguale al doppio della lunghezza del raggio della circonferenza circoscritta.

• a = 2R sin α
• b = 2R sin β
• c = 2R sin γ

Prodotto cartesiano (Power set) Insieme delle parti (un insieme i cui elementi sono insiemi) IN RELAZIONE Classe di equivalenza Insieme quoziente (Insieme delle classi di equivalenza)

A \ B = Tutti gli elementi di A che non stanno anche in B A × B = Un insieme avente tutte le coppie ordinate dei due insiemi A × B ≠ B × A → Le coppie che nascono sono diverse

⟹ = Implicazione logica

ABA ⟹ BVVVVFFFVVFFV

A ⟹ B → condizione necessaria condizione sufficiente A = Ipotesi B = Tesi

es. "Se A è contenuto in B, allora l'intersezione tra A e B = A stessa" Ipotesi Tesi

Per capire la logica prima si guarda la tesi e poi l'ipotesi:

tesi: A ∩ B = A "equivale" A ∩ B ⊆ A ⋀ A ⊆ A ⋃ B A ⊆ B Anche A ∩ B ⊇ A

⇔ Se e solo se

P = vera q = falsa P ⇔ q = falsa P = vera q = vera P ⇔ q = vera P = falsa q = falsa P ⇔ q = vera

Estremo superiore ed inferiore

// Dato un insieme E ⊂ ℝ, si definisce estremo superiore di E il numero

S = min {k ∈ ℝ : k è maggiorante di E}:= sup E

(Se esiste l'estremo superiore è il minimo dell'insieme dei maggioranti di A)

// Dato un insieme E ⊂ ℝ, si definisce estremo inferiore di E il numero

i = max {k ∈ ℝ : k è il minorante di E}:= inf E

(Se esiste l'estremo inferiore è il massimo dell'insieme dei minoranti di A)

E = {¹/_n : n ∈ ℕ ^*}il massimo è 1 perché sebbene ci si avvicini sempre, non si sarà in grado di arrivare ad 1.

TL;DR

Un massimo è un massimo solo se questo viene raggiunto, altrimenti è un estremo.

Come si effettua la sottrazione tra numeri e insiemi

es. devo sottrarre dall'insieme A il numero 0

A - 0 = {0,1,2,3} - {0} = {1,2,3}Considero 0 un insieme con il solo elemento 0, questo elemento viene quindi tolto dall'insieme A.

N.B. un sottoinsieme che contiene un singolo elemento si chiama singleton.

Funzione limitata

Una funzione \( f: A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) si dice limitata superiormente se l'insieme \( f(A) \) è limitato superiormente.

Una funzione \( f: A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) si dice limitata inferiormente se l'insieme \( f(A) \) è limitato inferiormente.

Una funzione si dice limitata se l'insieme \( f(A) \) è limitato.

Esempio: \( f(x) = x^2 \), \( x \in \mathbb{R} \)

\( f(A) = \mathbb{R}^+_0 = [0, +\infty[ \)

è limitato inferiormente.

\( k \leq y \quad \forall y \in f(A) \)

Simmetrie

Una funzione \( f: A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) presenta una simmetria rispetto all'asse delle ordinate ovvero è pari, se \( f(-x) = f(x) \).

Una funzione \( f: A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) presenta una simmetria rispetto all'origine, ovvero è dispari, se \( f(-x) = -f(x) \).

N.B. le funzioni con esponente pari o in modulo sono pari.

N.D.

• Sim. Funz. X Sim. Pari = Pari
• Sim. Pari X Sim. Dispari = Dispari
• Sim. Dispari X Sim. Dispari = Pari

\( \overline{f(A)} = x^2, x \in \mathbb{R} \)

N.B. ci sono funzioni che non sono né pari né dispari. Es. \( f(x) = \sqrt{x} = y \in \mathbb{R}^+_0, x \geq 0 \)

Dilatazioni e contrazioni

f(x) = axⁿ

5(x) = 2x

f(x) = x

f(x) = 0,5x

5(x) = 2x²

f(x) = x²

5(x) = 0,5x²

Si contrae e si dilata al variare di a in

f(x) = axⁿ

Traslazioni verticali e orizzontali

Verticali

f(x) = xⁿ + q

y = xⁿ + q

Agisco sulla q incrementando la y

y = x² + 1

y = x²

Orizzontali

f(x) = (x + k)ⁿ

y = (x + k)ⁿ

Agisco su k incrementando x

y = (x + 1)²

y = x²